第10章 截 面几 何 性 质

1、第第10章截章截 面面 的的 几几 何何 性性 质质1 1 截面的静矩与形心截面的静矩与形心2 2 惯性矩、惯性积和惯性半径惯性矩、惯性积和惯性半径3 3 平行移轴公式平行移轴公式4 4 转轴公式转轴公式 主惯性矩主惯性矩 1 截面的静矩与形心截面的静矩与形心一、静矩的定义一、静矩的定义定义为截面对于定义为截面对于z轴和轴和y轴的轴的静矩静矩。zASydAcdAyyy0zzyASzdAz说明：a. 静矩是对一定坐标轴而言的，同一静矩是对一定坐标轴而言的，同一截面对不同坐标轴的静矩不同。截面对不同坐标轴的静矩不同。b.静矩可能为正、为负或为零。静矩可能为正、为负或为零。 c.静矩的量纲为静矩的量

2、纲为长度长度3二、静矩与形心二、静矩与形心的关系的关系 若将图中截面图若将图中截面图形看作为形看作为均质等厚均质等厚的的薄板，则它的重心即薄板，则它的重心即为截面图形的形心。为截面图形的形心。 则重心即截面形心则重心即截面形心C的坐标为：的坐标为：zAydASyAAcdAyyy0zzzyAzdASzAA当截面的形心位置已当截面的形心位置已知时静矩知时静矩zSAyySAz 平面图形内通过形心的轴称为平面图形内通过形心的轴称为形心轴形心轴。 截面图形对其形心轴的静矩等于零。反截面图形对其形心轴的静矩等于零。反之，若截面图形对某轴的静矩为零，则该轴之，若截面图形对某轴的静矩为零，则该轴必定通过截面的

3、形心，即该轴必为必定通过截面的形心，即该轴必为形心轴形心轴。例例: 求图所示各截面图形的静矩求图所示各截面图形的静矩 和和 及其形及其形心坐标。心坐标。解解:（1） 由于由于z轴为对称轴，轴为对称轴，必过截面形心，则有必过截面形心，则有 （2）为计算）为计算 ，取平行于，取平行于y轴的狭长条轴的狭长条为微面积为微面积 而而 sysz0zS yS2 cosdARdzsinzRcosdzRd zdARy0dzz0y2 惯性矩、惯性积和惯性半径惯性矩、惯性积和惯性半径 一、惯性矩一、惯性矩 定义为截面对定义为截面对z轴和轴和y轴的轴的惯性矩惯性矩。 说明说明：同一截面对不同坐标轴的惯性矩不：同一截面

4、对不同坐标轴的惯性矩不同，但恒为同，但恒为正值正值。惯性矩的量纲为。惯性矩的量纲为 。2zAIy dA2yAIz dAzdAyy0z4长度二、惯性积二、惯性积定义为截面对定义为截面对z、y轴的轴的惯惯性积性积。说明说明：a.截面对不同坐标轴的惯截面对不同坐标轴的惯性积不同。性积不同。b.惯性积也可能为正、为惯性积也可能为正、为负或为零。负或为零。 c.惯性积的量纲是惯性积的量纲是 zdAyy0zyzAIyzdA4长度三、惯性半径三、惯性半径 或或 式中的式中的 分别定义为截面对分别定义为截面对z轴和对轴和对y轴的轴的惯性半径惯性半径，其量纲为，其量纲为长度长度。2yyIAi2zzIAiyyIi

5、AzzIiAyzii、四、极惯性矩四、极惯性矩定义定义为截面对坐标原点的为截面对坐标原点的极极惯性矩惯性矩。因因 有有即即 2PAIdA 222yz 222()PAAIdAyz dA PyzIII zdAyy0z22AAy dAz dA结论：结论：（1） 同一截面对不同坐标轴的惯性矩、同一截面对不同坐标轴的惯性矩、惯性积都是不同的。惯性积都是不同的。（2） 截面对任意一对正交轴截面对任意一对正交轴y、z轴的惯轴的惯性矩性矩 和和 之和，恒等于该截面对次两轴交之和，恒等于该截面对次两轴交点的惯性矩点的惯性矩 。yIzIPI结论：结论：（3） 惯性矩惯性矩 、 和极惯性矩和极惯性矩 恒为正恒为正值

6、，而惯性积值，而惯性积 的数值可能为负，也可能为零，的数值可能为负，也可能为零，不过它们的量纲均为不过它们的量纲均为 。（4） 两正交坐标轴中，只要有一根轴是两正交坐标轴中，只要有一根轴是截面的对称轴，则截面对这一对坐标轴的惯截面的对称轴，则截面对这一对坐标轴的惯性积等于零。性积等于零。yIzIpIyzI4长度例例 ： 计算矩形截面对对称轴计算矩形截面对对称轴y轴和轴和z轴的惯轴的惯性矩。性矩。解解： 取平行于取平行于y轴的狭长矩形轴的狭长矩形为微面积为微面积dA。则则 dA=bdzczbyhdzz于是截面对于是截面对y轴的惯性矩为轴的惯性矩为类似地对类似地对z轴的惯性矩为轴的惯性矩为 例例

7、： 计算矩形截面对对称轴计算矩形截面对对称轴y轴和轴和z轴的惯轴的惯性矩。性矩。czbyhdzz3222212hyhAbhIz dAbz dz312yb hI 例例：计算圆形截面对其形心轴的惯性矩。：计算圆形截面对其形心轴的惯性矩。解解：由由则则yzII432pDIyzIIDczyzycDd41264pDI 例例：计算圆形截面对其形心轴的惯性矩。：计算圆形截面对其形心轴的惯性矩。解解：组合截面对某一轴的惯性矩应等于每个组：组合截面对某一轴的惯性矩应等于每个组成截面对于同一轴的惯性矩之和，即成截面对于同一轴的惯性矩之和，即如图的空心圆截面，可得如图的空心圆截面，可得DczyzycDd1inyyi

8、II1inzziII4444(1)646464yzDdDIIdD3 平行移轴公式平行移轴公式 y、z轴分别与轴分别与 平行平行则则czzacyybzcdAy0cyczybcyzcza,ccy z2yAIz dA2()cAzadA22(2)ccAzazadA2 cyIa A同理同理 上式称为平行移轴上式称为平行移轴公式。公式。 2czzIIb Ac cyzy zIIabAzcdAy0cyczybcyzcza2yycIIa A图形对任意轴的惯性矩，等于图形对于与该轴图形对任意轴的惯性矩，等于图形对于与该轴平行的形心轴的惯性矩加上图形面积与两平行轴平行的形心轴的惯性矩加上图形面积与两平行轴间距平方的

9、乘积；间距平方的乘积；图形对于任意一对直角坐标轴的惯性积，等图形对于任意一对直角坐标轴的惯性积，等于图形对于平行于该坐标轴的形心轴的惯性积于图形对于平行于该坐标轴的形心轴的惯性积，加上图形面积与两对平行轴间距的乘积；，加上图形面积与两对平行轴间距的乘积；图形对于形心的惯性矩最小，而由形心轴移轴图形对于形心的惯性矩最小，而由形心轴移轴后所得的惯性积有可能增加也有可能减少。后所得的惯性积有可能增加也有可能减少。解解：截面的形心位置：截面的形心位置 为计算惯性矩为计算惯性矩 ，先计，先计算两矩形算两矩形I、II分别对轴的惯分别对轴的惯性矩性矩 。 cz100cIII20ycyz14020例例 计算计

10、算T型截面对其形心轴型截面对其形心轴 、 轴的惯性矩。轴的惯性矩。0y 0.0467zmyczcII、cyc、z例例 计算计算T型截面对其形心轴型截面对其形心轴 、 轴的惯性矩。轴的惯性矩。cycz3210.1 0.020.0467.1 0.0212ycI2310.02 0.140.070.01 0.04670.02 0.1412ycII647.69 10 m644.43 10 mcz100cIII20ycyz1402036410.14 0.020.09 1012cIzIm36410.02 0.11.67 1012cIIzIm所以整个截面对 、 轴的惯性矩为ccIIIycyyIIIcZcZcI

11、IIzIIIcycz100cIIIcz20ycyz1402066640.09 101.67 101.76 10 m66647.69 104.43 1012.1 10 m例例 计算计算T型截面对其形心轴型截面对其形心轴 、 轴的惯性矩。轴的惯性矩。4 转轴公式转轴公式 主惯性矩主惯性矩一、转轴公式一、转轴公式由转轴的坐标变换由转轴的坐标变换于是于是 1cossinzzy1cossinyyz1221( cossin)zAAIy dAyzdA1221( cossin)yAAIz dAzydA1 111( cossin)( cossin)y zAAIy z dAzyyzdA0zzdAy1yz1zyy1

12、因为因为 得到：得到： 这就是这就是惯性矩惯性矩和和惯性积惯性积的的转轴公式转轴公式。 2zAy dAI 2yAz dAI yzAyzdAI 21cos(1cos2 )221sin(1cos2 )2 sin22sincos 1cos2sin222zyzyzyzIIIIII1cos2sin222zyzyyyzIIIIII1 1sin2cos22zyy zyzIIII二、主惯性轴和主惯性矩二、主惯性轴和主惯性矩若截面图形对某一对正交坐标轴的惯性积若截面图形对某一对正交坐标轴的惯性积为零，则这对轴称为为零，则这对轴称为主惯性轴主惯性轴，简称，简称主轴主轴。截面图形对主轴的惯性矩，称为截面图形对主轴的

13、惯性矩，称为主惯性矩主惯性矩，简称简称主惯矩主惯矩。当主轴为形心轴时，称为当主轴为形心轴时，称为形心主惯性轴形心主惯性轴，简称简称形心主轴形心主轴。截面对形心主轴的惯性矩，称为截面对形心主轴的惯性矩，称为形心主惯形心主惯性矩性矩。 若截面图形有一根对称轴，则此轴即为形若截面图形有一根对称轴，则此轴即为形心主轴之一，另一形心主轴为通过截面形心并与心主轴之一，另一形心主轴为通过截面形心并与对称轴垂直的轴。对称轴垂直的轴。 截面没有对称轴时，主轴的位置通过计算截面没有对称轴时，主轴的位置通过计算来确定。将来确定。将 代入代入令令 ，有，有得得01 10y zI00sin2cos202zyyzIII0

14、2tan2yzzyIII 1 1sin2cos22zyy zyzIIII将求得的角代入下式将求得的角代入下式可求得主惯性矩可求得主惯性矩 。也可利用三角关系式，得到也可利用三角关系式，得到 再代入上式得到主惯性矩的一般公式为再代入上式得到主惯性矩的一般公式为00yzII、00sin2cos2和 220()22zyzyzyzIIIIII220()22zyzyyyzIIIIII1cos2sin222zyzyzyzIIIIII1cos2sin222zyzyyyzIIIIII 若若zoy坐标系的原点是截面的形心，则由坐标系的原点是截面的形心，则由上式计算的主惯性矩也就是形心主惯矩。上式计算的主惯性矩也

15、就是形心主惯矩。另外，因为另外，因为 、 是是 的连续函数，通过的连续函数，通过求导可求得它们的极值求导可求得它们的极值: 得到：得到：与与 比较得：比较得： 1yI1zI 1()( sin2 )2cos20zzyyzdIIIId 2tan2yzzyIII 0 02tan2yzzyIII 说明: a.通过截面某点的主轴正是通过该点的各轴中惯性矩取极值的轴。b.截面对通过某点的任意一对正交轴惯性矩之和为一常数。截面对过某点所有轴的惯性矩中的极大值和极小值，就是对过该点主轴的主惯矩。如果这里所说的平面图形是杆件的横截如果这里所说的平面图形是杆件的横截面，则截面的形心主惯性轴与杆件轴线所确面，则截面的形心主惯性轴与杆件轴线所确定的平面称为定的平面称为形