光的色散与群速度

1、11.5 色散色散与群速度与群速度根据光的微粒说，光在两种媒质界面上折射时，根据光的微粒说，光在两种媒质界面上折射时，sini1/sini2=2/1，而根据光波动说，而根据光波动说sini1/sini2= 1/ 2. 傅科做实验测定空气和水中光速之比近于傅科做实验测定空气和水中光速之比近于4:3，此数，此数值与空气到水的折射率相符，从而判定光的波动说值与空气到水的折射率相符，从而判定光的波动说的正确性。的正确性。 虽然在傅科实验完成之前，光的波动说已为大量事实虽然在傅科实验完成之前，光的波动说已为大量事实（如干涉、衍射、偏振等）所证明，但傅科的实验仍被（如干涉、衍射、偏振等）所证明，但傅科的实

2、验仍被认为是对惠斯原理最直接和最有力的支持。认为是对惠斯原理最直接和最有力的支持。2随着测定光速方法的改进，问题又复杂化了，随着测定光速方法的改进，问题又复杂化了，1885年年迈克耳逊以较高的精度重复了傅科实验的同时，还测迈克耳逊以较高的精度重复了傅科实验的同时，还测定了空气和定了空气和CS2光速之比为光速之比为1.758，但是用折射法测定，但是用折射法测定的的CS2折射率为折射率为1.64，两数相差甚大，这绝非实验误，两数相差甚大，这绝非实验误差所致。差所致。瑞利对光速的概念进行了深入详尽的研究，提出瑞利对光速的概念进行了深入详尽的研究，提出“群速群速”的概念之后才解决这个矛盾。的概念之后才

3、解决这个矛盾。迄今为止，对于各向同性介质在提到波速时，都指的是迄今为止，对于各向同性介质在提到波速时，都指的是波面波面（等位相面）（等位相面）传播的速度，即相速度传播的速度，即相速度 p，在惠更斯，在惠更斯原理中如此，在波函数的表达式中也如此。原理中如此，在波函数的表达式中也如此。一一. 相速度相速度3kdtdrp理想的单色平面波的波动方程可表示为：理想的单色平面波的波动方程可表示为：)cos(krtAE因此，相位不变的条件为：因此，相位不变的条件为：常数 krt两边微分得：两边微分得：0kdrdt即即上式上式 2，k2 / 都是不随都是不随t和和r改变的量。改变的量。可见，可见，相速度是严格

4、单色光所特有的一种速度相速度是严格单色光所特有的一种速度。严格。严格的单色光在空间延续和时间延续都是无穷无尽的余弦的单色光在空间延续和时间延续都是无穷无尽的余弦或正弦波。但这种波是理想的极限情况。或正弦波。但这种波是理想的极限情况。4在真空中所有波长的电磁以同一相速在真空中所有波长的电磁以同一相速c传播，复色传播，复色光可视为若干单色波列的叠加，所以复色光在真光可视为若干单色波列的叠加，所以复色光在真空中传播的相速度就等于单色光在真空中传播的空中传播的相速度就等于单色光在真空中传播的相速度。相速度。在色散介质中，各单色光以不同的相速度传播，在色散介质中，各单色光以不同的相速度传播，因而，复色光

5、在色散介质中的传播问题也随之复因而，复色光在色散介质中的传播问题也随之复杂化。杂化。二二. . 群速度群速度为简单起见，假设复色光由两列单色光波组成，为简单起见，假设复色光由两列单色光波组成，其振幅均为其振幅均为a，频率分别为：，频率分别为：d01d025dkkk01波数分别为：波数分别为：dkkk02则这两列单色光波可分别表示为：则这两列单色光波可分别表示为：)cos(111rktaE)cos(222rktaE可以推得其合成波为：可以推得其合成波为：)cos(000rktAE其中其中)cos(20dkrtdaA即合成波的振幅即合成波的振幅A0不是常数，而是随不是常数，而是随r和和t缓慢变化缓

6、慢变化的余弦函数。如图的余弦函数。如图6合成波和波包合成波和波包1E2E合成波的速度，即波包上任一点的前移速度，也就是合成波的速度，即波包上任一点的前移速度，也就是波包上等振幅面向前推进的速度。它代表着波包具有波包上等振幅面向前推进的速度。它代表着波包具有的能量传播速度。的能量传播速度。7定义：定义：复色光在色散介质中，整个波包传播的速度，复色光在色散介质中，整个波包传播的速度，称为群速度。称为群速度。振幅不变的条件为：振幅不变的条件为：constantdkrtd因因d ，dk都是不随都是不随t和和r改变的量，微分上式得：改变的量，微分上式得：0dkdrdtd因此，群速度可表示为：因此，群速度

7、可表示为：dkddtdrg89三三. . 群速与相速的关系群速与相速的关系dkkddkdpg)() 1 (dkdkpp因因2k所以所以ddk2222dkddddkddddkdppp2210代入（代入（1）式可得：）式可得：ddppg称为瑞利公式称为瑞利公式因为因为ncp所以所以ddnncncg2)1 (ddnnpg书书1212页页11讨论：讨论：ddppg（1）当）当时，则时，则0ddpPg正常色散正常色散（2）当）当时，则时，则0ddpPg反常色散反常色散（3）当）当时，则时，则0ddpPg无色散无色散Pcn折射定律折射定律也是也是相速之比相速之比2121sinsinii指相速指相速12通过

8、测量光在不同介质中的速度之比来确定折射率，通过测量光在不同介质中的速度之比来确定折射率，不论哪种测量方法，测得的光在介质中的不论哪种测量方法，测得的光在介质中的速度实际速度实际上是群速而不是相速。上是群速而不是相速。因为因为CS2为正常色散，为正常色散， g p，因而所得折射率，因而所得折射率n1.758大于用折射法测得的结果大于用折射法测得的结果n=1.64。1-5 波包和群速度色散一、频率相近的两个单色平面波组成的波包及其群速度一、频率相近的两个单色平面波组成的波包及其群速度 该等幅平面波的传播速度：该等幅平面波的传播速度： 此即两个波合成后所得波包的前进速度此即两个波合成后所得波包的前进

9、速度群速度群速度二、一维波群二、一维波群 一维（沿一维（沿z z方向传播）波群方向传播）波群单色平面波的迭加单色平面波的迭加，即即：假设振幅假设振幅 A() A() 只在以平均频率为中心的很窄的频率范围只在以平均频率为中心的很窄的频率范围内显著不为内显著不为 0 0，即：，即：则有：则有：其中：其中：为变幅平面波。为变幅平面波。取展开式的前两项，得取展开式的前两项，得：AeAe 是一维波群的包络线函数是一维波群的包络线函数在在 面上面上 AeAe是一个常量，此面的传播速度代表能量传播的速度，即群速度：是一个常量，此面的传播速度代表能量传播的速度，即群速度：群速度与相速度的关系：群速度与相速度的

10、关系：由由 得得： 正常色散：群速度小于相速度正常色散：群速度小于相速度反常色散：群速度大于相速度，超过光速？反常色散：群速度大于相速度，超过光速？反常色散区必定存在强烈的吸收，当组成波群的大部分傅里叶分量的频率反常色散区必定存在强烈的吸收，当组成波群的大部分傅里叶分量的频率落在这一区域时不可能传很远。群速度计算的结果超过光速不再具有物理落在这一区域时不可能传很远。群速度计算的结果超过光速不再具有物理上的意义。上的意义。三、群速度色散和脉冲展宽效应三、群速度色散和脉冲展宽效应 研究高斯型分布的窄带脉冲在介质中传播时包络形状的变化研究高斯型分布的窄带脉冲在介质中传播时包络形状的变化= 光脉冲强度的宽度光脉冲强度的宽度: :取取k k () () 的泰勒展开式的前三项