高级农业经济学第8讲G函数与经济学的进展

1、2021/3/2612021/3/262l 从G函数概念的形成过程出发,阐述了生产可能性集合、转换函数与利润函数之间的基本关系,集中讨论了由G函数所阐明的新概念和新思想,进而探索了它对当代经济理论和测度计量的重要贡献。同时,对可能的新的研究方向做了推测和预测。l关键词关键词: 生产可能性集合; 转换函数;利润l 函数2021/3/263l 像一切先进的常规科学学科一样,现代经济学的理论语言是数学,本学科知识的系统化程度,则以其中某些基本关系是否能用函数得以明确表达,作为重要标志Chiang, 1984。经济学的基本活动是研究人类的经济结构与运动规律的对应孙中才,1998。17世纪,主要由I.

2、Newton（1642-1727）和G. Leibniz (1646-1716)建立了微积分,把数学扩展到了函数关系,令函数成了表述和探究事物结构与运动规律的最2021/3/264l得力的手段,从而成了近代科学理论的重要的形式 化 工 具 丁 石 孙 , 1 9 8 8 。 1 7 7 6 年 , A . Smith(1727-1790)出版国富论,确立了经济领域的规律意识,将经济学引导到了近代科学的基本路线上。尔后,经过几代人的努力,在19世纪中期,经济理论步入精确化的发展阶段,并于20世纪中期,范式达到科学的标准,致使经济学成为现代常规科学学科孙中才,1995。范式,也就是在基本规律方面,

3、能够明确表达大量科学知识的函数。而随着研究的进展,在范式的基础上,又发展出若干表示分支2021/3/265l理论或方法论的函数。l 科学自身是自身的主宰第一推动丛书编委会,1999。这些函数所表达的理论意义一旦被确认之后,那么,科学本身就会随之产生出推动力,令它们向着扩展、补充、完善和精炼的方向运动,直到新的思想出现、更新的表达式能将其完全覆盖或者替代为止孙小礼,1993。G函数是在以往生产函数和经营函数的基础上发展起来的,但不是简单的延续,而是相当程度的飞跃。它产生的一些新概念,呈现2021/3/266l出了若干覆盖面更明确、层次更深入的研究焦点,导致经济学研究有了更新的视角和更新的出发点,

4、因而,也就有了更精确的和更透彻的探索可能性。这样,使经济学步入了一个新的阶段,产生了新的推动力量,形成了有关研究的新局面Kohli,1978;Harrigan, 1997;孙中才,2000。有迹象表明,这个局面很可能会更加蓬勃地扩展开来,并可能持续相当长的时间。l关于G函数的深入研究,开始于20世纪60年代末、70年代初,后来经过近30年的探索,在212021/3/267l世纪初成为成熟的经济学理论表达式。与此同时,在经验模型的估计方面也取得了卓有成效的进展Lau et al., 1972;Gopinath et al., 2000。目前,这个函数已经被比较普遍地运用于经济学的理论研究和应用研

5、究之中。同时,因为它对经济行为做出了更加深入和全面的概括,从而为政策以及委托代理等概念,提供了经济学意义上的结构性定义,于是,也为广义的管理学的精确化开辟了道路西蒙,1987。l 容易发现,G函数的重要性主要在于它对2021/3/268l经济理论的贡献。其中,最为突出的,是它为经济理论的思考,提供了一个更具统摄力的框架,也就是对现代经济运行的规律进行了更为明确的概括,并给出了一个更为全面而简洁的数学表达式。本文以下部分即将对此展开比较详细的讨论。2021/3/269l 关于G函数的概念,似乎最早是由一些应用经济学家们从生产经济的思路上发现的Lau et al.,1972;孙中才,2000。后来

6、经过理论经济学家们的努力,使它得到了更加一般化的表达,现在,成了经济科学知识体系中的一个重要节点。l G 函 数 , 即 有 约 束 的 准 化 利 润 函 数（restricted normalized profit function）,是从F函数发展而来的。F函数,就是经济分析中通常运用的实物生产函数和经营函数的统称。运2021/3/2610l用利润最佳化的求解过程,很容易推导出G函数的定义孙中才,2000。但那样的结果,似乎缺乏更一般的意义。为此,20世纪70年代中期,理论经济学家们运用更为抽象的一般过程,即运用更加美妙的数学对偶原理,使G函数的定义得到了更加严谨的表述。l 设一个商家,

7、在一个给定期间,能够运用 l 种投入,以向量来表示为 ,生产l种产品,以向量来表示为 。容易理解,在生产组织过程中,这些投入和产出会呈N),.,(21Nxxxx M),.,(21Myyyy 2021/3/2611l现为各种不同的组合。所有的这些组合,定义为这个商家的生产可能性集合（Production Possibilities Set）,记作 。对于生产可能性集合 ,经过深入的研究,理论经济学家们给出了严格的数学描述。 TT2021/3/2612（i） 为一个非空的 维欧氏空间上的非负的 子集,（ii） 是一个闭集,（iii） 是一个凸集,（iv）如果 , ,那么 （v）如果 , ,那么 ,

8、（vi）对于所有的（有限的）投入向量 ,那么,根据上述条件,可生产的产品集合 是有界的。NM TTTTTxy);(xx Txy);(Txy);(Txy);(yyM0Nx0);(Txyy2021/3/2613l 由此,可以归纳出3点认识如下,即生产可能性集合的定义和这6点描述:1)给定了一个多产出、多部门的分析框架。它们集多种投入和多种产出于一体,从而给出了一个范围更大、联系更紧的框架,使着眼于多种因素与多种后果的经济分析成为可能。主要见生产可能性集合的定义和描述（i）-（ii）;2）假设了经济体内的技术性质。即产出对投入的变换是边际率递减的,也就是规模报酬递减;产出对产出的边际替代律是递增的;

9、和投入对投入2021/3/2614l的边际替代率是递减的。这些性质,需要运用Hicks规则,根据描述（iii）得出;3）给出了投入-产出界限性分析的基本条件。即有限的投入只能生产有限的产品。见描述（iii）-（vi）。l 容易理解,对于商家来说,效率的投入-产出组合的集合（Set of Efficient Input-output Combinations）,便是生产可能性集合的技术情况的反映,也就是生产变换效率的反映。具体地讲,技术情况的变化,就是生产2021/3/2615l函数结构和参数的变化。经济分析的焦点就是效率,因而对技术的变化会格外关注。从集合的概念来说,在生产可能性集合的基础上,

10、得出效率的投入-产出组合集合会很明了,也很简单。但是,可能由于生产函数的概念过于深入人心,而经济学家们已经习惯于有关思路和术语的运用,在从事这方面的分析时,基本没有接受集合的概念,而是继续沿用了函数的方法Diewert, 1973。不过,或许为了有别于以往的生产函数,但也可能主要是出于概念的2021/3/2616l精确性要求,他们将生产可能性集合中含有的效率的投入-产出组合,描述为 ,并将 其 称 为 转 换 函 数 （ Tran s f o r m a t i o n Functions）,用以分析技术的变化。这里,假定在生产可能性集合中选定 为目标产出,转换函数 告诉我们,要生产出最佳的

11、的产量,所给定的投入向量 以及其他产出向量 要生产多少。由此,不断地更换目标产出,直到产出向量中的所有分量都作为目标产出出现一次,便把集合中的生产技术展现);,.,(21xyytyM1y1yxTMyyyy),.,(32t2021/3/2617 出来了。这样,如果我们给出了一个满足上述条件I的生产可能集合 ,那么我们可以规定这个对应于 的（非对称的）转换函数 如下。TTt2021/3/2618 对于所有的向量 ,有 ,如果存在一个 ,致使 。条件条件II:II:转换函数 ,从经济现实来看,主要要符合以下4个条件:（a） 是一个非负的扩充的实函数,即 为有限时,它是非负的函数,（b） 是连续的凹函

12、数,（c） 是 的非减函数,NMxy0,01); ,(max); (11Txyyxyty1yTxyy); ,(1tttt); (xyx2021/3/2619 （d） 是 的非增函数。 对于一个商家来说,如果能够得出它的转换函数 ,自然就把它的技术状况展现出来了,而就此进行进一步的分析也是很容易的了。能够看出,这样做很容易局限于微观的和纯技术的分析。为避免这样的局限,我们以另一种方式,即以充分考虑了市场条件的方式来规定这种分析,其基础就是利润函数(Profit Function)。 tty 2021/3/2620 给定一个固定的产品价格的向量 和一个固定的投入价格的向量 ,并且,所有的价格都是正

13、的,即 。对于生产可能性集合 ,生产者的利润函数 定义为 。 条件条件III:III:利润函数 符合以下4个条件: （1） 是一个扩展的凹的实函数, （2） 对于 的分量是非增的, TMpppp),.,(21TNwwww),.,(21)0 ;0();(NMwpT);( :max);(,TxyxwypwpTTxy);(wpw2021/3/2621 （3） 对于 的分量是非减的, （4） 是线性齐次的,即对于所有的标量 和价格向量 ,我们有 。p0)0 ; 0();(wp),(),(wpwp2021/3/2622 如果一个利润函数 满足上述条件III,并且在点上 ,关于产出和投入的价格是可微的,那

14、么,有 和有);(wp)0 ; 0();(*wp);(/ );(*wpypwpmmMm,.,2 , 1);(/ );(*wpxwwpnnNn,.,2 , 12021/3/2623l 这便是Hotelling 定理,也称Hotelling 引理（Hotellings Lemma）。Hotelling 定理直接建立在数学对偶理论的基础之上。根据这个定理,人们在经济学领域中看到,市场价格与生产可能性集合之间存在着对偶关系,即确定了后者便可以发现与之相对应的前者;同样,确定了前者也可以发现与之相对应的后者Hotelling,1932。 2021/3/2624 就一个足够规模的商家或者经济体来说,人们容

15、易看出这样的情况,即生产变换过程复杂,处于中间状态上的物品很多,严格意义上的产出和投入,在这里似乎转瞬即变。同时,人们也能发现,要维持生产,还必须有固定的投入与之相适应。因而,面对这样的情况,经济学家以 维向量 记作其可变的投入和产出;以 维向量 记作其固定投入,并用 记作是所有投入和产出的 维向量。 I),.,(21Iuuuu J),.,(21Jvvvv ),(vuz JI 2021/3/2625 并由此将生产可能性集合的条件之一描述为 。其余的,完全类似于上面的有关叙述。其中,对应于这个生产可能性集合 的非对称的转换函数 定义为:l如果存在一个 ,致使 ,对于所有的向量 和 。TTvu);

16、(t); ,( :max); (111Tvuuuvutu1uTvuu); ,(1),.,(32tuuuu Jv02021/3/2626而把生产者可变的利润函数（Variable Profit Function）定义为: 这里, ; 。其中, 为生产中或生产后,要买进或出售的可变的投入或产品的固定价格; 为固定投入的数量。 );( :max);(TvuupvpTuIp0Jv0),.,(21tpppp v2021/3/2627l 并由此将生产可能性集合 的条件之一描述为 。其余的,完全类似于上面的有关叙述。其中,对应于这个生产可能性集合的非对称的转换函数 定义为:l如果存在一个 ,致使 ,对于所有

17、的向量 和 。TTvu);(t); ,( :max); (111Tvuuuvutu1u),.,(32tuuuu Tvuu); ,(1Jv02021/3/2628 而把生产者可变的利润函数（Variable Profit Function）定义为: 这里, ; 。其中, 为生产中或生产后,要买进或出售的可变的投入或产品的固定价格; 为固定投入的数量。);( :max);(TvuupvpTuIp0Jv0),.,(21tpppp v2021/3/2629 关于这个利润函数的条件,均类似于上述的条件III,需要再次强调的是以下2点: 1） 于 是线性齐次的,即对于所有的 , , 2） 于 是线性齐次的

18、,即对于所有的 , 。);(vpp0);();(vpvp);(vpv0);();(vpvp2021/3/2630 如果这个利润函数 在 , 处,对于可变的产出和投入的价格是可微的,那么,有 （1） 这里, 是由价格 和固定的投入 所给定的产出 （或者投入 ,若 ）致使利润最大时的数量。 );(vpIp0*Jv0*);(/ );(*vpupvpiiIi,.,2 , 1);(*vpuiii0);(*vpui*p*v2021/3/2631l 这便是Hotelling 定理的扩展。能够看出,这一扩展,将市场价格与生产可能性集合之间存在的对偶关系,做了更加概括性的表述,涵盖的经济内容更加广泛,聚焦的行为

19、更加深入。美妙的数学把科学的探索引导到了一个更加诱人的境地。l 以往的生产经济的研究,是以生产函数为出发点,通过经营模型,求解因子配置,分析利润的形成及其内在的技术变化。而根据上述,从利润函数出发,通过转换函数,也可以展开2021/3/2632l对技术效率和生产运作机理的研究,而且,范围与深度都会更加扩展。从函数运用的角度来看,前一种分析可以称为F函数的分析过程。相应地,似乎后一种分析可以称为函数的分析过程。然而,为准确起见,后者被称为G函数的分析过程,因为对比F函数,这一分析过程,不仅涉及到数值的变换,而且还涉及到函数的变换。或许,简单地讲,G函数可以看作是函数和函数的统称孙中才,2000。

20、l 上面介绍的,从生产可能性集合出发,到2021/3/2633l得出Hotelling定理,又从有关的扩展出发,直到得出了这个定理的扩展。容易看出,这一整个过程,是确立利润函数和Hotelling定理的过程,或者说是确立G函数的过程。相应地,人们可以理解到,如果得出了利润函数,那么,便可以借助Hotelling定理和转换函数等概念,回转过去,分析生产可能性集合的性质。这一回转过程便是G函数的分析过程。显然,这种分析过程与其确立过程相比,呈现为思路的翻转。G函数给了经济学研究一个新的“最终即首2021/3/2634l要的（The Last is the First）”的逻辑起点。由此明确了一些新

21、的定义和新的概念,从而引导出了一些新的研究思想和新的研究途径。这些新思想和新途径,主要集中在两个方面:一个在技术的分析方面;另一个在约束条件的分析方面。第2节集中讨论前一个方面,后一个留到第3节中讨论。2021/3/2635 从 出发,根据式（1）,即可以得出在 点上的可变产出和投入的数据集 。这个数据集就是效率的投入-产出集合,它实际上反映了生产可能性集合 的内部的技术状况。 从这些数据出发,要进行生产可能性集合投入-产出效率的分析,根据上述,至少有2条途径可以选择:一条是,直接就这些数据进行相对比较分析,以便揭示其中不同技术的相对地位;另一条是,运用利润函数和转换函数,);(vp);(*v

22、p),.,();(21*IiuuuvpuuT2021/3/2636 揭示技术的差异。现在已经很通行的数据包络分析 DEA (Data Envelopment Analysis),便属于前者（其中直接从生产可能性集合入手的是最简单的）;后者则是更常见的函数分析技术。 2021/3/2637设 ,其中, ; l定义:对于所有的向量 ,有 如果存在一个 ,致使 。);(),.,();(21*xyuuuvpuuIi),.,(21Myyyy ),.,(21Nxxxx NMxy0,01); ,(max); (11Txyyxyty1yTxyy); ,(12021/3/2638并由此得出一个一般的模型: （2

23、）s.t. （3） （4） （5） （6）DVminMjjjxx10Mjjjyy10Mjj110j2021/3/2639该生产可能性集合 可以描述为:对于 李强,2005。 模型（2）-（6）的解 ,作为技术相对效率的展示,可以揭示生产可能性集合内在的技术分布情况,以及可能的替代结构。 DEA是不借助转换函数的具体形式所进行的分析,也就是不依赖转换函数参数结构便可TMjjjMjjjMjjjjjRCTyyxxxyyT1110)0, 1,( : );,(2Mj,.,2 , 1),(*2021/3/2640 进行的分析,因此简称为非参数的技术效率分析。对于有多种产出和多种投入的商家或经济体来说,其最

24、突出的优点是简单、快捷,就是可以对专业的或部门的平均技术,进行直接的整合性的相对效率比较魏权龄,1988。不足之处主要在于,由于是一种非参数的分析,对技术差异的内在因素揭示不够,而且,在Hotelling定理的运用方面,也显得逻辑不够严谨,对于计算结果的分析,缺乏明确的经济学知识的表述,从而使整个测度计量工作容易2021/3/2641l流于简单形式上的经验性模拟或数据试验。2021/3/2642l 由G函数所导致的分析,与以往所不同的主要在于,这种分析的对象是多产出、多投入的关系。另外,从 函数出发的分析,不仅仍然直接针对部门平均水平以及影响因素的分析,还必然涉及一些重要的前提条件,如市场和约

25、束条件。因此说,这种分析是在更具有统摄力模型下的分析,一般地,其分析结果应该更具有深刻的知识性。);(vp2021/3/2643 显然,从 出发,运用函数分析方法,要分析技术的差异与结构,主要涉及两个函数:一个是利润函数本身 ;另一个是转换函数 。在具体的测度计量中,要能够尽量准确地反映经济理论已经探明的局部规律,又能够尽量精确地反映数据与一般运动的拟合程度,关键是这些函数的具体形式要符合理论阐述的性质。关于这些性质,本文在此之前的部分里已有阐述。另外,这些具体形式,还应与可能实现它的数据拟合技术相适应。为此,一些理);(vp);(vp); (vut2021/3/2644 论经济学家和数学家曾

26、做过相当的努力。以下所介绍的这些形式,便是尽可能地考虑了这些要求之后所得出来的Diewert, 1973。2021/3/2645两个可变利润函数的可选择形式为:(A) （7）(B) （8）式中,2/12/111112/122)()()2121)();(kjIiIhJjJjhijkihvvppbavpIiJjiiijvpc11)(0; 0;jjiikjjkhiihbabbaaIiIhJjIiJjjiijjhijkihxpcxppbavp111112/122)2121)();(IiJjJkkjijkxxpb1112/12/10; 0;jjiikjjkhiihbabbaavx2021/3/2646

27、对于转换函数,研究结果确定的一个一般化的线性形式为: （9） 式中, 为一个 维的非负产出向量; 为一个 维的非负投入向量,令 , ; 为 维的向量,这里 。KiKiKjjiijiizzazaaztxyty1112/12/12/100012)(); (jiijaa),.,(2Myy1M),.,(21NxxxN1M1N),.,;,.,(),.,(21321NMKxxxyyyzzzKNMK12021/3/2647 事实表明,近年来兴起的有关函数分析,或者说测度计量研究,基本上都是沿用式（7）-（9）或者其修正形式而开展的Harrigan, 1997;Gopinath et al., 2000。 2

28、021/3/2648l 函数的推导过程表明,这个函数是以生产可能性集合和技术效率分析为基础的关系表示。对比以往的经济分析,这个函数具有了更一般性的概括能力,也有了更一般性的统摄力。l 的结构及其推导过程涵盖了以下4点内容:);(vp);(vp2021/3/2649 3.1）从 的基本结构能够看出,这里的两组影响因素, 和 分别表示固定的价格和固定的投入,明显地把决定利润的因子区分为“市场上的” 和“商家自身所固有的” 这样两大类了。 3.2) 由 的定义可以看出,在 中价格 所对应的是决策中的可变因子,而 仍是固定因子。);(vppv),.,(21Ipppp ),.,(21Jvvvv );(

29、:max);(TvuupvpTu);(vp),.,(21Ipppp ),.,(21Jvvvv 2021/3/26503.3)在函数 中, 和 这两个集合,从数学理论上讲,在元素数目上必须保持一定的对应关系,才能保证的 经济现实性,这就是 。3.4）由式（1） 可以看到,扩展的Hotelling定理,仅仅对函数 的前一种因子 进行了分析,对后一种因子 的分析还属暂时空缺。);(vp),.,(21Ipppp ),.,(21Jvvvv IJ );(/ );(*vpupvpii);(vppv2021/3/2651 从3.1）和3.2)出发,人们容易得出这样的概念和推断,即在决策过程中,价格对应着可变的

30、因素,也就是市场可以调节的物品;固定投入对应着市场所不能调节的物品。市场调节与市场失灵共同决定着利润的形成。从3.2)的内容可以看出,由 出发可以进行的技术效率分析,也就是对生产集合内部所涵盖的函数进行分析,能够回归到以往的资源配置和效率分析的基本思路上去。由此可以看出,这个函数所表征的内容是经济学已有途径的延续。);(vp2021/3/2652 但是,因为有了函数 这样的更一般的“固定”与“固定”的描述,以及更一般的“可变”与“固定”的描述,便将过去的投入-产出分析推进到了更一般的境地,为更深层的科学规律的揭示,指明了新的探索方向。更加一般的统一性模型,必定要引导出更加深刻的理论知识Eins

31、tein, 1949。3.3）表明,在概念上,这种对应关系,不失为经济学研究的一个新方向。因为如何解释“市场固定价格 ”与“商家固定禀赋 ”之间存在的内在关系,在以往的以“资源);(vppv2021/3/2653 配置”为主的经济研究中,还没有给予足够的注意。3.4）启示人们,如果对 展开关于 的有关分析,必定可以开辟一个新的方向。 v);(vp2021/3/2654 为此,在测度计量和理论探索方面,经济学家们都进行了有效的探索,现在已经取得了卓有成效的进展。这些探索似乎都可以通过聚焦于下面这个简单的模型来描述。 设一个经济体的经济行为,可以初始性地写为: s. t. ,Maxpxs )(vY

32、xIRxp,JRv2021/3/2655这里, -最终产品向量; -最终产品价格的向量; -禀赋 的凸性生产可能性集合。 这个模型的解将是GNP的最大值,当 时。只要这个利润函数 是二次连续可微的,即要求因子之间存在着平滑的可替代性,并且至少因子有与产品一样多的数目（ ）,那么,净产出供给的向量 就由 关于 的梯度来给出:xpv)(vY),(vpY),(vpIJ ),(vpx),(vpp2021/3/2656l 如前所述,这里定义 和 , （ ）的符号则取决于是产出还是投入。若是产出为“+”,若是投入为“-”。并把需要由最终产品“纳税”的物品,如污染物和进口,视为投入,符号为“-”。由此可以看

33、出,凡是有定价的（或者说有价格的）物品,均可以归入经济决策的变量之中Debreu, 1959;Gorman, 1968。iipvpvpx),(),(Ii,.,2 , 1Ip0Jv0Ii,.,2 , 1ix2021/3/2657l同理,可以得出:l 便是 的影子价格,对于 和 ,应该有 , ,即如同市场价格一样,也都是非负的。与利润相对应, 为商家禀赋的净租金率。jjvvpvp),(),(Jj,.,2 , 1jjvIp0Jv0),.,(21JJ0J02021/3/2658 因为 对应着贸易市场,因而可以想象, 便对应着潜在的内部的租赁市场。在贸易市场上不能定价的固定数量,在经济运行中实际上具有潜

34、在的价值测度。对于这种测度的揭示和探索,已经构成现代经济研究的一个新的领域,其成果成为环境保护、资源定价以及公共物品税收控制的重要依据。另外,从模拟转换函数的概念入手,如果设 ,这里, 为 的决定变量,那么便可以引伸出市场失灵方面的深层分析。而且,似乎那些可以Ip0J0)(mvv vm2021/3/2659 判断为是 的影响因素,又明显地没有价格的东西,例如,有关的一般的政府政策、企业内部管理措施和公共物品的技术标准等,都可以归入 ,从而进入利润函数 的结构,成为经济分析的对象。显然,如果得不到函数的导引,从而也得不到上述成熟过程的支持,这些问题是很难进入经济学领域的。似乎也可以说,不从影子价格这个测度出发,这些问题是很难为 现 代 的 经 济 专 业 研 究 所 接 受 的 孙 中才,2002。vm),(vp2021/3/26602021/3/2661lChiang, Alpha C.(1984), Fundamental Methods of Mathematical EconomicsM, Third Edition, McGraw-Hi