杭电随机信号平稳随机过程

1、第三章 平稳随机过程3.1 平稳随机过程及其数字特征3.1.1 平稳随机过程的基本概念： 1、严平稳随机过程（狭义平稳随机过程）： 即任何N维分布函数或N维概率密度函数与时间起点无关的随机过程，即： 所以平稳随机过程的统计特性将不随时间的推移而改变；其一维分布函数与时间无关，二维分布函数只与时间间隔有关。通信系统中的信号与噪声大多数是平稳随机过程。),;,(),;,(21212121nnnnnntttxxxptttxxxp(3.1.1)2、平稳随机过程的数学特征： (1)若X(t)为平稳随机过程，则它的一维概率密度与时间无关。 数学期望数学期望：与时间t无关，即均值为常数。 )()0 ;();

2、();(111111xpxpttxptxpXXXXXXmdxxpxtXE)()(1112122)()(dxxpxtXEXXX(t)的均方值和方差也应为常数：11212)()()(dxxpmxtXDXXX(3.1.2)(3.1.3)(3.1.4)(3.1.5)（2）平稳过程X(t)的二维概率密度只与t1、t2的时间间隔有关，而与时间起点t1无关。其中，=t2-t1自相关函数：自相关函数：只与时间间隔有关;),(),(21tRttR),;,(),;,(21212121ttxxpttxxpXX), 0 ;,(),;,(2112121xxptttxxpXX协方差：2212121)()()(),(),(

3、XXXXXXmRtmtmttRttC当=0时，有：22)0()0(XXXXmRC(3.1.6)(3.1.7)(3.1.8)n3、宽平稳随机过程：n若随机过程满足：)(),()()(),()(2122121tXEttRtXtXEttRmtXEXXX则称X(t)为宽平稳过程（或广义平稳过程）。(3.1.9) 若平稳随机过程的数学期望及方差与时间t无关（分别记为a及 ），且自相关函数只与时间间隔有关（ ），则称其为广义平稳随机过程。2),(),(21tRttRn考虑两个平稳过程X(t)和Y(t)时，若它们的互相关函数仅是单变量的函数，即：n则称这两个随机过程是联合宽平稳。n以后除特别说明，提到“平稳

4、过程”通常都是指宽平稳过程。122121),()()(),(ttRtYtXEttRXYXY例： (3.1.10)3.1.2 各态历经(遍历)随机过程 平稳随机过程的统计特性可以用其任意一次的实验样本来得到，即可以用其时间平均特性得到其统计平均特性。 若平稳随机过程的数学期望时间平均值为： dttxTtxT)(21)(limdttxtxTTtxtx)()(21lim)()(XmtXEtx)()(注：只有平稳随机过程才具有各态历经性。(3.1.13)(3.1.12)(3.1.11)()()()()(XRtXtXEtxtxTTTdttxxUTxF)(21lim)(X(t)的均值具有各态历经性。 X(

5、t)的分布函数具有各态历经性。TTTTTTXTTTXdttxxUTxFdttxtxTRdttxTTXEm)(21lim)()()(21lim)()(21lim)(3.1.14)(3.1.15)3.2 平稳过程相关函数的性质n一、平稳过程自相关函数的性质 )()(XXRR)()(XXCC性质1 实平稳过程X(t)的自相关函数是偶函数，即： 同样可得： 0)()0(XXRR)()0(XXCC性质2 平稳过程X(t)自相关函数的最大值在处 同理： (3.2.1)(3.2.2)(3.2.3)性质3 周期平稳过程X(t)的自相关函数是周期函数，且与周期平稳过程的周期相同； )()(XXRTR注：若平稳过

6、程X(t)满足X(t)=X(t+T)，则称它为周期平稳过程，其中T为过程的周期。 性质4 平稳过程的均方值就是自相关函数在0时的值。0)()0(2tXERX(3.2.4)(3.2.5)性质5 非周期平稳过程X(t)的自相关函数满足： 性质7 自相关函数必须满足： 0)(deRjX2)()(limXXXmRR)()0(2XXXRR性质6 即：性质8 一个函数能成为自相关函数的充要条件：必须满足半正定性，即对任意函数f(t)有： 0)()()(212121dtdttfttRtfX(3.2.6)(3.2.7)(3.2.8)(3.2.9) 从上面的讨论看出，对于一个平稳随机过程，自相关函数是它的最重要

7、的数字特征，由它可得到其它的数字特征： )(XXRm)0()(2XRtXE)()0(2XXXRR)()()(XXXRRC数学期望 均方值 方差 协方差 3.2.2 平稳相依过程互相关函数的性质)()(YXXYRR)0(XYR)0()0()(2YXXYRRR)0()0(YXXYRR)()(YXXYCC性质1：互相关函数是非奇非偶函数。同理可证：表示随机过程在同一时刻的相关性。性质2：性质3：同理可证：222) 0 () 0 ()(YXYXXYCCC性质4：同理可证： )0()0(21)(YXXYRRR21)0()0(21)(22YXYXXYCCC(3.2.10)(3.2.11)(3.2.12)(

8、3.2.13)(3.2.14)相关系数和相关时间1、相关系数相关系数实际上是对平稳随机过程的协方差函数作归一化处理，即： 有时也叫归一化自相关函数。)()0()()()()(2XXXXXXXRRRRC)(X2、相关时间定义1：经常取满足时的作为相关时间005. 0)(0X(3.2.15), 0。定义2：将曲线在之间的面积等效成的矩形，也就是有 dX00)()(X)0(0X相关时间越小，就意味着相关系数随增加而降落得越快，这表明随机过程随时间变化越剧烈。反之， 越大，则表明随机过程随时间变化越缓慢。 00)(Xr(3.2.16)3、互相关系数YxXYYxXYXYRRRR)()0()0()()(3

9、.2.17) 3.3 平稳随机序列的自相关阵与协方差阵n3.3.1 Toeplitz阵nToeplitz矩阵：矩阵的每一条对角线上的元素是相同的，即矩阵元素满足：1; 11, 1 , 0; 1, 1 , 0,NjNiNjNirrjiji若随机序列是平稳的，则可以证明：自相关阵和协方差阵是Toeplitz阵。01211212101221011210.rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrRNN自相关阵可以写成如下形式：矩阵的Toeplitz性在数字信号处理的快速算法中特别有用。(3.3.1)n3.3.2 自相关阵的正则形式：iiQRQ0)(iQIR0IR 设R阵满足下列方程: 称为R的特征值；

10、Qi为一列向量，称R阵的特征向量。特征值与特征向量满足：则：称为R的特征方程。(3.3.2)(3.3.3)(3.3.4)110,N1, 1 , 0NiQRQiii 对于NN方阵R，有N个根，记为：特征向量Qi:即:110110110.NNNQQQQQQR(3.3.5)QRQ110NQQQQ110.N写成：式中： 称为R的特征向量矩阵。1QQR(3.3.6)(3.3.7)(3.3.8)3.4 随机过程统计特性的实验研究方法10222122)(exp)21()/(NiXXiXXmxmXp10222)()/(lnNiXXiXmxKmXp0)/(lnXXmmXp101NiiXxNm 设X0,X1,XN

11、-1是统计独立的高斯随机变量,称Xj为独立高斯随机序列。则以mX为条件的多维密度函数（称为似然函数）为：则：3.4.1 均值估计：(3.4.1)(3.4.2)(3.4.3)1、有偏估计与无偏估计XiNiiXmxExENmE110 若估计量的数学期望等于真值，则称该估计量为无偏估计量；反之则称为有偏估计量。2、估计量的方差 当样本N一定时，方差小的无偏估计量就是比较好的估计量。若N时，估计量的方差趋于零，则称该估计量为一致估计量。(3.4.4)3.4.2 方差与协方差估计1022)(1NiXiXmxN1022)(1NiXiXmxN方差的最大似然估计值为:应用均值估计值代入，方差的最大似然估计值为

12、:(3.4.6)(3.4.5)1、 是有偏估计量：2X101010221010102101022102221121121NijiNiNjiNijiNiNjjiNiNjiNiXiXiXxxENxENxxENxxENxENmxEmExENE2222111XXiXNNmNNxENNE说明 为有偏估计量，当N时, 称 渐进无偏的。 2X2X22XXE2、 为一致估计量：2X10221NiiXxNV0,2XVarN3.4.3 自相关函数的估计, 1 , 0 , 1,jXj)(kjjXXEkR101)(kNjkiixxxNkR 对于零均值平稳序列： 自相关函数： 非零滞后自相关函数的估值：性质：n性质1：

13、 是渐近无偏的；)(kRX(3.4.7)(3.4.8)3.4.4 密度函数估计110,Nxxx,min110nxxxa,max110nxxxb 给定随机序列的一段实现：按下列步骤计算这组数据的经验分布或直方图：（1）求出其位置参量：极小值：极大值：n性质2： 是一致估计量；)(kRX(3.4.9)(3.4.10)Kkaaaa10baaaK;0Kkaakk, 2 , 1),1Knaxaknk, 2 , 1,1),1kkaa（2）将x的取值区间a,b)分成K个互不相交的分区间，如取分点为：且使：则子区间为：（3）计算实验数据的经验频率。首先求出落入每个子区间 的数据点的个数Nk，即计算满足不等式：

14、(3.4.11)KkNNfk, 2 , 1,),1kkaaKkaafxpkkk, 2 , 1,)( 1的实验数据的点数。则经验频率为：密度函数在 上的估值：3.5 相关函数的计算举例(3.4.12)(3.4.13)3.6 复随机过程n3.6.1 复随机变量 定义复随机过程Z为：Z=X+jY1、复随机变量Z的数学期望mZ为： mZ=EZ=EX+jEY=mX+jmY2、方差DZ为： DZ=DZ=E| |2.ZYjXjmmjYXmZZYXZ)()(.yxzDDYEXEYXEZED22222(3.6.1)(3.6.2)(3.6.3)(3.6.4)n3、相关矩：n 两个复随机变量Z1和Z2，其中：Z1=

15、X1+jY1； Z2=X2+jY2 ；当Z1=Z2=Z时，相关矩就是Z的方差；定义：2*121ZZECZZZZZDYEXEC2221)()(212121212122112*1XYYXYYXXZZCCjCCYjXYjXEZZEC当Z1=Z2=Z时，相关矩： 即复随机变量的方差等于它的实部和虚部的方差之和，同时也是非负的实数。(3.6.5)(3.6.6)(3.6.7)4、两个复随机变量的独立、不相关及正交),(),(),(22,11,2211,22112211yxpyxpyxyxpYXYXYXYX0)()(212121ZZZZmZmZEC2*12*121ZEZEZZERZZ02*121ZZERZZ

16、若满足：则称Z1和Z2相互统计独立。若满足： 或：则称Z1和Z2不相关。若满足：则称Z1和Z2正交。(3.6.8)(3.6.9)(3.6.10)3.6.2 复随机过程n定义复随机过程Z为：Z(t)=X(t)+jY(t),其中， X(t)，Y(t)为实随机过程。复过程Z(t)的统计特性可由X(t)和Y(t)的2n维联合概率分布（密度）完整地描述，其概率密度为：),;,(1111,nnnnYXttttyyxxp)()()()()()(2tZEtDtjmtmtZEtmZYXZ)()()()(),()()(),(*tmtZtmtZEttCtZtZEttRZZZZ(3.6.11)(3.6.12)(3.6

17、.13)(3.6.14).高斯随机过程n一、定义：n 若对于任何有限时刻ti(i=1,2,n)，随机变量Yi=Y(ti)集合的任意n维概率分布是高斯的，那么这个随机过程称为高斯随机过程。高斯过程的n维概率密度函数： )(21exp)2(1),;,(11212121ninkYkYiiknnnYkimymyCCCttyyyp其中：(3.7.1)21exp(),;,(11111nininkkiikYinnYCmjtti)()(),(21)()(exp)(212121 dtdtttttCdtttmjtYY由多维高斯变量的联合特征函数可得到高斯过程的多维特征函数:当抽样的时间间隔ts0时,有:列式。组成的协方差矩阵的行是由元素：)(|),(),(