积分问题的matlab求解

1、积分问题的解析解 不定积分的推导： 格式： F=int(fun,x) 例：用diff() 函数求其一阶导数，再积分，检验是否可以得出一致的结果。 syms x; y=sin(x)/(x2+4*x+3); y1=diff(y); y0=int(y1); pretty(y0) % 对导数积分 sin(x) sin(x) - 1/2 - + 1/2 - x + 3 x + 1 对原函数求对原函数求4 4 阶导数，再对结果进行阶导数，再对结果进行4 4次积分次积分 y4=diff(y,4); y0=int(int(int(int(y4); pretty(simple(y0) sin(x) - 2 x

2、+ 4 x + 3 例:证明 syms a x; f=simple(int(x3*cos(a*x)2,x)f = 1/16*(4*a3*x3*sin(2*a*x)+2*a4 *x4+6*a2*x2*cos(2*a*x)-6*a*x*sin(2*a*x)-3*cos(2*a*x)-3)/a4 f1=x4/8+(x3/(4*a)-3*x/(8*a3)*sin(2*a*x)+. (3*x2/(8*a2)-3/(16*a4)*cos(2*a*x); simple(f-f1) % 求两个结果的差ans = -3/16/a4 定积分与无穷积分计算: 格式： I=int(f,x,a,b) 格式： I=int

3、(f,x,a,inf) 例： syms x; I1=int(exp(-x2/2),x,0,1.5) 无解I1 =1/2*erf(3/4*2(1/2)*2(1/2)*pi(1/2) vpa(I1,70) ans = 1.085853317666016569702419076542265042534236293532156326729917229308528 I2=int(exp(-x2/2),x,0,inf) I2 =1/2*2(1/2)*pi(1/2) 2/ 2( )xfxe202( )xterf xe dt 多重积分问题的MATLAB求解 例： syms x y z; f0=-4syms x

4、 y z; f0=-4* *z z* *exp(-x2exp(-x2* *y-z2)y-z2)* *(cos(x2(cos(x2* *y)-y)-1010* *cos(x2cos(x2* *y)y)* *y y* *x2+.x2+. 4 4* *sin(x2sin(x2* *y)y)* *x4x4* *y2+4y2+4* *cos(x2cos(x2* *y)y)* *x4x4* *y2-sin(x2y2-sin(x2* *y);y); f1=int(f0,z);f1=int(f1,y);f1=int(f1,x); f1=int(f0,z);f1=int(f1,y);f1=int(f1,x);

5、f1=simple(int(f1,x) f1=simple(int(f1,x)f1 =f1 = exp(-x2 exp(-x2* *y-z2)y-z2)* *sin(x2sin(x2* *y)y) f2=int(f0,z); f2=int(f2,x); f2=int(f2,x); f2=simple(int(f2,y)f2 =2*exp(-x2*y-z2)*tan(1/2*x2*y)/(1+tan(1/2*x2*y)2) simple(f1-f2)ans =0 顺序的改变使化简结果不同于原函数，但其误差为0，表明二者实际完全一致。这是由于积分顺序不同，得不出实际的最简形式。 例： syms x

6、 y z int(int(int(4*x*z*exp(-x2*y-z2),x,0,1),y,0,pi),z,0,pi)ans =(Ei(1,4*pi)+log(pi)+eulergamma+2*log(2)*pi2*hypergeom(1,2,-pi2)Ei(n,z)为指数积分，无解析解，但可求其数值解： vpa(ans,60) ans = 3.10807940208541272283461464767138521019142306317021863483588 例：求解 f=inline(exp(-x.2/2).*sin(x.2+y),x,y); y=dblquad(f,-2,2,-1,1)

7、y = 1.57449318974494 任意区域上二元函数的数值积分 (调用工具箱NIT），该函数指定顺序先x后y.例 fh=inline(sqrt(1-x.2/2),x); % 内积分上限 fl=inline(-sqrt(1-x.2/2),x); % 内积分下限 f=inline(exp(-x.2/2).*sin(x.2+y),y,x); % 交换顺序的被积函数 y=quad2dggen(f,fl,fh,-1/2,1,eps)y = 0.41192954617630 解析解方法： syms x y i1=int(exp(-x2/2)*sin(x2+y), y, -sqrt(1-x2/2),

8、 sqrt(1-x2/2); int(i1, x, -1/2, 1)Warning: Explicit integral could not be found. In D:MATLAB6p5toolboxsymbolicsymint.m at line 58 ans = int(2*exp(-1/2*x2)*sin(x2)*sin(1/2*(4-2*x2)(1/2), x = -1/2 . 1) vpa(ans) ans = .41192954617629511965175994017601222112211sin()yxyIexy dxdy222221sin()xxyIexy dxdy例：计

9、算单位圆域上的积分： 先把二重积分转化： syms x y i1=int(exp(-x2/2)*sin(x2+y), x, -sqrt(1-y.2), sqrt(1-y.2);Warning: Explicit integral could not be found. In D:MATLAB6p5toolboxsymbolicsymint.m at line 58对x是不可积的，故调用解析解方法不会得出结果，而数值解求解不受此影响。 fh=inline(sqrt(1-y.2),y); % 内积分上限 fl=inline(-sqrt(1-y.2),y); % 内积分下限 f=inline(exp

10、(-x.2/2).*sin(x.2+y),x,y); %交换顺序的被积函数 I=quad2dggen(f,fl,fh,-1,1,eps)Integral did not converge-singularity likelyI = 0.53686038269795 三重定积分的数值求解 格式: I=triplequad(Fun,xm,xM,ym,yM, zm,zM， ,quadl) 其中quadl为具体求解一元积分的数值函数,也可选用quad或自编积分函数,但调用格式要与quadl一致。 例： triplequad(inline(4*x.*z.*exp(-x.*x.*y-z.*z), x,y,

11、z), 0, 1, 0, pi, 0, pi,1e-7,quadl)ans = 1.7328 曲线积分与曲面积分的计算 1 曲线积分及MATLAB求解 第一类曲线积分 起源于对不均匀分布的空间曲线总质量的求取.设空间曲线L的密度函数为f(x,y,z),则其总质量 其中s为曲线上某点的弧长,又称这类曲线积分为对弧长的曲线积分. 数学表示 若弧长表示为( ),( ),( )xx tyy tzz t例： syms t; syms a positive; x=a*cos(t); y=a*sin(t); z=a*t; I=int(z2/(x2+y2)*sqrt(diff(x,t)2+diff(y,t)2

12、+ diff(z,t)2),t,0,2*pi) I =8/3*pi3*a*2(1/2) pretty(I) 3 1/2 8/3 pi a 2例： x=0:.001:1.2; y1=x; y2=x.2; plot(x,y1,x,y2)绘出两条曲线 syms x; y1=x; y2=x2; I1=int(x2+y22)*sqrt(1+diff(y2,x)2),x,0,1); I2=int(x2+y12)*sqrt(1+diff(y1,x)2),x,1,0); I=I2+I1I =-2/3*2(1/2)+349/768*5(1/2)+7/512*log(-2+5(1/2)2 第二类曲线积分又称对坐标

13、的曲线积分，起源于变力沿曲线 移动时作功的研究曲线 亦为向量,若曲线可以由参数方程表示则两个向量的点乘可由这两个向量直接得出.( , , )f x y zlds例：求曲线积分 syms t; syms a positive; x=a*cos(t); y=a*sin(t); F=(x+y)/(x2+y2),-(x-y)/(x2+y2); ds=diff(x,t);diff(y,t); I=int(F*ds,t,2*pi,0) % 正向圆周 I =2*pi2222lxyxydxdyxyxy例： syms x; y=x2; F=x2-2*x*y,y2-2*x*y; ds=1; diff(y,x);

14、I=int(F*ds,x,-1,1) I = -14/152曲面积分与MATLAB语言求解2.1 第一类曲面积分 其中 为小区域的面积，故又称为对面积的曲面积分。曲面 由 给出，则该积分可转换成x-y平面的二重积分为dSS( , )z f xy例：四个平面，其中三个被积函数的值为0，只须计算一个即可。 syms x y; syms a positive; z=a-x-y; I=int(int(x*y*z*sqrt(1+diff(z,x)2+ diff(z,y)2),y,0,a-x),x,0,a) I =1/120*3(1/2)*a5 若曲面由参数方程曲面积分例： syms u v; syms

15、a positive; x=u*cos(v); y=u*sin(v); z=v;f=x2*y+z*y2; E=simple(diff(x,u)2+diff(y,u)2+diff(z,u)2); F=diff(x,u)*diff(x,v)+diff(y,u)*diff(y,v)+diff(z,u)* diff(z,v); G=simple(diff(x,v)2+diff(y,v)2+diff(z,v)2); I=int(int(f*sqrt(E*G-F2),u,0,a),v,0,2*pi) I =1/4*a*(a2+1)(3/2)*pi2+1/8*log(-a+(a2+1)(1/2) *pi2-1/8*(a2+1)(1/2)*a*pi2 2.2 第二类曲面积分又称对坐标的曲面积分可转化成第一类曲面积分若曲面由参数方程给出例：的上半部，且积分沿椭球面的上面。引入参数方程 x=a