土中的应力计算(二)

1、 附加应力：附加应力：新增外加荷载在地基土体中引起的应力新增外加荷载在地基土体中引起的应力第四节 地基中的附加应力n计算基本假定：计算基本假定：地基土是连续、地基土是连续、均匀、各向同性均匀、各向同性的半无限完全弹的半无限完全弹性体性体不同地基不同地基中应力分中应力分布各有其布各有其特点特点平面问题平面问题空间问题空间问题x,z的函数的函数x,y,z的函数的函数竖直集中力竖直集中力矩形内积分矩形内积分线积分线积分矩形面积竖直均布荷载矩形面积竖直均布荷载矩形面积竖直三角形荷载矩形面积竖直三角形荷载竖直线布荷载竖直线布荷载宽度积分宽度积分条形面积竖直均条形面积竖直均布荷载布荷载布森涅斯克解布森涅斯

2、克解一、一、竖向集中荷载作用下的地基竖向集中荷载作用下的地基附加应力附加应力1885年法国学者布辛涅斯克解 M( (x, ,y, ,z) )PoyxzxyzrRM( (x, ,y,0),0)q q3253cos2323RPRPzz2zPKz附加应力系数附加应力系数 附加应力分布规律附加应力分布规律 距离地面越深，附加应力的分布范围越广距离地面越深，附加应力的分布范围越广 在集中力作用线上的附加应力最大，向两侧逐渐减在集中力作用线上的附加应力最大，向两侧逐渐减小小 同一竖向线上的附加应力随深度而变化同一竖向线上的附加应力随深度而变化 在集中力作用线上，当在集中力作用线上，当z z0 0时，时，z

3、 z，随着深随着深度增加，度增加，z z逐渐减小逐渐减小 竖向集中力作用引起的附加应力向深部向四周无限竖向集中力作用引起的附加应力向深部向四周无限传播，在传播过程中，应力强度不断降低（传播，在传播过程中，应力强度不断降低（应力扩应力扩散散）附加应力分布规律附加应力分布规律叠加原理叠加原理 由几个外力共同作用时所引起的某一参数（内力、由几个外力共同作用时所引起的某一参数（内力、应力或位移），等于每个外力单独作用时所引起的该应力或位移），等于每个外力单独作用时所引起的该参数值的参数值的代数和代数和PazPbab两个集中力两个集中力作用下作用下z的的叠加叠加二、矩形基础地基中的附加应力计算二、矩形基

4、础地基中的附加应力计算( (一）均布竖向荷载情况一）均布竖向荷载情况 pKcz),(nmfKcblm/bzn/dp布辛涅斯克解积积分分矩形基础角点矩形基础角点下的竖向附加下的竖向附加应力系数应力系数 在求地基内任一点的应力之前，先求解角点下的应力，而后用角在求地基内任一点的应力之前，先求解角点下的应力，而后用角点法计算任意点处的应力。点法计算任意点处的应力。 1. 1.角点下的应力角点下的应力L L为长边为长边 ，b b为短边为短边角点法计算地基附加应力角点法计算地基附加应力pKKKKcccczzMoIVIIIIIIo oIIIIIIIVp2.2.任意点的应力任意点的应力 角点法角点法角点法：

5、利用角点下应力计算公角点法：利用角点下应力计算公式和叠加原理，求地基中任意点式和叠加原理，求地基中任意点的附加应力的方法。的附加应力的方法。角点法计算地基附加应力角点法计算地基附加应力pKKcczIIIo oo oIIIIo oIVo opKKKKcccczII计算点在基底边缘计算点在基底边缘计算点在基底边缘外计算点在基底边缘外角点法计算地基附加应力角点法计算地基附加应力计算点在基底角点外计算点在基底角点外Io oo oIIIIIIVpKKKKccccz表表8.6如图所示，矩形基底长为如图所示，矩形基底长为4m、宽为宽为2m，基础埋深为基础埋深为0.5m，基础两侧土基础两侧土的重度为的重度为1

6、8kN/m3，由上部中心荷载由上部中心荷载和基础自重计算的基底均布压力为和基础自重计算的基底均布压力为140kPa。试求基础中心试求基础中心O点下及点下及A点点下、下、H点下点下z1m深度处的竖向附加深度处的竖向附加应力。应力。HAOGFEQbadc（2）求）求O点下点下1m深处地基附加应力深处地基附加应力zo。O点是矩点是矩形面积形面积OGbE，OGaF，OAdF，OAcE的共同角点的共同角点。这四块面积相等，长度。这四块面积相等，长度l宽度宽度b均相同，故其附加均相同，故其附加应力系数应力系数Kc相同。根据相同。根据L，b，z的值可得的值可得 Lb=2 1=2 z b=11=1查表查表8.

7、6得得kc =0.1999，所以所以 z=4 Kc p0=40.1999 131 104.75（kPa）（3）求求A点下点下1m深处竖向附加应力深处竖向附加应力zA。HAOGFEQbadc【解】【解】（1）先求基底净压力（基底附加应力）先求基底净压力（基底附加应力）p0，由已知条件由已知条件 p0=p0d140180.5131kPaA点是点是ACbG，AdaG两块矩形的公共角点，这两块面积相等，长度两块矩形的公共角点，这两块面积相等，长度l宽度宽度b均相同，故其附加应力系数均相同，故其附加应力系数kc相同。根据相同。根据l，b，z的值可得的值可得 Lb=2 2=1 z b=12=0.5查表应用

8、线性插值方法可得查表应用线性插值方法可得kc=0.2315，所以所以 zA=2 kc p0=20.2315 131=60.65（kPa）（4）求求H点下点下1m深度处竖向应力深度处竖向应力zH。 H点是点是HGbQ，HSaG，HAcQ，HAdS的公共角点。的公共角点。zH是由四块面积各自引起的附加应力的是由四块面积各自引起的附加应力的叠加。对于叠加。对于HGbQ，HSaG两块面积，长度两块面积，长度L宽度宽度b均相同，由例图均相同，由例图 Lb=2.52=1.25 z b=1/2=0.5查表查表8.6对于对于HAcQ，HAdS两块面积，长度两块面积，长度L宽度宽度b均相同，由例图均相同，由例图

9、 Lb=20.5=4 z b=10.5=2查表查表8.6，得，得kc =0.1350，则则zH可按叠加原理求得：可按叠加原理求得： zH=（20.2352 20.1350 ）131=26.3（kPa）查表应用线性插值方法可得查表应用线性插值方法可得kc=0.2352kc=0.2352，所以所以（二）垂直三角形分布荷载（二）垂直三角形分布荷载dp布辛涅斯克解积积分分矩形基础角点矩形基础角点下的竖向附加下的竖向附加应力系数，均应力系数，均为为m, ,n的函数的函数 ttzpK 式中式中 K Kt t矩形基础受三角形分布竖向荷载作用时零矩形基础受三角形分布竖向荷载作用时零荷载角点下的附加应力系数，可

10、由荷载角点下的附加应力系数，可由 L/bL/b与与 z/b z/b 的值查表的值查表8-78-7。查表时。查表时b b始终为沿荷载变化方向的基底边长，另一始终为沿荷载变化方向的基底边长，另一边为边为L L。 对于荷载最大值角点下的对于荷载最大值角点下的 z z ，可利用均布荷载和三角，可利用均布荷载和三角形荷载叠加而得，即：形荷载叠加而得，即： z z = ( = (K Kc cK Kt t) )p pt t 对于矩形基底内、外各点下任意深度处的附加应力，对于矩形基底内、外各点下任意深度处的附加应力，仍可用角点法进行计算。仍可用角点法进行计算。（三）水平均布荷载（三）水平均布荷载hhzpK1矩

11、形基础角点矩形基础角点下的竖向附加下的竖向附加应力系数，均应力系数，均为为m, ,n的函数的函数 hhzpK2（四）梯形均布荷载（四）梯形均布荷载 将其分为竖向均布荷载和三角形荷载，最后进行叠加。【例题分析】【例题分析】 有两相邻基础有两相邻基础A和和B，其尺寸、相对位置及基其尺寸、相对位置及基底附加压力分布见右图底附加压力分布见右图，若考虑相邻荷载的影，若考虑相邻荷载的影响，试求响，试求A A基础底面中基础底面中心点心点o下下2m处的竖向附处的竖向附加应力加应力分析分析o o点的附加应力应该是两个基础共同产生的附加应力之和点的附加应力应该是两个基础共同产生的附加应力之和，根据叠加原理可以分别

12、进行计算，根据叠加原理可以分别进行计算2m2m200kPaAo1m1m1m300kPa3m2mBA基础引起的附加基础引起的附加应力应力zA=4Kc pAzB=（Kc1- Kc2- Kc3+ Kc4）pB B基础引起的基础引起的附加应力附加应力几种不同分布荷载计算几种不同分布荷载计算ttzzpKpxzMxzb/2b/21.1.均布荷载情况均布荷载情况ptxzMxzb2.2.三角形荷载情况三角形荷载情况Kzs , ,Kzt条形基底竖向附条形基底竖向附加应力系数加应力系数, , 均为均为m , ,n的函数，其中的函数，其中m= =x/ /b，n= =z/ /b，可查表得到可查表得到三、条形基础地基中

13、的附加应力计算三、条形基础地基中的附加应力计算基础底面长宽基础底面长宽比比l / b基础底面长宽基础底面长宽比比l / b10理想理想情况情况实际实际情况情况条条形形基基础础0pKszzzMxzb4.4.水平分布荷载情况水平分布荷载情况phxyKzh条形基底竖向附加应条形基底竖向附加应力系数力系数, , 为为m , ,n的函数，的函数，其中其中m= =x/ /b，n= =z/ /b，可可查表得到查表得到总结：总结：对于条形基础地基附加应力计算同样可以采用角点法，对于条形基础地基附加应力计算同样可以采用角点法，利用叠加原理，进行计算，计算中应注意不同分布情况的附利用叠加原理，进行计算，计算中应注

14、意不同分布情况的附加应力系数所对应的附加应力系数表格不同，查表计算时应加应力系数所对应的附加应力系数表格不同，查表计算时应该注意该注意hhzzpK注意注意：（：（1 1）原点在尖点）原点在尖点 （2 2）X X轴正向与荷载增大方向一致轴正向与荷载增大方向一致3.3.梯形分布荷载情况梯形分布荷载情况 将其分为竖向均布荷载和三角形荷载，最后进行叠加。将其分为竖向均布荷载和三角形荷载，最后进行叠加。 例题例题1 1某水闸基础宽度某水闸基础宽度b b=15m=15m，长度，长度l l=150m=150m，其上作用，其上作用有偏心竖向荷载与水平荷载，如图所示。试绘出基底中心点有偏心竖向荷载与水平荷载，如

15、图所示。试绘出基底中心点O O以及以及A A点以下点以下30m30m深度范围内的附加应力的分布曲线（基础埋深深度范围内的附加应力的分布曲线（基础埋深不大，可不计埋深的影响）。不大，可不计埋深的影响）。解：解：1.基底压力的计算因l/b=150/15=10，故属条形基础。 竖向基底压力 水平基底压力80120)155 . 061 (151500)61 (minmaxbebGFp4015600bPpHh2.基础中心O点下的竖向附加应力在计算时，应用叠加原理，将梯形分布的竖向荷载分解成两部分，在计算时，应用叠加原理，将梯形分布的竖向荷载分解成两部分，即均布竖向荷载即均布竖向荷载p p = 80kPa

16、= 80kPa和三角形分布竖向荷载和三角形分布竖向荷载p pt t = 40kPa= 40kPa，另有水，另有水平均布荷载平均布荷载p ph h = 40kPa= 40kPa，即，即O O点下不同深度的附加应力计算结果见表点下不同深度的附加应力计算结果见表8 8。根据计算结果绘出。根据计算结果绘出O O点下点下的沿深度分布曲线，如图。的沿深度分布曲线，如图。hzhtztSZzKpKppK3.基底基底A点下的竖向附加应力点下的竖向附加应力计算过程同上，计算过程同上， 的计算结果见表，的计算结果见表， 分布曲线见图。分布曲线见图。zz 表表1 1 基础中心基础中心O O点下的附加应力计算点下的附加

17、应力计算 表表2 2 基底基底A A点下的附加应力计算点下的附加应力计算 四、四、 土坝（堤）自重应力荷坝基附加应力土坝（堤）自重应力荷坝基附加应力 土坝（包括土堤，下同）的剖面形状不符合半无限空间体的假定。通常，土坝（包括土堤，下同）的剖面形状不符合半无限空间体的假定。通常，为实用上的方便，不论是均质的或非均质的土坝，其坝身任意点自重应力均假为实用上的方便，不论是均质的或非均质的土坝，其坝身任意点自重应力均假定等于单位面积上该计算点以上土柱的有效重度与土柱高度的乘积。定等于单位面积上该计算点以上土柱的有效重度与土柱高度的乘积。假定：柔性基础假定：柔性基础奥斯特伯格公式：坝顶宽范围以下任意深度

18、处：奥斯特伯格公式：坝顶宽范围以下任意深度处： 由由a a1 1/z, b/z, b1 1/z /z 和和a a2 2/z, b/z, b2 2/z /z 查图查图 有一填土路基，其断面尺寸如图所示。设路基填土的平有一填土路基，其断面尺寸如图所示。设路基填土的平均重度为均重度为21kN/m21kN/m3 3 ，试问，在路基填土压力下在地面下，试问，在路基填土压力下在地面下2.5m 2.5m 、路基中线右侧路基中线右侧2.0m2.0m的的A A点处附加应力是多少？点处附加应力是多少？ 1.5122.525y0 x图345 习题36图 （单位：m)22.52501237 .52.50yx22.5503 .52.50yx1yx23ppp1.51y0 xp解：根据路堤填土压力的简化算法，路基填土压力的分布形式解：根据路堤填土压力的简化算法，路基填土压力的分布形式与路基的断面形式相同，如图与路基的断面形式相同，如图 其中：其中： p=p= h h=21=21 2=42kPa2=42kPa 将荷载分为三块，如图，分别建立坐