动量与角动量(清华大学物理教案) 很重要

1、1我们往往只关心过程中力的效果我们往往只关心过程中力的效果力对时间和空间的积累效应。力对时间和空间的积累效应。力在时间上的积累力在时间上的积累效应：效应：平动平动冲量冲量动量的改变动量的改变转动转动冲量矩冲量矩角动量的改变角动量的改变力在空间上的积累力在空间上的积累效应效应功功改变能量改变能量 牛顿定律是瞬时的规律。牛顿定律是瞬时的规律。但在有些问题中，但在有些问题中， 如：碰撞（宏观）、如：碰撞（宏观）、（微观）（微观）散射散射2第第3章章 动量守恒定律与角动量守恒定律动量守恒定律与角动量守恒定律 1 质点运动的动量定理质点运动的动量定理 2 质点系的动量定理质点系的动量定理 动量守恒定律动

2、量守恒定律 3 质心质心 质心运动定理质心运动定理 4 角动量定理角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律 5 质心参考系质心参考系 31 质点运动的动量定理质点运动的动量定理 一、力的冲量一、力的冲量 二、二、 质点运动的动量定理质点运动的动量定理41 质点运动的动量定理质点运动的动量定理 一、力的冲量一、力的冲量 定义：定义：tfIft力力 作用时间为作用时间为 ，ftf则则 称为力称为力t在在 时间间隔内的冲量，时间间隔内的冲量，记作记作 SI tFI1MLTm单位单位NsfItfI5tfI定义式定义式niffff,21nitttt,21若在若在 t 间隔内物体间隔内物体受力受力依次为依

3、次为 相应作用相应作用时间时间依次为依次为则在则在 t 间隔内力的冲量为间隔内力的冲量为iniitfI111tf 22tf 33tf 44tf I冲量冲量矢量矢量过程量过程量若力的变若力的变化连续化连续ttttfId6二、质点运动的动量定理二、质点运动的动量定理tPFddPI由牛顿第由牛顿第二定律二定律)(PtFdd质点运动的质点运动的动量定理动量定理PPPttPtFdd0微分形式微分形式积分形式积分形式71）定理的形式特征定理的形式特征 (过程量过程量)=(状态量的增量状态量的增量)2）估算平均作用力估算平均作用力PtF讨论讨论PItFtFtt0dtPF思考思考：为什么向水泥墙内钉钉子要用锤

4、子呢？大力士除外：为什么向水泥墙内钉钉子要用锤子呢？大力士除外将积分用平将积分用平均力代替均力代替动量定动量定理写为理写为平均力平均力写为写为视频视频：动量：动量定理的应用定理的应用8例：动量定理解释了例：动量定理解释了“逆风行舟逆风行舟”船船演示演示前前进进方方向向风吹来风吹来取一小块风取一小块风dm为研究对象为研究对象00PPPIPImPd00初初mPd末末由牛顿第由牛顿第三定律三定律前前进进方方向向风对帆的冲量大小风对帆的冲量大小PI方向与方向与 相反相反PtPF92 质点系的动量定理质点系的动量定理 动量守恒定律动量守恒定律一、质点系一、质点系二、质点系的动量定理二、质点系的动量定理

5、动量守恒定律动量守恒定律三、火箭飞行原理三、火箭飞行原理- 变质量问题变质量问题10一、质点系一、质点系 N个质点组成的系统个质点组成的系统- 研究对象研究对象内力内力 internal force 系统系统内部内部各质点间的相互作用力各质点间的相互作用力质点系质点系 特点：特点： 成对出现；成对出现； 大小相等方向相反大小相等方向相反结论：结论：质点系的内力之和质点系的内力之和为零为零0iif质点系中的重要结论之一质点系中的重要结论之一11 外力外力 external force 系统系统外部外部对质点系对质点系内部内部质点的作用力质点的作用力F约定约定：系统内任一质点系统内任一质点受力之和

6、受力之和写成写成iifF外力之和外力之和内力之和内力之和质点系质点系12二、二、 质点系的动量定理质点系的动量定理 动量守恒定律动量守恒定律方法方法:对每个质点分别使用牛顿定律对每个质点分别使用牛顿定律,然后然后利用利用质质点系点系内力内力的特点加以化简的特点加以化简 到到 最简形式。最简形式。iFimif第第1步，对步，对 mi 使用动量定理：使用动量定理：02121iittittiPPtftFdd00iiiiiimPmP)()(02121iiittittiiPPtftFdd外力冲量之和外力冲量之和 内力冲量之和内力冲量之和第第2步，步，对对所有所有质质点点求和求和：13)()(02121i

7、iittittiiPPtftFdd质点系质点系iFimif 2121)(ttiiittitFtFdd由于每个质点的受力时间由于每个质点的受力时间dt 相同相同所以：所以：tFtFttittidd2121外iiFF外1F2F3Fc第第3步，化简步，化简上式：上式：先先看看外力外力冲量之和冲量之和tFittid21将所有的外力将所有的外力共点力相加共点力相加写成：写成：14)()(02121iiittittiiPPtftFdd 2121)(ttiiittitftfdd内力的冲量内力的冲量之和为零之和为零再再看看内力内力冲量之和冲量之和同样同样，由于每个质点的受力时间，由于每个质点的受力时间dt 相

8、同相同所以：所以：ittitf21d因为因为内力之和为零：内力之和为零：0iif所以有结论：所以有结论：021ittitf d质点系的重要结论之二质点系的重要结论之二15000iiiiiiiiiimPPmPP)()(02121iiittittiiPPtftFdd021PPtFttd外最后最后简写右边简写右边令令：则则，质点系的动量定理为，质点系的动量定理为（积分形式）（积分形式）160外F当当CP动量守恒定律动量守恒定律021PPtFttd外动量定理动量定理讨论讨论 1. .动量守恒定律是牛顿第三定律的必然推论。动量守恒定律是牛顿第三定律的必然推论。 2.动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。

9、动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。 微分形式？微分形式？tPFdd可以写成可以写成amF吗？吗？注意后面注意后面的讲解。的讲解。174.若若某个方向某个方向上合外力为上合外力为零零，则，则该方向该方向上动量上动量守恒守恒，尽管总动量可能并不守恒，尽管总动量可能并不守恒 5.当当外力外力内力内力且作用时间且作用时间极短时极短时（如碰撞）（如碰撞） 6.动量守恒定律比牛顿定律更动量守恒定律比牛顿定律更普遍、更基本普遍、更基本 ，在，在宏观和微观领域均适用。宏观和微观领域均适用。可认为动量可认为动量近似守恒近似守恒。7.用守恒定律作题，应注意分析用守恒定律作题，应注意分析 过程、系统过程、系统

10、和条件。和条件。 3. 动量若在某一动量若在某一惯性系惯性系中中守恒守恒，则在其它，则在其它 一切惯性系一切惯性系中中均守恒均守恒。18 “神州神州”号飞船升空号飞船升空三、火箭飞行原理三、火箭飞行原理- 变质量问题变质量问题19 粘附粘附 主体的质量增加（如滚雪球）主体的质量增加（如滚雪球） 抛射抛射 主体的质量减少（如火箭发射）主体的质量减少（如火箭发射） 还有另一类变质量问题是在还有另一类变质量问题是在高速（高速（v c）情况下，这时即使没有粘附和抛射，质量也情况下，这时即使没有粘附和抛射，质量也可以改变可以改变 随速度变化随速度变化 m = m(v)，这是，这是相对相对论论情形，情形，

11、不在本节讨论之列。不在本节讨论之列。变质量问题（低速，变质量问题（低速，v c）有）有两两类：类：下面仅以火箭飞行原理为例，讨论变质量问题。下面仅以火箭飞行原理为例，讨论变质量问题。20三、火箭飞行原理三、火箭飞行原理 （rocket）特征特征: 火箭体在飞行过程中火箭体在飞行过程中,由于不断地向外喷气由于不断地向外喷气,所以火箭体的质量不断地变化。飞行速度？所以火箭体的质量不断地变化。飞行速度？ 取取微小微小过程，即过程，即微小微小的时间间隔的时间间隔d tt火箭体质量为火箭体质量为MM速度速度VVttdMMdVVdmd)(VVud喷出的气体喷出的气体系统：火箭箭体系统：火箭箭体 和和dt

12、间隔内喷出的气体间隔内喷出的气体-喷气速度喷气速度（相对火箭体）相对火箭体）uu21t火箭体质量为火箭体质量为MM速度速度VVttdMMdVVdmd)(VVud喷出的气体喷出的气体系统：火箭箭体系统：火箭箭体 和和dt 间隔内喷出的气体间隔内喷出的气体utFVMVVumVVMMddddd)()(根据动量定理列出原理式：根据动量定理列出原理式：假设在自由空间发射，假设在自由空间发射，注意到：注意到：dm = - dM，按图示，可写出分量式，稍加整理为：按图示，可写出分量式，稍加整理为：220MuVMddMMVVMMuV00ddMMuVV00ln提高火箭速度的途径有二：提高火箭速度的途径有二：第一

13、条是提高火箭喷气速度第一条是提高火箭喷气速度u第二条是加大火箭质量比第二条是加大火箭质量比M0/M对应的措施是：对应的措施是：选优质燃料选优质燃料 采取多级火箭采取多级火箭23F求求：绳子被拉上任一段后，绳端的拉力：绳子被拉上任一段后，绳端的拉力Fxox0例例1 柔软的绳盘在桌面上，总质量为柔软的绳盘在桌面上，总质量为m0 ，总长，总长度度l 质量均匀分布，均匀地以速度质量均匀分布，均匀地以速度v0 提绳。提绳。动量定理动量定理举例举例注意：系统注意：系统 过程过程 原理应用原理应用24解解：(法一法一) 取整个取整个绳子为研究对象绳子为研究对象txox00000 xlmPttd00)(xxl

14、mPd00000)()(xlmxxlmtgmNFddF求求：绳子被拉上任一段后，绳端的拉力：绳子被拉上任一段后，绳端的拉力F例例1 柔软的绳盘在桌面上，总质量为柔软的绳盘在桌面上，总质量为m0 ，总长度，总长度l 质量均匀分布，均匀地以速度质量均匀分布，均匀地以速度v0 提绳。提绳。F受力图受力图gm0N25Fxox0 2)(0gxllmNxglmlmF0200 1)()(00000 xlmxxlmtgmNFddgxllm0N#26 已提升的质量已提升的质量(主体主体) m 和将要提升的质量和将要提升的质量dmt00mttdmmd000)(mtmgFdd 0tmmgFddtxlmtmdddd0

15、 xlmm00txddxglmlmF0200(法二法二) 类似类似火箭飞行火箭飞行的方法求解的方法求解Fxox0gm此例中方法此例中方法2似乎更简便些似乎更简便些系统是：系统是：#273 质心质心 质心运动定理质心运动定理 一、一、 质心的定义质心的定义 二、质心运动定理二、质心运动定理28一、质心的定义一、质心的定义iiiiimrmcryoxz质点系质点系imiriiiiimmccrctrccddtaccddiiiiicmama29对连续体对连续体mmmrmcrdd说明说明: 1）不太大物体不太大物体 质心与重心重合质心与重心重合 2）均匀分布的物体均匀分布的物体 质心在几何中心质心在几何中

16、心 3）质心是位置的加权平均值质心是位置的加权平均值 质心处不一定有质量质心处不一定有质量 4）具有可加性具有可加性 计算时可分解计算时可分解30二、质心运动定理二、质心运动定理1.质心速度与质点系的总动量质心速度与质点系的总动量iiiiimmcCcmiiimPmmmiiPmiiicmP而而312.质心运动定理质心运动定理质点系的动量定理质点系的动量定理PPttPtF021dd外PtFdd tPFddtmFcddcamF32camF讨论讨论1）质点系动量定理微分形式）质点系动量定理微分形式021PPtFttd外积分形式积分形式2）质心处的质点（质点系总质量）代替质）质心处的质点（质点系总质量）

17、代替质点系整体的平动点系整体的平动0F3）若）若c不变不变质心速度不变就是动量守恒（质心速度不变就是动量守恒（同义语同义语）tPFdd（ ）33camF4）此式说明，此式说明，合外力合外力直接主导质点系的直接主导质点系的平动平动，而质量中心最有资格代表质点系的平动。而质量中心最有资格代表质点系的平动。为什么？为什么？因为只有因为只有质心的加速度质心的加速度才满足才满足上式上式。只要只要外力外力确定，不管作用点怎样，确定，不管作用点怎样，质心质心的的加加速度速度就确定，质心的运动就确定，质心的运动轨迹轨迹就确定，即质就确定，即质点系的点系的平动平动就确定。就确定。34（如抛掷的物体、（如抛掷的物

18、体、跳水的运动员、跳水的运动员、爆炸的焰火等，爆炸的焰火等，其质心的运动都其质心的运动都是抛物线）。是抛物线）。 系统系统内力内力不会不会影响质心的运动影响质心的运动质心质心1 235例例2 如图如图olm已知已知：MlmM,地面光滑地面光滑初：单摆水平，静止初：单摆水平，静止求：求：下摆至下摆至 时，车的位移时，车的位移XMgNmg以例即将说明以例即将说明动量守恒和质心速度不变是动量守恒和质心速度不变是同义语同义语。动量动量守恒守恒的问题也可以利用的问题也可以利用 质心速度质心速度不变不变来解。来解。36解解：法一法一 用动量守恒定律用动量守恒定律选选 M + m 为系统为系统画系统画系统

19、受力图受力图0iiXF0XPt 10 xXmMV 2XXxVXXmMmVolmMXMgNmg37tXtVX0dtXtmMm0dXXmMmVt 10 xXmMV 2XXxVtXdt0)cos1 (l相对车的位移相对车的位移m)cos1 (lmMmX负号说明，车向负号说明，车向X的负向运动的负向运动#38法二法二 利用质心运动定理利用质心运动定理olmMXMgNmg解：解：根据根据质心运动定理，有质心运动定理，有结论结论caFcxcxX00系统初始时系统初始时静止静止任意时刻任意时刻00cXcX又由又由质心质心速度定义速度定义可知质心位置是可知质心位置是一一定值定值（即质心位置不变）。（即质心位置

20、不变）。39)cos1 (lmMmXolmMXMgNmg由于由于质心位置不变质心位置不变mMMXmXXMmc 10MmXMXm 2mMMmXXX任意任意时刻质心时刻质心坐标：坐标：404 角动量定理角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律一、质点对定点的角动量一、质点对定点的角动量二、力对定点的力矩二、力对定点的力矩三、质点的角动量定理三、质点的角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律四、质点系的角动量问题四、质点系的角动量问题 41思路思路:与处理动量定理与处理动量定理 动量守恒问题相同动量守恒问题相同一、质点对定点的角动量一、质点对定点的角动量t 时刻时刻(如图如图)mPorPrL定义定义

21、为质点对定点为质点对定点o 的角动量的角动量LsinPrL方向：垂直方向：垂直 组成的平面组成的平面Pr，SI/skgm2大小：大小： 12TMLL量纲量纲：42FrMmForM t 时刻时刻 如图如图定义定义sinFrMdF为力对定点为力对定点o 的力矩的力矩d二、力对定点的力矩二、力对定点的力矩大小：大小：中学就熟知的：中学就熟知的：力矩等于力乘力矩等于力乘力臂力臂方向：垂直方向：垂直 组成的平面组成的平面Fr, 22TMLM量纲量纲：NmSI431）物理量角动量和力矩）物理量角动量和力矩均与均与定点定点有关，有关，角动量也称角动量也称动量矩动量矩，力矩也叫，力矩也叫角力角力；2） 对轴的

22、角动量和对轴的力矩对轴的角动量和对轴的力矩 在具体的坐标系中，角动量（或力矩）在各坐在具体的坐标系中，角动量（或力矩）在各坐标轴的分量，就叫对轴的角动量（或力矩）。标轴的分量，就叫对轴的角动量（或力矩）。讨论讨论44z Ly Lx LPrLzyxz My Mx MFrMzyxxL：质点对：质点对x轴的角动量轴的角动量xM：质点对：质点对 x轴的力矩轴的力矩) () (zPyPxPzzyyxxLzyx某一方向的分量怎么求呢？某一方向的分量怎么求呢？由定义出发：由定义出发：) () (zFyFxFz zyyxxMzyxzyxFFFzyxzyxM 分量中，分量中，涉及的位矢分量为涉及的位矢分量为x,

23、y涉及的力的分量为涉及的力的分量为Fx,FyzMxyzyFxFM例如：力矩例如：力矩下面，下面，用用图示图示形象说形象说明，加明，加深理解深理解该计算该计算过程过程45xyzo用图示加深理解计算过程用图示加深理解计算过程思路：思路： 设设坐标原点坐标原点o是求力是求力 矩的定点矩的定点 某某时刻时刻 质点位矢是质点位矢是roxyrzrFxyFzFxyrxyxyzFrzMr受力是受力是F然后然后将位矢和力将位矢和力向向xy平面和平面和z方方向两个分向分解向两个分向分解最后得出结果最后得出结果46xyxyzFrzMz转轴转轴o转动平面转动平面F平行F轴rFrzMz求力对求力对 z 轴的力矩的轴的力

24、矩的简简化步骤：化步骤：第第1步，通过质点画步，通过质点画z轴轴转动平面（过质点垂直转动平面（过质点垂直转轴的平面，即过质点转轴的平面，即过质点的的xy平面）平面）第第2步，认定位矢和力步，认定位矢和力在转动平面内的分量在转动平面内的分量第第3步，算出力对步，算出力对z轴的轴的力矩力矩结论：结论：z轴转动平面内的分轴转动平面内的分量的运算就是对量的运算就是对z轴的力矩轴的力矩（或角动量）（或角动量）47tPFdd由牛顿第二定律由牛顿第二定律tPrFrddtLMdd三、质点的角动量定理三、质点的角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律两边用位矢叉乘两边用位矢叉乘得得或写成或写成LtMdd 48t

25、LMddLtMdd LLtt021LtMtt21d角动量守恒定律角动量守恒定律00LM冲量矩冲量矩微分形式微分形式积分形式积分形式491）角动量守恒定律的条件角动量守恒定律的条件2）动量守恒与角动量守恒动量守恒与角动量守恒 是相互是相互独立独立的定律的定律 3） 有心力有心力 力始终过某一点力始终过某一点 central force0Mo行星在速度和有心力所组成行星在速度和有心力所组成的平面内运动的平面内运动0M角动量守恒角动量守恒如行星运动如行星运动动量动量不不守恒守恒角动量角动量守恒守恒F直升飞机直升飞机讨论讨论500MsinrmL 开普勒第二定律开普勒第二定律sinrtrmddtrrmd

26、dsin212tSmdd2掠面速度掠面速度角动量守恒就是掠角动量守恒就是掠面速度相等面速度相等mLtS2ddL常矢量常矢量m Lvrr51四、质点系的角动量问题四、质点系的角动量问题 1.对定点的角动量对定点的角动量iiiiiPrLL2.定理和守恒定律定理和守恒定律iiiiiiiifrFrMMo1P1r2P2rtLMiiddii0iiifr内力对定点的力矩之和为零内力对定点的力矩之和为零质点系内的重要结论之三质点系内的重要结论之三 (自证自证)52tLMdd外iiLL形式上与质点的角动量定理完全相同形式上与质点的角动量定理完全相同内力对定点的力矩之和为零内力对定点的力矩之和为零只有外力矩才能改

27、变系统的总角动量只有外力矩才能改变系统的总角动量vector.const0LM角动量守恒定律角动量守恒定律53盘状星系盘状星系角动量守恒的结果角动量守恒的结果54比较比较 动量定理动量定理 角动量定理角动量定理tLMtPFdddd 形式形式上完全相同，所以记忆上就可上完全相同，所以记忆上就可简化简化。从动量定理变换到角动量定理，只需将相应从动量定理变换到角动量定理，只需将相应的量变换一下，名称上改变一下。的量变换一下，名称上改变一下。 （趣称（趣称 头上长角头上长角 尾部添矩）尾部添矩）LtMPtFttttdd21210000LMPF55 动量定理动量定理 角动量定理角动量定理tLMtPFddddLtMPtFttttdd21210000LMPF21tttFPFd21tttMLMd力力力矩或角力力矩或角力动量动量角动量角动量或动量矩或动量矩力的冲量力的冲量力矩的冲量力矩的冲量或冲量矩或冲量矩565 质心参考系质心参考系一、质心系一、质心系二、质心系的基本特征二、质心系的基本特征三、质心