第一章一元函数的极限与连续_第1页
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1、第一章一元函数的极限与连续CQZNR,a,)A,B,A,B,( , ).( , )|A,BAB,AB.xyx yx yxy设是两个非空集合称为序偶称集合为集合 与 的直积 记为000(, )(,)N xxx00000(, )(,)(,)N xxxx x22,(i) , (ii) .: F, P: F, 0. Q:F, 0.PQ,QP,PQ.,F,PFQaaaa 为了表达复杂命题 引入逻辑符号:任意给定存在例1 设 是某个数集命题命题命题 和命题 是两个相反的命题 记为非非数学上两个相反的命题 必有且仅有一个为真.上例中如果 为实数集 则 为真;如果 为复数集,则 为真.2i2. (ii): 1

2、 1.4 1.41 1.414 1.4142 ,p 从下面的例子看有理数集的不足之处.例2:( )没有有理数,可以使得 考察这样一个序列这个序列趋于 2 不是有理数 所以在有理数集中上诉序列没有极限.从这里也可以看出有理数集在数轴上虽然是稠密的但是还是有空隙的,无理数就是这些空隙.1:A,A, A,A.AAA,A.A0,A,|.LxxLLMxxM 定义设集合使得则称 是 的上界 类似可以定义 的下界.如果集合 既有上界 又有下界,则称集合 有界 否则称集合 无界集合 有界使得注:有上界(下界)的数集的上界(下界)不是唯一的.RR002:A,A, (i)A,; (ii)0,A,. AsupAAi

3、nfAsxxsxxss 定义设如果使得使得则称 是 的上确界,记为.类似可以定义集合 的下确界.RR2223:12(1),231(2)1,4,9,16,(3) |,2,0(4) |,2,0.nEnFnGx xxxHx xxx 定理1: 有上( 下) 界的非空实数例集求下列集合的上下确界必有上( 下) 确界.QRA,B,ABABABA, (A).xfyffyxf设是非空集合 如果对任给的 中的元素 按照对应法则 在 中总是存在唯一的 与之对应,则称为 到 的一个映射,记为: :.其中称 为像, 为原像, 为定义域为值域121212121212:(1):,:( );( ),()();(),()()

4、,.(2):.fABi fiix xAxxf xf xiiix xAf xf xxxfABf注设则以下三个结论等价是单射若且则若且则映射可逆是双射4 ()(1) 1, 0sgn0, 01,0(2) ( ) , 1(3) Dirichlet1, ( )0, xxxxf xxxxxxxxD xx 例 ： 分段函数符号函数 取整函数表示不超过 的最大整数. 函数QQR :sh,2:ch,2:th,xxxxxxxxeexxeexxeexxee 双曲正弦奇函数,-双曲余弦偶函数,-双曲正切奇函数,-2222(1) (2) sh()sh chch shch()ch chsh shchsh1sh22sh ch , ch2chshxyxyxyxyxyxyxxxxx

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