第三章曲线及曲面

1、第三章第三章 曲线与曲面曲线与曲面3.1 曲线与曲面曲线与曲面3.2曲面立体的投影曲面立体的投影3.3平面截割平面体平面截割平面体3.4直线与曲面立体相交直线与曲面立体相交3.5平面体与曲面体相交平面体与曲面体相交3.6两曲面体相交两曲面体相交 3.1 曲线与曲面曲线与曲面（一）曲线（一）曲线曲线曲线可以看成是一个点按一定规律运动而形成的轨迹。可以看成是一个点按一定规律运动而形成的轨迹。平面曲线平面曲线：曲线上各点都是在同一个平面内（如圆、椭圆、双曲：曲线上各点都是在同一个平面内（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）。线、抛物线等）。空间曲线空间曲线：曲线上各点不在同一个平面内（如圆柱螺旋线等）。：

2、曲线上各点不在同一个平面内（如圆柱螺旋线等）。曲线曲线 圆的投影圆的投影（1）圆所在的平面平行于投影面时，圆的投影反映实形（同样大）圆所在的平面平行于投影面时，圆的投影反映实形（同样大小的圆）；小的圆）；（2）圆所在的平面倾斜于投影面时，圆的投影不反映实形（成为）圆所在的平面倾斜于投影面时，圆的投影不反映实形（成为椭圆）；椭圆）；（3）圆所在的平面垂直于投影面时，圆的投影积聚为一条直线）圆所在的平面垂直于投影面时，圆的投影积聚为一条直线（长度等于直径）。（长度等于直径）。（二）曲面（二）曲面 曲面曲面可以看成是由直线或曲线在空间按一定规律运动而形成。可以看成是由直线或曲线在空间按一定规律运动而

3、形成。 曲面曲面 直线曲面直线曲面：由直线运动而形成的曲面称为。：由直线运动而形成的曲面称为。 曲线曲面曲线曲面：由曲线运动而形成的曲面称为。：由曲线运动而形成的曲面称为。 回转体回转体是由一母线（直线或曲线）绕一固定轴线作回转运动形成是由一母线（直线或曲线）绕一固定轴线作回转运动形成的，因此圆柱体、圆锥体、球体和环体都是回转体。的，因此圆柱体、圆锥体、球体和环体都是回转体。 曲线与曲面曲线与曲面曲面的形成曲面的形成圆柱曲面圆柱曲面是一条直线围绕一条轴线始终保持平行和等距是一条直线围绕一条轴线始终保持平行和等距旋转而成。旋转而成。 母线母线圆锥面圆锥面是一条直线与轴线交于一点始终保持一定夹角旋

4、转而成的。是一条直线与轴线交于一点始终保持一定夹角旋转而成的。 母线母线曲面的形成曲面的形成球面球面是由一个圆或圆弧线以直径为轴旋转而成。是由一个圆或圆弧线以直径为轴旋转而成。 曲面的形成曲面的形成（三）素线与轮廓线（三）素线与轮廓线 形成曲面的母线，它们在曲面上的任何位置称为形成曲面的母线，它们在曲面上的任何位置称为素线素线。 我们把确定曲面范围的外形线称为我们把确定曲面范围的外形线称为轮廓线轮廓线（或（或转向轮廓线转向轮廓线），轮廓），轮廓线也是可见与不可见的分界线。线也是可见与不可见的分界线。 当回转体的旋转轴在投影体系中摆放的位置合理时，当回转体的旋转轴在投影体系中摆放的位置合理时，轮

5、廓线与素线重轮廓线与素线重合合，这种素线称为，这种素线称为轮廓素线轮廓素线。 在三面投影体系中，常用的四条轮廓素线分别为：形体在三面投影体系中，常用的四条轮廓素线分别为：形体最前边素线、最前边素线、最后边素线、最左边素线最后边素线、最左边素线和和最右边素线。最右边素线。 曲面的形成曲面的形成曲面的形成曲面的形成（四）纬圆（四）纬圆 由回转体的形成可知，由回转体的形成可知，母线上任意一点的运动轨母线上任意一点的运动轨迹为圆，该圆垂直轴线，迹为圆，该圆垂直轴线，此圆既为此圆既为纬圆纬圆。 回转轴母线轮廓素线OO1纬圆曲面的分类曲面的分类按母线的形状分直纹曲面曲纹曲面按母线的运动形式分有导线导面的曲

6、面回转曲面有导线导面的直纹曲面有导线导面的直纹曲面 直线形的母线在固定的直线或曲线上滑动，所形成的曲面叫做有导线的直纹曲面；如果母线在滑动时，又始终平行于某一个固定的平面或曲面，这样形成的曲面叫做有导线导面的直纹曲面。P导平面曲导线直导线3.2 3.2 曲面立体的投影曲面立体的投影由曲面或曲面和平面围合而成的立体称为曲面立体。圆柱体的投影分析圆柱体的投影分析（回转轴垂直于H面） 水平投影是一个圆，这个圆既是上底圆和下底圆的重合投影，反映实形，又是圆柱面的积聚投影，其半径等于底圆的半径，回转轴的投影积聚在圆心上（通常用细点画线画出十字对称中心线） 。 正面投影和侧面投影是两个相等的矩形，矩形的高

7、度等于圆柱的高度，宽度等于圆柱的直径（回转轴的投影用细点画线来表示） 。圆柱体的投影分析圆柱体的投影分析（回转轴垂直于H面） 正面投影的左、右边线分别是圆柱最左、最右的两条轮廓素线的投影，这两条素线把圆柱分为前、后两半，他们在W面上的投影与回转轴的投影重合。 侧面投影的左、右边线分别是圆柱最前、最后的两条轮廓素线的投影，这两条素线把圆柱分为左、右两半，他们在V面上的投影与回转轴的投影重合。ac(b )圆柱表面取点圆柱表面取点素线法acbb (c) a 圆锥体的投影分析圆锥体的投影分析（回转轴垂直于H面） 水平投影是一个圆，这个圆是圆锥底圆和圆锥面的重合投影，反映底圆的实形，其半径等于底圆的半径

8、，回转轴的投影积聚在圆心上，锥顶的投影也落在圆心上（通常用细点画线画出十字对称中心线） 。 正面投影和侧面投影是两个相等的等腰三角形，高度等于圆锥的高度，底边长等于圆锥底圆的直径（回转轴的投影用细点画线来表示） 。圆锥体的投影分析圆锥体的投影分析（回转轴垂直于H面） 正面投影的左、右边线分别是圆锥最左、最右的两条轮廓素线的投影，这两条素线把圆柱分为前、后两半，他们在W面上的投影与回转轴的投影重合，在H面上的投影与圆的水平中心线重合。 侧面投影的左、右边线分别是圆锥最前、最后的两条轮廓素线的投影，这两条素线把圆柱分为左、右两半，他们在V面上的投影与回转轴的投影重合，在H面上的投影与圆的竖直中心线

9、重合。圆锥表面取点圆锥表面取点aaa11方法一：素线法。方法一：素线法。 方法二：纬圆法。方法二：纬圆法。球体的投影分析球体的投影分析球体的三个投影为直径相等并等于球体直径的圆。但这三个圆并不是球体上同一个圆周的投影。PVa(c )b球体表面上取点球体表面上取点ac(b )acb纬圆法圆环的投影分析圆环的投影分析圆环的水平投影由赤道圆和喉圆的水平投影组成，正面投影的左、右是两个小圆（反映母圆的实形，但有半边看不见，画成虚线），小圆的公切线分别是环面上最上和最下两个纬圆的正面投影。m圆环表面取点圆环表面取点m纬圆法3.3 3.3 平面截割曲面体平面截割曲面体 平面与曲面立体相交，也叫截割，所得截

10、交线一般情况下是平面曲线，或是由曲线和直线围合而成的平面图形。 截交线同样具有闭合性闭合性和共有性共有性的特点。截交线的求法截交线的求法 表面取点法：表面取点法：（1）素线法：在曲面立体的表面上取若干素线，求出素线与截平面的交点，然后依次光滑连接即可。（2）纬圆法：在曲面立体的表面上取若干纬圆，求出纬圆与截平面的交点，然后依次光滑连接即可。 辅助平面法：辅助平面法： 以某些特殊位置平面为辅助平面，求出辅助平面与曲面立体和截平面的交线，则这两条交线的交点即为截交线上的点，将这些点依次光滑连接即为所求截交线。作图步骤作图步骤1、进行线面分析，判断截交线的形状和性质。2、根据截平面和曲面立体所处的位

11、置，决定采用什么方法求截交线。3、求出特殊位置点的投影。4、根据需要求出若干一般位置点的投影。5、光滑且顺序的连接各点，作出截交线，并判别可见性。6、整理轮廓线。截交线截交线平面与圆柱面截交平面与圆柱面截交截平面截平面P的的位置位置截平面垂直于圆柱轴线截平面垂直于圆柱轴线截平面倾斜于圆柱轴线截平面倾斜于圆柱轴线截平面平行于圆柱轴线截平面平行于圆柱轴线截交线空间截交线空间形状形状圆圆椭圆椭圆两条平行直线两条平行直线投影图投影图求圆柱体截交线求圆柱体截交线341265785（6）7（8）187256342、作特殊位置点的投影。3、作一般位置点的投影。4、画截交线。5、整理轮廓。解题步骤：1、进行线

12、面分析，判断截交线的形状和特点。23（4）1345334554122112求圆柱体截交线求圆柱体截交线想象立体的形状并绘出侧面投影图想象立体的形状并绘出侧面投影图截平面截平面p位位置置截平面垂直于圆锥截平面垂直于圆锥轴线轴线截平面与锥面上所截平面与锥面上所有素线相交有素线相交截平面平行于圆锥截平面平行于圆锥面上一条素线面上一条素线截平面平行于圆锥面上截平面平行于圆锥面上两条素线两条素线截平面通过锥顶截平面通过锥顶截交线空截交线空间形状间形状圆圆椭圆椭圆抛物线抛物线双曲线双曲线两条素线两条素线投影图投影图平面与圆锥面截交圆锥面截交333求圆锥体截交线求圆锥体截交线求圆台截交线求圆台截交线12(3

13、)6(7)4(5)17654321543267平面与球体截交平面与球体截交球体被任意方向的平面截割，其截交线在空间都是圆。1212343456567878abcdbacd2134567 8abcd求球体的截交线求球体的截交线22112求球体的截交线求球体的截交线3.4 3.4 直线和曲面立体相交直线和曲面立体相交 直线和曲面立体相交所得的交点也叫贯穿点贯穿点。 求作直线和曲面立体的贯穿点，如同求直线与平面立体的贯穿点一样，一般也采用辅助平面法。步骤如下： （1）过已知直线作一个辅助平面（特殊位置平面）； （2）求辅助平面与曲面立体的截交线； （3）确定截交线与已知直线的交点，该交点即为所求点。

14、 在特殊情况下，如曲面的投影具有积聚性，或直线的投影积聚，则可直接求出贯穿点。求贯穿点求贯穿点(直线与圆柱、圆锥贯穿直线与圆柱、圆锥贯穿)ababcdc(d)12213.5 3.5 平面立体和曲面立体相交平面立体和曲面立体相交 平面立体和曲面立体相交，也称相贯，所得的相贯线一般是由若干段平面曲线或平面曲线和直线所围成。 各段曲线就是平面立体的各棱面截割曲面体所得的截交线；每一段相贯线的转折点，就是平面立体的棱线与曲面立体相交的贯穿点。相贯线的求法相贯线的求法 求平面立体与曲面立体的相贯线，可归结为求平面与曲面立体的截交线和直线与曲面立体的贯穿点。 作相贯线投影图的方法：作相贯线投影图的方法：

15、通常情况下，先求出贯穿点（即相贯线的转折点），再按照求曲面立体的截交线的方法求出每段曲线或直线。【例】如下图所示，求四棱锥【例】如下图所示，求四棱锥与圆柱与圆柱的相贯线。的相贯线。 解：解： 1）求连接点。）求连接点。2）求特殊点。）求特殊点。 3）判别可见性并连线。）判别可见性并连线。 平面体与圆柱相交平面体与圆柱相交PWQW平面体与圆锥相交平面体与圆锥相交解题步骤：（1）进行线面分析，判断相贯线的形状；（2）作相贯线上转折点、特殊位置点的投影；（3）根据情况作若干个相贯线上一般位置点的投影；（5）整理轮廓。（4）光滑地连接各点，并判断可见性；312321231【例】【例】 如下图所示，给出

16、圆锥薄壳基如下图所示，给出圆锥薄壳基础的主要轮廓线，求作相贯线。础的主要轮廓线，求作相贯线。 解：解：1）求特殊点。）求特殊点。 3）连点。）连点。 4）判断可见性。）判断可见性。 2）同样用素线法求出两对称的一般点）同样用素线法求出两对称的一般点E、F的正面投影的正面投影e、f及侧面投影及侧面投影e、f； 平面体与球体相交平面体与球体相交3.6 3.6 两曲面立体相交两曲面立体相交 两曲面立体相交所得的相贯线，一般情况下是空间曲线，特殊情况下是平面曲线或直线。空间曲线圆直线和圆的组合直线两个椭圆求曲面立体相贯线的方法求曲面立体相贯线的方法选择辅助平面的原则是：选择辅助平面的原则是：一定要使选

17、用的辅助平面与曲面立体的截一定要使选用的辅助平面与曲面立体的截交线是直线或圆，并且其投影也是直线或圆。交线是直线或圆，并且其投影也是直线或圆。1.积聚投影法积聚投影法:相交两曲面体，如果有一个表面投影具有积聚性时，相交两曲面体，如果有一个表面投影具有积聚性时，就可利用该曲面体投影的积聚性作出两曲面的一系列共有点，然后就可利用该曲面体投影的积聚性作出两曲面的一系列共有点，然后依次连成相贯线。依次连成相贯线。 2.辅助平面法辅助平面法:根据三面共点原理，作辅助平面与两曲面相交，求出两辅根据三面共点原理，作辅助平面与两曲面相交，求出两辅助截交线的交点，即为相贯点。助截交线的交点，即为相贯点。相贯线上

18、的特殊点包括：相贯线上的特殊点包括：可见性分界点，曲面投影轮廓线上的可见性分界点，曲面投影轮廓线上的点，极限位置点（最高、最低、最左、最右、最前、最后）等。点，极限位置点（最高、最低、最左、最右、最前、最后）等。 求共有点时求共有点时，应先求特殊点，再求一般点。，应先求特殊点，再求一般点。 求曲面立体相贯线的步骤求曲面立体相贯线的步骤（1）进行线面分析，判断曲面立体的形状、大小、相对位）进行线面分析，判断曲面立体的形状、大小、相对位置；置；（2）分析相贯线的形状；）分析相贯线的形状；（3）分析曲面立体的哪个投影具有积聚性，相贯线的哪个）分析曲面立体的哪个投影具有积聚性，相贯线的哪个投影已知，哪个投影要求；投影已知，哪个投影要求；（4）作出相贯线上的特殊点的投影；）作出相贯线上的特殊点的投影；（5）根据需要作出若干一般位置点的投影；）根据需要作出若干一般位置点的投影；（6）光滑并顺序的连接各点作出相贯线，并判断可见性；）光滑并顺序的连接各点作出相贯线，并判断可见性；（7）整理轮廓线。）整理轮廓线。求曲面立体的相贯