高等代数§1.1数域

1、高等代数课件高等代数课件第一章第一章 多项式多项式1.1 1.1 数域数域代数与几何教研室1.1 数域一、数域一、数域设设P P是由一些复数组成的集合，其中包括是由一些复数组成的集合，其中包括数不为数不为0 0）仍是）仍是P P中的数，则称中的数，则称P P为一个数域为一个数域0 0与与1 1，如果，如果P P中任意两个数的和、差、积、商（除中任意两个数的和、差、积、商（除 例例: :复数集复数集C C、实数集、实数集R R、有理数集、有理数集Q Q都是数域。都是数域。注：自然数集注：自然数集N N，整数集，整数集Z Z都不是数域都不是数域.DefRemark:Remark:1. 1. 若数集

2、若数集P P中任意两个数作某一运算的结果仍在中任意两个数作某一运算的结果仍在P P中，则说数集中，则说数集P P对这个运算是对这个运算是封闭封闭的的2. 2. 数域的等价定义：如果一个包含数域的等价定义：如果一个包含0 0，1 1在内的数在内的数集集P P对于加法，减法，乘法与除法（除数不为对于加法，减法，乘法与除法（除数不为0 0）是封闭的，则称集是封闭的，则称集P P为一个数域为一个数域是一个数域是一个数域例例1 1证明：数集证明：数集 ( 2)2 | ,Qaba bQ证：证： 000 2,110 2,( 2),x yQ又对又对 2,2,xabycd设设 则有则有 (2)() 2( 2)x

3、 yacbdadbcQ0,1( 2)Q, , ,a b c dQ ()() 2( 2),xyacbdQ设设20,ab于是于是也不为也不为0 02ab 或或 0,0ab矛盾）矛盾） （否则，若（否则，若20,ab则则2,ab 2,aQb于是有于是有20.ab2(2)(2)2(2)(2)cdcdabababab 222222.22acbdadbcQabab为数域为数域( 2)Q ,(1),abi aQ ibQ i 是数域是数域. .类似可证类似可证例例2 2设设P P是至少含两个数的数集，证明：若是至少含两个数的数集，证明：若P P中任中任意两个数的差与商（除数意两个数的差与商（除数0 0）仍属于

4、）仍属于P P，则，则P P为一为一一个数域一个数域有有证：由题设任取证：由题设任取,a bP 0,aaP1(0),bP bb(0),ababP,abP(0),aP bb所以，所以，P P是一个数域是一个数域110,bbabP时时, ,00.babP时时, ,二、数域的性质二、数域的性质定理定理: : 任意数域任意数域P P都包括有理数域都包括有理数域Q Q即，有理数域为最小数域即，有理数域为最小数域证明：证明： 设设P P为任意一个数域由定义可知，为任意一个数域由定义可知，于是有于是有01.， PP,111mZmP 进而进而 有有,mm nZPn 而任意一个有理数可表成两个整数的商，而任意一

5、个有理数可表成两个整数的商，.QP0.mmPnn设设P P为非空数集，若为非空数集，若则称则称P P为一个数环为一个数环RemarkRemark,a bPabPa bP 例如，整数集例如，整数集Z Z 就作成一个数环就作成一个数环数环数环: :三、数学归纳法三、数学归纳法1 1）当）当 时，时，S S成立成立第一数学归纳法第一数学归纳法设设S S是一个与自然数有关的命题，且满足是一个与自然数有关的命题，且满足2 2）假设当）假设当 时，时，S S成立，则成立，则0nn 0,) (kkN knn 当当 时，时，S S成立。成立。 1kn 1 1）当）当 时，时，S S成立成立第二数学归纳法第二数学归纳法设设S S是一个与自然数有关的命题，且满足是一个与自然数有关的命题，且满足 2 2）假设）假设S S对一切大于或等于对一切大于或等于 而小于而小于 的的自然数成立，则自然数成立，则S S对对 成立。成立。0nn 则则S S对当对当 的一切自然数都成立。的一切自然数都成立。 0n 0nnn