大学物理126一维势场中的粒子

1、12.6 一维势场中的粒子一维势场中的粒子 12.6.1 无限深方势阱中的粒子无限深方势阱中的粒子 12.6.2 简谐振子简谐振子 12.6.3 隧道效应隧道效应 设一个质量为设一个质量为m的粒子在一维势场的粒子在一维势场U(x)中运中运动，能量本征方程动，能量本征方程)()()(dd2222xExxUxm0)()(2)(2 xxUEmx 给定势能函数给定势能函数U(x)，求粒子的，求粒子的能量能量 E 和相应的本征波函数和相应的本征波函数 (x)；求解两类问题：求解两类问题： 设粒子以能量设粒子以能量 E 射向势垒射向势垒U(x)，计算粒子穿透势垒的概率。计算粒子穿透势垒的概率。0)()(2

2、)(2 xxUEmx本征值问题：本征值问题：散射问题：散射问题： 一维一维无限深方势阱无限深方势阱U=0EUUU(x)x0a0E，为什么？，为什么？axxaxxU,0,0, 0)(a金属金属U(x)U=U0U=U0EU=0 x0a12.6.1 无限深方势阱中的粒子无限深方势阱中的粒子粒子不可能静止粒子不可能静止0)()(2)(2 xxUEmx1. 分区求通解分区求通解（1）阱外（）阱外（x0 或或 xa），0)()(2 xx22)(2EUm通解：通解： ，xxBAxee)(：0 x波函数有限要求波函数有限要求 0B0)(x：ax 0A0)(x以以 为例为例阱外波函数为零，粒子只能在阱内运动。阱

3、外波函数为零，粒子只能在阱内运动。 （2）阱内（）阱内（0 xa），0)(2)(2 xmExmEk2设设0)()(2 xkx通解：通解： kxDkxCxcossin)( 已满足单值、有限条件。已满足单值、有限条件。 2. 用波函数的连续条件确定特解用波函数的连续条件确定特解0)()0(a D=0 kxCxsin)(0) 0(0)(a0sinka, 3 , 2 , 1,nank粒子的能量本征值，或能级：粒子的能量本征值，或能级： ，32122222222nnmamkEn无限深方势阱中粒子的能量是量子化的无限深方势阱中粒子的能量是量子化的能量本征波函数：能量本征波函数： axxaxnaxnaxn,

4、 0, 00, 3 , 2 , 1,sin2)(当当当当12.6.2 简谐振子简谐振子2221)(xmxU一维简谐振子的势能函数：一维简谐振子的势能函数：能量本征方程：能量本征方程： 0)(212)(222 xxmEmx 变系数二阶常微分方程，采用级数解法。变系数二阶常微分方程，采用级数解法。 能量本征值：能量本征值： , 2 , 1 , 0,2121nnhnEn零点能：零点能：h/2; ; 能量子：能量子：h 可以证明，在光照下带电简谐振子的跃迁只可以证明，在光照下带电简谐振子的跃迁只能发生在相邻能级之间，即一次跃迁只能发射能发生在相邻能级之间，即一次跃迁只能发射或吸收一个能量子。或吸收一个

5、能量子。 简谐振子是一个十分有用的振动模型，可用简谐振子是一个十分有用的振动模型，可用于原子核中质子和中子的振动、分子中原子的振于原子核中质子和中子的振动、分子中原子的振动、固体晶格点阵上原子的振动。动、固体晶格点阵上原子的振动。固体晶格点阵固体晶格点阵上原子振动的能量就可以用能量子来描述，这时上原子振动的能量就可以用能量子来描述，这时的能量子称为声子。的能量子称为声子。 空腔内壁的分子可以看成带电简谐振子，在空腔内壁的分子可以看成带电简谐振子，在一定温度下这些简谐振子所发射的各种频率的一定温度下这些简谐振子所发射的各种频率的能量子，在空腔内就形成了辐射场。能量子，在空腔内就形成了辐射场。能量

6、最低的三个本征波函数：能量最低的三个本征波函数： 22241224112410222222e ) 12(21)(e2)(e)(xxxxxxxx【例】【例】设系统的初始状态为设系统的初始状态为)(32)(31) 0 ,(20 xxx其中其中0和和2分别是分别是频率为频率为 的的 n=1 和和 2 的的简谐简谐振子能量本征态。振子能量本征态。（2）求）求t 时刻系统的状态时刻系统的状态(x,t)。（1）(x,0)是定态吗？在是定态吗？在(x,0)上测量系统的上测量系统的能量，能测到哪些值？测到这些值的概率是多能量，能测到哪些值？测到这些值的概率是多大？测量值的平均值是多少？大？测量值的平均值是多少

7、？（只要求了解）（只要求了解） 在状态在状态(x,0)上测量能量，能测到的值为上测量能量，能测到的值为 测到测到E0的的概率概率：1/3；测到；测到E2的的概率概率：2/3；它；它们分别等于展开式中相应展开系数的模方。们分别等于展开式中相应展开系数的模方。hE210hhE25212,2测量值的平均值：测量值的平均值：hEEE611323120（1）)(32)(31) 0 ,(20 xxx不是定态。不是定态。解解xxxCnnd)0 ,()(*xxxxxxnndd)()(32)()(312*0*2,0,3231nn, 0,32, 0,313210CCCCtEtExxtx20i2i0)(32)(31

8、),(eetEnnnnxCtxi)(),(e（2）求求（正交归一化）（正交归一化）12.6.3 隧道效应隧道效应一维方势垒的势能函数一维方势垒的势能函数 axxaxUxU,0, 00,)(0当当当当 质量为质量为m的粒子以能的粒子以能量量E沿沿x轴射向势垒。只轴射向势垒。只讨论讨论EU0情况，设势情况，设势垒无吸收，垒无吸收，E 不变。不变。 波动性波动性粒子有一粒子有一定概率穿透势垒：定概率穿透势垒： 隧道隧道效应效应 定理：定理：对于势场连续点，或势场不是无限大的对于势场连续点，或势场不是无限大的 间断点，波函数的一阶导数连续。间断点，波函数的一阶导数连续。xx0U(x)01)(xxx02

9、)(xxx)()(0201xx)()(0201xx波函数连续波函数连续（概率连续概率连续）：波函数一阶导数连续：波函数一阶导数连续：xx0U(x)01)(xxx02)(xxxxxxUEmxxxxxxdd 0000)()(2)(2xxxUEmxxxxd)()(2)()(0020102xxxUExxd00)()(lim0)()(2)(2xxUEmx 证明：证明：)()(0201xx有限有限0 给定给定E和和U(x)，求解薛定谔方，求解薛定谔方程得到波函数程得到波函数3，由，由3计算粒计算粒子出现在子出现在3区的概率。区的概率。0)()(0)()(0)()(323222121 xkxxxxkx，mE

10、k2)(20EUm设设特解：特解： )(e)()(ee)()(e)(e)(i32ii1透射波透射波阱壁多次反射阱壁多次反射反射波反射波入射波入射波kxxxkxkxSxBAxRx 穿透系数：穿透系数：粒子穿透势垒的概率，等于透射粒子穿透势垒的概率，等于透射波的概率密度除以入射波的概率密度波的概率密度除以入射波的概率密度2i2ieekxkxST 波函数和波函数一阶导数的连续条件：波函数和波函数一阶导数的连续条件：)()(),0()0()()(),0()0(32213221aaaa 把特解代入，得关于把特解代入，得关于R、A、B、S的四个代数的四个代数方程。解出方程。解出S，可近似地求出，可近似地求

11、出穿透系数：穿透系数：)(2200eEUmaTT2S量子隧道效应的应用：量子隧道效应的应用：隧道二极管，金属场致发射，核的隧道二极管，金属场致发射，核的 衰变，衰变，（1）原子核的）原子核的 衰变衰变U Th + He2382344MeV25. 4E 通过通过隧道效应射出隧道效应射出 对不同的核，算出的衰对不同的核，算出的衰变概率和实验一致。变概率和实验一致。rRU35MeV4.25MeV 0核力势能核力势能库仑势能库仑势能（2）扫描隧道显微镜）扫描隧道显微镜（STM） （Scanning Tunneling Microscopy） STM是一项技术上的重大发明，是一项技术上的重大发明，原理：

12、原理：利用量子隧道效应利用量子隧道效应1986年诺贝尔物理学奖：年诺贝尔物理学奖：鲁斯卡鲁斯卡（E.Ruska）1932年发明电子显微镜年发明电子显微镜毕宁毕宁（G.Binning）罗尔罗尔（Rohrer）发明发明STM表面的微观结构表面的微观结构（不接触、不破坏样品）。（不接触、不破坏样品）。用于观察用于观察U0U0U0dAUi eA 常量常量 样品表面平均势样品表面平均势 垒高度（垒高度（ eV） d 1nm（ 10A ）。d 变变 i 变，反映表面情况。变，反映表面情况。ABdE隧道电流隧道电流 iABUd探针探针样品样品电子云重叠电子云重叠隧道隧道电流电流反馈传感反馈传感器器参考信号参考信号显示器显示器压电压电控制控制加电压加电压 扫描隧道显微镜示意图扫描隧道显微镜示意图用用STM得到的神经细胞像得到的神经细胞像硅表面硅表面STM扫描图像扫描图像 1991年恩格勒等用年恩格勒等用STM在镍单晶表面逐个移动氙原在镍单晶表面逐个移动氙原子，拼成了字母子，拼成了字母IBM，每个字母长每个字母长5nm。 移动分子实验的成功，表明人们朝着用单一原子和移动分子实验的