112__余弦定理

1、1.1.2 余弦定理1.正弦定理：在一个三角形中，正弦定理：在一个三角形中，_和和_相等，即相等，即和它所对角的正弦的和它所对角的正弦的比比各边各边RCcBbAa2sinsinsin=2.2.可以解决哪几类三角形问题可以解决哪几类三角形问题（1 1）已知）已知_求求_两角一边两角一边角和边角和边（2 2）已知）已知_求求_两边及一边对角两边及一边对角另一边对角另一边对角3.3.变形变形（1 1）a:b:c=a:b:c= （2 2）边化角）边化角 sinA:sinB:sinCsinA:sinB:sinCa=2RsinA;b=2RsinB;c=2RsinCa=2RsinA;b=2RsinB;c=2

2、RsinC （3 3）角化边）角化边 sinA=a/2R;sinB=b/2R;sinC=c/2R复习旧知复习旧知测得AC=8米，BC=5米，角C=60如何测量如何测量A，B两点间距离两点间距离CBA A由此可以得出AB的长度问题问题1：怎样计算：怎样计算AB长长 度？度？导入新课导入新课实际问题数学实际问题数学化化BCAbac=?在在ABC中中,已知已知BC=a,AC=b 及及角角C，求边，求边c。D解法解法1：勾股定理勾股定理BD=asinC,CD=acosC所以所以DA=b-acosC,c2=(asinC)2+(b-acosC)2所以所以 c2=a2+b2-2abcosC ABCbca解法

3、解法2：向量方法向量方法c c2 2=a=a2 2+b+b2 2-2abcosC-2abcosCb b2 2=a=a2 2+c+c2 2-2accosB-2accosBa a2 2=b=b2 2+c+c2 2-2bccosA-2bccosA三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍一、余弦定理：一、余弦定理：新课讲解新课讲解你能用文字说明吗？你能用文字说明吗？BCAb ba ac c注：余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定注：余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定

4、理的特例理的特例. .余弦定理适合解三角形类型余弦定理适合解三角形类型四个量，知三求一四个量，知三求一1.1.已知两边及其夹角，求边已知两边及其夹角，求边直接用直接用2.2.已知三边，求三已知三边，求三角角变形变形1变形bcacbA2-cos222+=acbcaB2-cos222+=abcbaC2-cos222+=例例1.1.在在ABCABC中，已知中，已知a=7,b=10,c=6,a=7,b=10,c=6,解三角解三角形（角度精确到形（角度精确到1 1 ）变式：变式：在在ABCABC中，已知中，已知a=7,b=10,c=6,a=7,b=10,c=6,判断三角形形状。判断三角形形状。725.0

5、61027-6102-cos222222=+=+=bcacbAA44C=180-（A+B）=360178.0-67201-672-cos222222=+=+=acbcaBB为钝角222cab+B100变式结论：已知变式结论：已知ABC三边长分别为三边长分别为a,b,c,怎样判断怎样判断三角形是锐角、直角、还是钝角三角形？三角形是锐角、直角、还是钝角三角形？设设c c为最长边，则为最长边，则abcbaC2-cos222+=ABCABC是锐角三角形是锐角三角形222bac+ABCABC是钝角三角形是钝角三角形例例2.2.一钝角三角形的边长为连续自然数，则这三边长为（一钝角三角形的边长为连续自然数，

6、则这三边长为（ ）A. 1,2,3 B.2,3,4 C.3,4,5 D.4,5,6 A. 1,2,3 B.2,3,4 C.3,4,5 D.4,5,6 A A不能构成三角形不能构成三角形B 4B 42 2222 2+3+32 2C 5C 52 2=3=32 2+4+42 2D 6D 62 2442 2+5+52 2钝角三角形钝角三角形直角三角形直角三角形锐角三角形锐角三角形B反馈练习反馈练习例例3 3 在在ABCABC中，已知中，已知b=60 cmb=60 cm，c=34 cmc=34 cm，A=41A=41 ，解三，解三角形（角度精确到角形（角度精确到1 1，边长精确到，边长精确到1 cm1

7、cm）. .解：解：方法一：方法一： 根据余弦定理，根据余弦定理， a a =b=b +c+c -2bccosA-2bccosA =60 =60 +34+34 -2-260603434cos41cos41o o 1 676.821 676.82， a41(cm).a41(cm).思考思考: :接下来应该先求角接下来应该先求角B B还是角还是角C C，用正弦定理还是，用正弦定理还是余弦定理？余弦定理？由正弦定理得，由正弦定理得，因为因为c c不是三角形中最大的边，所以不是三角形中最大的边，所以C C是锐角，利用计算是锐角，利用计算器可得器可得C33C33，B=180B=180o o-(A+C)1

8、80-(A+C)180o o-(41-(41o o+33+33o o)=106)=106. . 根据余弦定理，根据余弦定理， a a=b=b+c+c-2bccosA-2bccosA =60 =60+34+34-2-260603434cos41cos41o o1 676.821 676.82， a41(cm).a41(cm).由余弦定理得由余弦定理得所以利用计算器可得所以利用计算器可得C33C33， B=180B=180o o-(A+C)180-(A+C)180o o-(41-(41o o+33+33o o)=106)=106. .方法二：方法二：结论：结论：已知三边解三角形的步骤：已知三边解三

9、角形的步骤： 1. 1.用余弦定理求最小角用余弦定理求最小角 2. 2.用正弦定理求较小角用正弦定理求较小角 3. 3.用内角和求最大角用内角和求最大角思考思考: :在解三角形的过程中，求某一个角时既可用正弦在解三角形的过程中，求某一个角时既可用正弦定理也可用余弦定理，两种方法有什么利弊呢？定理也可用余弦定理，两种方法有什么利弊呢？例例4 4 在在ABCABC中，已知中，已知a=134.6 cma=134.6 cm，b=87.8 cmb=87.8 cm，c=161.7 cmc=161.7 cm，解三角形（角度精确到解三角形（角度精确到1 1 ）. .8398. 07 .1616 .13428

10、.877 .1616 .1342cos. 1222222acbcaB33B33sin8 .87sin6 .134sinsin. 2ABbAa568278. 0sinAA91)(180. 3BAC2. 2. 余弦定理的应用范围：余弦定理的应用范围： 1.1.余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例股定理是余弦定理的特例. .(1)(1)已知两边及它们的夹角，求第三边已知两边及它们的夹角，求第三边. .(2)(2)已知三边求三角；已知三边求三角；3.3.变形变形bcacbA2-cos222+=acbcaB2-cos222+=

11、abcbaC2-cos222+=4.4.余弦定理判断三角形形状余弦定理判断三角形形状ABCABC是锐角三角形是锐角三角形222bac+ABCABC是钝角三角形是钝角三角形解三角形的四种基本类型解三角形的四种基本类型已知条件已知条件定理选用定理选用二角一边二角一边( (如如a,B,C)a,B,C)正弦定理求边正弦定理求边二边及一边对角二边及一边对角( (如如a,b,A)a,b,A)正弦定理求角正弦定理求角余弦定理求边余弦定理求边两边和夹角两边和夹角( (如如a,b,C)a,b,C)余弦定理求边余弦定理求边余弦定理求角余弦定理求角三边三边( (如如a,b,c)a,b,c)余弦定理至少两条边余弦定理

12、至少两条边正、余弦定理至少一条边正、余弦定理至少一条边2.2.（1212年上海年上海1616）在）在ABCABC中，若中，若sinsin2 2A+sinA+sin2 2BsinBsin2 2C,C,则则ABCABC的形状是（的形状是（ ）A A 锐角三角形锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不确定高高 考考 链链 接接1.1.（1414年北京年北京1212）在）在ABCABC中，中，a=1,b=2,cosC=1/4,a=1,b=2,cosC=1/4,则则c=_c=_。C2 21.1.思考：已知两角及一边对角能否用余弦定理解思考：已知两角及一边对角能否用余弦定理解? ?分析与正弦定理解决此问题的区别。分