高中数学绝对值不等式的解法

1、一、知识联系一、知识联系1、绝对值的定义、绝对值的定义|x|=x ,x0 x ,x0 x ,x00 ,x=0oxy111二、探索解法二、探索解法探索：不等式探索：不等式|x|1的解集。的解集。方法一：方法一： 利用绝对值的几何意义观察利用绝对值的几何意义观察方法二：方法二： 利用绝对值的定义去掉绝对值符号，利用绝对值的定义去掉绝对值符号，需要分类讨论需要分类讨论方法三：方法三： 两边同时平方去掉绝对值符号两边同时平方去掉绝对值符号方法四：方法四： 利用函数图象观察利用函数图象观察这是解含绝对值不等式的四种常用思路这是解含绝对值不等式的四种常用思路0-1不等式不等式|x|1的解集表示到原点的距离

2、小于的解集表示到原点的距离小于1的点的集合。的点的集合。1所以，不等式所以，不等式|x|1的解集为的解集为x|-1x1探索：不等式探索：不等式|x|1的解集。的解集。方法一：方法一： 利用绝对值的几何意义观察利用绝对值的几何意义观察探索：不等式探索：不等式|x|1的解集。的解集。当当x0时，原不等式可化为时，原不等式可化为x1当当x0时，原不等式可化为时，原不等式可化为x1，即，即x1 0 x1 1x0综合得，原不等式的解集为综合得，原不等式的解集为x|1x1方法二：方法二： 利用绝对值的定义去掉绝对值符号，利用绝对值的定义去掉绝对值符号，需要分类讨论需要分类讨论探索：不等式探索：不等式|x|

3、1的解集。的解集。对原不等式两边平方得对原不等式两边平方得x21即即 x210即即 (x+1)(x1)0即即1x1所以，不等式所以，不等式|x|1的解集为的解集为x|-1x1方法三：方法三： 两边同时平方去掉绝对值符号两边同时平方去掉绝对值符号oxy111探索：不等式探索：不等式|x|1的解集。的解集。从函数观点看，不等式从函数观点看，不等式|x|1的解集表示函数的解集表示函数y=|x|的图象位于函数的图象位于函数y=1的图象下方的部分对的图象下方的部分对应的应的x的取值范围。的取值范围。y=1所以，不等式所以，不等式|x|1的的解集为解集为x|-1x1方法四：方法四： 利用函数图象观察利用函

4、数图象观察如果 c 是正数，那么 22xcxccxc 或22xcxcxc,xc0-cc题型题型1:如果 c 是正数，那么( 22ax+bcax+b)ccax+bc 或22ax+bc(ax+b)cax+bc,ax+b c题型题型2:题型题型3:形如n| ax + b | m (mn0)不等式等价于不等式组mbaxnbax|-m-nnm0,naxbmmaxbn 或 |f(x)|g(x)型不等式型不等式l|f(x)|g(x)-g(x)f(x)g(x)型不等式型不等式l|f(x)|g(x)f(x)g(x)或或f(x)-g(x)题型题型4:题题型型5:含有多个绝对值的不等式的解法零点分段法|x-a|+|

5、x-b|c|x-a|+|x-b|c和和| |x-a|+|x-b|cx-a|+|x-b|c型不等式型不等式例例1 1、(1)(1)不等式不等式|x|x1|1|2 2的解集是的解集是_._.【解析解析】由由|x|x1|1|2 2得得2 2x x1 12 2，解得，解得1 1x x3.3.答案：答案：( (1,3)1,3)(2)(2)不等式不等式|4|43x|23x|2的解集是的解集是_._.【解析解析】|4|43x|23x|2|3x|3x4|24|23x3x442 2或或3x3x4242，解得，解得 或或x2.x2.答案：答案：2(, ) 2,)32x3三、例题讲解三、例题讲解 三、例题讲解三、例

6、题讲解 例例2、解解不等式不等式 3|3-2x|5 .5|23|31x：解法5|32|3x5|32|3|32|xx5325332332xxx或，4103xxx或，即.4301|xxx或，原不等式的解集是03-14三、例题讲解三、例题讲解 例例2 解不等式解不等式 3|3-2x|5 .5|23|32x：解法5|32|3x，5323032xx5) 32(3032xx或，4323xx，或0123xx.0143xx或，.4301|xxx或，原不等式的解集是三、例题讲解三、例题讲解 例例2 解不等式解不等式 3|3-2x|5 .5|23|33x：解法5|32|3x，5323x3325x或.0143xx或

7、，.4301|xxx或，原不等式的解集是03-14例例3、解不等式解不等式|2x1|23x.三、例题讲解三、例题讲解 形如形如| |f(xf(x)|)|)|g(xg(x) )型不等式型不等式. .| |f(xf(x)|)|g(x)g(x)-g(x-g(x)f(xf(x)|g(x)g(x)f(xf(x)g(xg(x) )或或f(xf(x)-)a恒成立，恒成立，求实数求实数a的取值范围的取值范围(2)关于关于x的不等式的不等式a|x3|x2|的解集非空，的解集非空，求实数求实数a的取值范围的取值范围(3)关于关于x的不等式的不等式a|x3|x2|在在R上无解，求上无解，求实数实数a的取值范围的取值范围形如形如|xm|xn|)a恒成立的问题恒成立的问题例例6【思路点拨思路点拨】对对(1)(2)(3)来说，问题的关键是来说，问题的关键是如何转化，求出函数如何转化，求出函数f(x)|x3|x2|的最值的最值,则问题获解则问题获解【解解】(1)问题可转化为对一切问题可转化为对一切xR恒有恒有af(x)af(x)min， f(x)|x3|x2|(x3)(x2)|5，即即f(x)min5，af(x)的某些值，由题意的某些值，由题意af(x)min，同上得同上得a5.(3)问题可转化为对一切