数列全部题型归纳

1、数列百通通项公式求法(一)转化为等差与等比1、已知数列an满足ai 1 , an 卮;丁 ( n N , 2 W n W 8 ),则它的通项公式an什么2 .已知a。是首项为2的数列，弁且am a02a“an i ,则它的通项公式an是什么3 .首项为2的数列，弁且an i2 a”3,则它的通项公式an是什么4、已知数列 an 中ai 0 , an i 一1一，n N*.2 an求证： , 是等差数列；弁求数列 an的通项公式;an 15.已知数列an中，ai3,an i2an2n 2 ,如果bnan 2n ,求数列an的通项公式（二）含有&的递推处理方法1）知数列的前n项和满足2 （

2、1） 1,求数歹U 的通项公式.2.）若数列an的前n项和Sn满足,Sn3）若数列an的前n项和Sn满足，ani自0© 1则，数列an44) ai 2a2 3a3 .nan n(n 1)(n 2)求数列an(三)累加与累乘(1)如果数列an中ai1,an an 1 2nm 2)求数列an(2)已知数列an满足a1 3, anan 1 一1一(n 2),求此数列的通项公式n(n 1)a1 1生2,an+2=3an1 2an,求此数列的通项公式(4)若数列an的前n项和Sn满足，Sn ',& g则，数列Hn(四)一次函数的递推形式1.若数列an满足切1,an 2an1 1

3、(n 2),数列an(1) an3 an 2(n 3), &1,a27,求数列a n2 .若数列an满足ai1,an ；4i 2n (n 2),数列an（五）分类讨论(2)三 2,( n 3)ai1a 3,求数列 anan 2(六)求周期16(1) an1 w,a2 4'求数列 a20042）如果已知数列an1anan1，a12,a26，求a2010拓展1:有关等和与等积(1)数列 an满足 ai0 , an 1 an2,求数列的通项公式(2)数列 an满足 ai0 , an i an2n ,求数列的通项公式(3).已知数列满足a1 3,anan 1(1)n,(n N*),求此

4、数列的通项公式.拓展2综合实例分析1已知数歹U 的前n项和为Sn,且对任意自然数n,总有& p an 1 ,p 0,p(1)求此数列的通项公式(2)如果数列bn中，bn 2n q,ai bi,a2 b2 ,求实数p的取值范围32已知整数歹U满足aia2a2a3a3a4.anian中，求所有可能的a.3已知劣是首项为1的正项数列，弁且(n 1)a2i na2 a。© 0(n 1,2,3,L ),则它的通项公式a。是什么4已知an是首项为1的数列，并且an1己,则它的通项公式an是什么5、数列an和bn中,an,bn,an 1成等差数列,J，Jani ,匹7成等比数列，且a1 1

5、,b1 2,设之/求数列的通项公式。6设无穷数列an的前n项和为Sn,已知a1 2,且当n N时，总有3Sn 1 1 2Sn , 求an及Sn .7数列an满足p 1 s 1 an ,其中p为正实数，Sn ai a2an n N(1) 证明：an 为等比数列，并求出它的通项；数列bn中，bi1 ,bnibnan,求bn的通项公式数列求最值的方法(一)化为函数方法转化为耐克函数2(1)如果数列an的通项公式是an = n n 4 ,此数列的哪一项最小？弁求其最 小值(2)如果数列an的通项公式是看，此数列的哪一项最大？并求其最大转化为分式函数(3)如果数列an的通项公式是an = n.5,此数列

6、的哪一项最大？并求其最大转化为二次函数(4)如果数列an的通项公式是an = n2 kn 2是单调递增数列，求k的取值范围。如果该数列在第四项最小，求 k的取值范围(二)数列的简单单调性求最值的方法：如果数列an的通项公式是an=-.(n N*), n 1 n 2 n n(1)判断数列的增减(2)若对于一切大于1的自然数n,不等式an Jloga(a 1) 2恒成立求a的取值范 n 123围？(三)计算器结合复杂单调性，求最值的方法(1)数列an的通项公式是an=n 1,n N* ,是否存在自然数 m,使对任意的序号n N* ,有烝am恒成立，若存在，求出 m,如果不存在，请说明理由(2)如果

7、数列an的通项公式是an=(i90)n,nN* ,是否存在自然数m,使对任意的序号n N* ,有anam恒成立，若存在，求出m,如果不存在，请说明理由(3)如果数列an的通项公式是an=(n 1)(2)n,n N* ,是否存在自然数m,使对任 意的序号n N* ,有anam恒成立，若存在，求出m,如果不存在，请说明理由(四)数列单调性求“和”的最值的方法已知数列前n项和为Sn ,且Sn n 5an 85,( n N)(1)求an的通项公式(2)求Sn的通项公式(3)说说n为何值时，Sn取得最小值？数列的求和(一)倒序相加法:(1)设f x ”，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，求:f

8、0 f 8 f 9的值(2) Sn Cn 2C1 3C2 4Cn .nCn 1 (n 1)Cn（二）错位相减法求和：2 3 5 5受(三)公式求和法(1)数列an中，ai8a 2 且 an 2 2an an 0 n N* ,Snaia2a3a4(2)n n 1 n 2 2Sna a b a b(3)求和 12 22 32 42三）裂项求和法(1)1 J 11 5,3 7,5 9,(2)1112二段台*)(4)求数列an n n!的前n项和(四).分组求和法1.分部分组法1 1) 11,21,31，2 4 8，32 .奇偶分组, 左 6n 5 n为偶数一小心，、,(3)已知ann不十切 求数列a

9、n的前n项和.4n n为奇数3均匀分组(4)1,3, 5,7 4.不均匀分组(5)求数列：iJJJJJJJJJ,的前100项和;223334444(6)求数列：1,2 3,4 5 6,7 8 9 10,的前n项和.数列的极限 5个“三 三个定义极限(1) nim (C为常数)(2) lim - =0； n n(3) lim 0 ( V 1)n三个不存在的极限lim n nlim( 1)n nlim 2n n三个推导极限(4) 多项式kk 1aakn ana。1nm bnbl 1n 1 .tnb0a,l b0,lk； *(k,l N ,ak0,hk.0)2,b an bn 3lim 3 ，则 a

10、n 4n 5(2)单指数(1 r)(1 qn) 1nm q(1 qn1)(3)多指数若lim 一:一F1,求a的取值范围n3n1 a 1n 3,三个待定形1) 0型01 31_3一 ，、 一 一比较Hm%和iM?_e n 1_2 n 14一2nnnn2)型C 22 c比较lim 0+0+0+0+0+0+0+0型V二和lim笑二n 2n2 1 n 2n2 1limnn2 13n2 12n1)三个重要条件limqn 0( 1 q 1) nlimqn极限存在(1 q 1) nAS lim Sn (0 | q| 1)n 1 q设数歹U an是公比q 0的等比数列，&是它的前n项和，若nim 0

11、 7,那么©的的取值范围是例1已知数列an中f, a1 1a2012n(n N )(1)求证数列an不是等比数列，弁求该数列的通项公式；(2)求数列an的前n项和Sn；(3)设数列an的前2n项和为S2n,若3(1 ka2n) S2n?a2n对任意n N恒成立，求k的最小值.例2定义Xi, X2,，Xn的“倒平均数”为n (n N*).Xi X2 Xn(1)若数列an前n项的“倒平均数"为求an的通项公式； 2n 4(2)设数列bn满足：当n为奇数时，bn 1,当n为偶数时，bn 2 .若Tn为bn前n项的倒平均数，求limTn； n(3)设函数f(X) X2 4X,对(1

12、)中的数列an,是否存在实数，使得当X时，f (X) 反对任意n N*恒成立？若存在，求出最大的实数；若不存在，说n 1明理由.例3设满足条件P：an an 2 2an i(n N*)的数列组成的集合为A ,而满足条件Q：an an 2 2an i(n N*)的数列组成的集合为B.(1)判断数列an：an 1 2n和数列bn:bn 1 2n是否为集合A或B中的元素?(2)已知数列an (n k)3,研究an是否为集合A或B中的元素；若是，求 出实数k的取值范围；若不是，请说明理由.(3)已知an 31( 1)i log2 n(i Z,n N*),若an为集合B中的元素，求满足不 等式12n a

13、01 60的n的值组成的集合.例4对于数列 Xn,如果存在一个正整数m ,使得对任意的n (n N )都有 m 4 成立，那么就把这样一类数列 Xn称作周期为m的周期数列，m的最小值称作数 列Xn的最小正周期，以下简称周期.例如当Xn 2时Xn是周期为1的周期数列， 当yn sin(n)时yn是周期为4的周期数列.2(1)设数列2门满足2门2 an 1 an ( n N ) , ai a, a? b (a, b不同时为0),求 证：数列an是周期为6的周期数列，弁求数列an的前2012项的和易段； 设数列an的前n项和为Sn,且4Sn (an 1)2.若an 0,试判断数列an是否为周期数列，

14、弁说明理由； 若anan1 0,试判断数列an是否为周期数列，弁说明理由；例5已知数列an和bn的通项公式分别为an 3n 6, bn 2n 7 ( n N* ),将集合x|x an,n N*Ux|x bn,n N*中的元素从小到大依次排列，构成数列c , c2, c3,L ,cn,L1)求c , c2, c3 ,c4；(2)求证：在数列Cn中.但不在数列bn中的项恰为a2,a4,L ,a2n,L ;(3)求数列Cn的通项公式。例6如果有穷数列国a,a3, L,3m( m为正整数)满足条件aiam, a? am 1 ,，ama1，即aiam i 1( i 1， 2 L ， m) ，我们称其为“

15、对称数列”例如，数列1， 2 5 2 1 与数列8， 4 2 2 4 8都是“对称数列”(1)设bn是7项的“对称数列"，其中bl, b2,b3,b4是等差数列，且bi2,b411 .依次写出 bn 的每一项；(2)设Cn是49项的“对称数列”，其中C25, C26,L应9是首项为1,公比为2的等比数列，求cn 各项的和S；(3)设dn是100项的“对称数列”，其中d51,d52 ,L ,d100是首项为2,公差为3的 等差数列.求dn前n项的和Sn(n 1,2,L ,100).挑战一已知数列an是首项ai a,公差为2的等差数列；数列bn满足2bn (n 1闭.(1)若ai、a3、

16、a4成等比数列，求数列 加的通项公式；(2)若对任意n N都有bn b5成立，求实数a的取值范围；数列Cn满足cnCn2 3 ( 2)n 1(n N且n3),其中 g 1 ,C22 ；f(n) bn Cn ,当 16 a 14 时，求 f(n)的最小值(nN)挑战二我们规定：对于任意实数A,若存在数列小和实数x(x 0),使得A ai a2x a3X2 .a”xn 1,则称数A可以表示成x进制形式，简记为：A x(a1)(a2)(a3).( 1)(4)。如：A 2( 1)(3)( 2)(1),则表示 A 是一个 2 进制形式 的数，且 A 1 3 2 ( 2) 22 1 23 = 5.(1)已

17、知m (1 2x)(1 3x2)(其中x 0),试将m表示成x进制的简记形式.(2)若数列值满足a1 2, ak 1 -,k N* ,1 akbn 2(a0(a2)(a3).(a3n 2)(a3n 1)由新)(n N*),是否存在实常数 p和q,对于任意的 n N*, bnpg8n q总成立？若存在，求出 p和q；若不存在，说明理由.(3)若常数 t满足 t 0且t 1, dn t(Cn)(C2)(C3).(Cn 1)(Cn),求 lim4 .ndn 1挑战二已知数列 an 满足 a1 1, an 1 2an 2n(n N ).(1)并求出数列an的通项公式an；bniC； ani对n N都成

18、立;求等差数列bn (n N ),使biC：bzCnb3cl2令Cnnbn (nN ),是否存在正常数M,使上且Maia2a3an恒成立，弁证明你的结论.挑战四已知等差数列an中，公差d 0,其前n项和为Sn,且满足a2 a3 45 ,a1 a4 14.(1)求数歹U an的通项公式；(2)设由bn a (c 0)构成的新数列为bn ,求证：当且仅当c 1时，数 n c2列bn是等差数列；(3)对于(2)中的等差数列bn ,设Cn 8 (n N*),数列Cn的前(an 7) bnn 项和为Tn,现有数列f(n) , f (n)Tnan3-80.9n( n N*),是否存在整数M ,使f n M

19、对一切n N*都成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，请说明理由挑战五已知，数列an有ai a,a2 p (常数p 0),对任意的正整数n, Sn a a?an,弁有Sn满足Sn慢3。2(1)求a的值；(2)试确定数列an是不是等差数列，若是，求出其通项公式。若不是，说明 理由；(3)对于数列bn ,假如存在一个常数 b使得对任意的正整数 n都有bn b且limbn b,则称b为数列bn的“上渐进值”，令Pn 8包，求数列 nSn 1 Sn2Pi P2Pn 2n的“上渐进值”。挑战六已知数列 an 中，a1 0, an 1 -一，n N*.2 an(1)求证：'是等差数列；弁求数列

20、an的通项公式；an 1，域收敛(2)假设对于任意的正整数 m、n,都有1bl bml ,则称该数列为n数列”.试判断：数列bn an 4 , n N*是否为一个“工域收敛数列”，请说明 53你的理由.23(本大题18分)已知二次函数f(x) x2 ax a,(a 0x R),有且仅有唯一 的实数x值满足f(x) 0.(1近数列小中，满足&f(n) 4,求%的通项；(2)在数列an中依次取出第1项、第2项、第4项.第2n 1项.组成新数列bn, 求新数列bn的前n项和Tn;(理科)设数列Cn满足Cn Cn1 2n 3,g 1,数列Cn的前n项和记作Hn,试 比较Hn与题(1户S的大小.仁科)设Cn ,求数列Cn的最大和最小值.anan 1