平面向量知识归纳和题型总结

1、平面向量章节分析：向量是近代数学中重要和基本的概念之一，具有代数形式和几何 形式的“双重身份”，能融数形于一体，是沟通代数与几何的天然桥梁， 能与中学数学内容的许多主干知识相结合，形成知识交汇点.向量是沟 通代数、几何和三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，在数 学和物理学科中有重要应用.向量有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具，向量概念 引入后，许多图形的基本性质都可以转化为向量的运算体系 ，例如平 行、垂直、夹角、距离等.对本章的学习要立足基础，强化运算，重视运用，能根据向量的概 念、定理、法则、公式对向量进行运算，并能运用向量知识解决平面 几何中的一些证明和计算问题.平面向量

2、的概念、几何运算和基本定理1,向量的相关概念 2.向量的线性运算 3,向量的共线定理r rr rJJJTAC非零向量a与向量b共线，当且仅当存在唯一一个实数，使b a。uuu HJLTuuu延伸结论：A,B,C三点共线AB / AC 当且仅当有唯一R,使AB4,平面向量的基本定理ur ur如果e,e2是一个平面内两个不共线向量，那么对这平面内的任一向量 a ,有且只有一对实r uriuur jj数入i,入2使：a 1e 2为，其中不共线的向量 e，%叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.ur urriTJuriruu练习：（i）已知e,3是平面向量的一组基底，a xie y,3,b x2e y

3、2e2，rrrr若ab当且仅当x1x2且y1y2,若a0,则x1x20.uuu uurJULT_ UJU uuuuuu JULT（2）如图OA,OB为单位向量，|OC| 2J3,其中OA,OB的夹角为120°, OA,OC的夹 uuuruuuuuuuuuu uuu,则有：2AM AB r r ruuirb,试用a,b表示AG .uiur AC .角为30°。若OCOBOA ,求，的值。5.一个常用结论：4ABC中，M为边BC的中点 uut r uuu练习：设 ABC的重心为点G,设AB a, AC典型例题分析：知识点一：基本概念例1.ur uu1 .如果e，e2是平面内两个

4、不共线向量，那么下列各说法错误的有（）ir un Ge2（ , R）可以表示平面内的所有向量；平面内的所有向量都可以表示成irure1e2 （ , R）。r u ur对于平面中的任一向量a使ae1e2的，有无数多对；ituritur若向量1e1送2与232e2共线，则有且只有一个ur uu1rlMk R, 22& k( ieie2)0.若实数，使:er1o,则A. B. C. De练习：1)判断下列命题的真假(1)向量AB与向量CD为共线向量，则A,B,C,D四点共线.(2)若AB CD则四边形ABCD为平行四边形. r r r r r r若向量a / b, bPc则a Pc. r r

5、r r r rr r(4) a,b是两个向量，则|a b| |a| |b|当且仅当a, b不共线时成立知识点二:向量的线性运算例1.化简：UUUuur uuuuuu uuiruiur uuuuuuu unr uur uur(1) ABBC CA; (2) (AB MB) BO OM ; (3) OA OC BO COUUUuur uur uuruuirUUU-uuiruuir uuiruuii(4) ABAC BD CD； (5) OA OD AD ;(6) AB AD DC ;UULTuuu uuuuunrNQQP MN MP.uiiur uuuruuir例2.如图，四边形 ABCD , E

6、 , F分别为 AD , BC的中点，求证：AB DC 2EFuuir uuir uuir uuir练习：(1)已知ABC三个顶点A,B,C及平面内一点 P,若PA PB PC AB ,则()A. P在 ABC内部 B.P在 ABC外部C.P在AB边所在直线hDuurP端段UBC上(2)设M是平行四边形 ABCD的对角线的交点，。为任意一点 uuuu uuuu uuuu uuuuAOMB.2OMC.3OMD.4 OM知识点三：平面向量基本定理和共线定理ur urr ur uu rur uu r例)已知0,e2为不共线向量，a 3e 2e2, b20 号，cur uuunrur ur uur2)

7、设e1，e2是两个不共线的向量，已知AB 2e1ke2, CB，则 OA OB OC OD =ir urr rr7e1 4e2 用 a, b 表示 c.21r3eU', cJiD21re2 若A, B, D三点共线，求k的值.例2.证明：平面内三点A, B,C共线 uuu uurunr使 OA mOB nOC,且 m n 1.存在两个均不为0的实数m,n,练习：证明：平面内三点uuu uur uuur使 lOA mOB nOCA, B,C共线 r0,且 l m存在三个均不为0的实数l,m,n,0.一、基本知识回顾：r r r1、已知向量a,b,其中a向量数量积及坐标运算向量几何表示或运

8、算向量运算与关系向重坐标表小或运算平行四边形法则或二角形法则向量加减法r ra b (X1 X2,y y2)实数入与向量a的积个向 r量，记作入a实数与向量的积a(x/) ( X1, X2)r r iir ra b a b cos a, br r数量积a br ra bX1X2NN2r r存在唯一的实数，使a b r r (b 0)r r 向量a/ b r r (b 0)X1y1Xy2X2 y1X2y2rra b 0rr向量a bX1X2y*0r(x-i, y1), b (x2, y2)：向量的坐标表示，实际是向量的代数表示.在引入向量的坐标表示后，即可使向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合

9、了起来r"r2aVa( a a )向量的模aTI 22a X X1y1r rr Ta bcos a,biT-iiTr1aMr r向量夹角<a,b>r TX1X2 y1 y2cos a, b 二i 22 J 227X1y1 JX2y2uuur uultAB / BCABBCA,B,C三点共线LUATLUATLUKTOA xOB yOC,且 x y 1练习：1、判断下列命题的真假1)若向量r r r r r r a/ b , b/ c ,则 a/ c.3)5)r (a r arr b) r b2、已知ar a r arr (br br c),3、4、5、6、7)A.C.8)(

10、4, 2), br (a r 0r b)0,0r bT2 a r a已知 A(4,1), B(7,(x,3).若 ab,则 xuuu已知点 r 已知ar 已知aIT e it erA( 1,5)和向量ar(5, 5),b ( 6, r3）,则与AB同向的单位向量是r r 2a b r0rb,则 uuur cT2 b与AB平行的单位向量是uur r（2,3），若AB 3a,则点B的坐标为3) , c (1,8)，若 a r rr rmb nc ,求实数m, n.(1,0),b (2,1)，则 |a 3b|卜列各组向量中uu (0,0), e2uu (2, 5),e2已知a / b , a二、典型

11、例题讲解r例1:1 ）已知a,可以作为平面那的是(2,1)(6,4)r3, br 3,bB.D.e ur er(4,6), e2 uu(2, 3),62r)(6,9)13(2, Z)4,则a在b方向上的投影为r r4, a与b的夹角为（1） a在b方向上的投影（2） （3a3 十,求:4 r r2b) (a 2b) (3) a2） 4、在直角 ABC中，CD是斜边UULT 2 uur A. | AC |2 AC uut uuur C. | AB |2 ACuur ABuuurCDuuir 2B. | BC |2D.uuir 9 |CD|23）已知向量e,e2夹角为o60AB上的高，则下列等式不

12、成立的是（uuu uur BA BC uuur uururn uuur(AC AB) (BA BC) uur2, e2|AB| 1,a2e17e2,b e1 te2若a与b的夹角为锐角，求t的范围。r练习：1 ）已知向量a,rb满足r1, b2,2,则120o,求边AC的长度uuu 3 uuu例2:1 ）已知A（2,3）, B（4, 3）,点P在线段AB的延长线上，且|AP| 士 | PB |,求点P的22）在 ABC中，已知AB8,BC 7,ABC坐标（若点P在直线AB上）2）在 ABC中，点P在BC上，且BP 2PC,点Q是AC的中点，若PA (4,3), PQ (1,5)，则 BC1、1

13、例3：已知向重 m (a sin , 一)，n (,cos ). 22(i)当 an时，求sin2的值;(n)当a 0,且m / n时，求tan的值.解：(I)当 a 2时，m ( sin ,-), 222m n, 由 m n 0, 得 sin cos 2，一，一、1上式两边平万得1 sin 2-,21 .因此，sin2 6分2(n)当 a 0时，m ( sin , 1),由 m / n 得 sin cos 一 .即 sin 29分4212分sin2 2tan9 , tan 2 V3 或 2 M . 1 tan2一 一，一33例 4、已知向重 a （cos x, sin x）, b221）当a

14、 b时，求x的集合；2） 求a(cos - , sin -).且 x 0,222r r r rb ； 3 )求函数y a b 41 a b |的最小值r r r r4）求函数y a b 2 |a b|的最小值 一，.一 35）若fx a b 2 a b的最小值是 一，求实数 的值.2r rr r r r练习：1）设a,b是不共线的两非零向量，若|a| |b|,且a,b夹角为60o,求t为何值 r r时，|a tb|的值最小.2)已知向量r(1)求 a (2)若 f(x)a =(cos2 r r r3 r , x . x、1x,sin - x), b = (cos, sin)且 x e222b

15、及a + b |;r r r r=a b-| a+ b |,求f （x）的最大值和最小值向量与三角形平面向量的应用十分广泛.由于三角形中的有关线段可以视为向量，线线之间的位置关系、大小关系以及边角关系均可以用向量表示，这就为向量与三角形的沟通、联系、交汇提供了条件，在这类问题中，往往要涉及到向量的和差运算、数乘运算、数量积运算以及向量的共线、垂直、向量的模等性质 ，因此解题思路较宽、方法灵活、综合性强.三角形之心一、外心.三角形外接圆的圆心，简称外心.是三角形三边中垂线的交点.（下左图）二、重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.（上右图）二、

16、垂心三角形三条高的交点，称为三角形的垂心.（下左图）四、内心三角形内切圆的圆心，简称为内心.是三角形三内角平分线的交点 .三角形内角平分线性质定理 ：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例.（上右图）知识点一、三角形形状与向量1、已知向量 O百,OP2,O可满足条件op OP2 OP3 0,且|OPj 而| |op3 | 1,求证PiP2 P3是正三角形.2、则O是 ABC所在平面上的一点ABC是三角形.，若(OB OC) (OB OC 2OA)0,3、uuv ULUv已知非零向量 AB, ACuuuuuv一一 .一 AB和BC满足（-ABvULUvUUUuv)|AB|

17、|AC|uuivBCuuv。且卷Cuuv BC -tuuv|AC|BC|诋则24、ABC 为若。为 ABC所在平面内一点，且满足OB OCOBOC 2OA,则ABC的形状A.等腰直角三角形B.直角三角形 C.等腰三角形D.等边三角形 AB5、已知非零向量 AB与AC满足（二AB-|AB|AC、)BC|AC|0且户 | AB|AC|AC|-,则 ABC 2A.三边均不相等的三角形思路分析：B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形1 .根据四个选择支的特点：本题可采用验证法来处理 题意，则可同时排除其他三个选择支，故选D.,不妨先验证等边三角形,刚好适合Ci AB2.由于-| AB|AC

18、二所在直线穿过 ABC的内心，则由| AC |金)BC |AC|知，AB AC.一 AB（等腰三角形的三线合一定理）；又EB-|AB|AC|AC|一,即 ABC3为等边三角形，故选D.知识点二、三角形的“心”与向量重心在 ABC中，AD为BC边上的中线，根据向量加法的平行四边形法则，可得AB AC 2AD .这说明AB AC所在的直线过 BC的中点D ,从而一定通过 ABC的 重心.另外，G为 ABC的重心的充要条件是GA gB GC 。或.1 .OG 3（OA OB OC）,（其中O为ABC所在平面内任意一点），这也是两个常用的 结论.例1.已知A,B,C是平面上不共线的三点，O是 ABC的

19、外心，动点P满足uuruuu uuuuuir、一.OP 1（1）OA（1）OB （1 2）OC）（ R）,则 P 的轨迹过 ABC的（）A.内心B.垂心C.外心D.重心思路分析：取AB边的中点M,则OA OB 2OMuuu 1由 OP (13 uuu uuuu uuur 3OP 20M OC1 2 -MP MC (3垂心uuu uuruur)OA (1 )OB (1 2 )OC)(uuur2 (OCuuur uuuuumuiOM ) 3OM (1 2 )MC，所以R）,即点P的轨迹为三角形中R）可得AB边上的中线，故选D. ABAC 在 ABC中，由向量的数量积公式 ，可得（: 一 一）BC|

20、 AB | cos B |AC|cosC0 ,这说明ABAC所在直线是 BC边上的高所在直线,从而它一定通过 ABC的垂| AB | cosB | AC | cosC 心.unn uuu例：若动点P满足OP OAuuuuuur/ ABAC(-uunuu|AB|cosB | AC | cosC0 ,则点P轨迹一定通过ABC的（）A、外心例2.点O是 ABC所在平面内的一点:荫Jaoub ObISC 鸵 OA7。是ABC 的 （）A.三个内角的角平分线的交点B. 三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高的交点uuuuuuruuinuuur思路分析：由 OAOBOB0C，得 OB （OA OC） OB CA 0,所以 OBAC,即OB AC .同理 OCAB,OA BC.因此。是 ABC三条高的交点，故选D.练习：点。是 ABC所