数字电路ch3补充：最大项、最小项、无关项

1、如果一个具有如果一个具有n n个变量的函数的个变量的函数的 积积 项包含全部项包含全部n n个变量个变量, , 每个变量都以原变量或反变量形式出现每个变量都以原变量或反变量形式出现, , 且仅出现一次且仅出现一次，则这个，则这个 积积 项被称为最小项。假如项被称为最小项。假如一个函数完全由最小项所组成一个函数完全由最小项所组成, , 那么该函数表达式那么该函数表达式称为标准称为标准 积之和积之和 表达式表达式, , 即即 最小项之和最小项之和. . 补充补充1： 逻辑函数的两种标准形式逻辑函数的两种标准形式一一 . . 最小项和最大项最小项和最大项变量的各组取值A B C00000101001

2、1100101110111对应的最小项及其编号最小项编 号CBA CBA CBA CBA CBA CBA CBA CBA om1m2m3m4m5m6m7m三变量函数的最小项：三变量函数的最小项：最小项的性质：最小项的性质： 当函数以最小项之和形式表示时，可很容易列出当函数以最小项之和形式表示时，可很容易列出函数及反函数的真值表（在真值表中，函数所包含的函数及反函数的真值表（在真值表中，函数所包含的最小项填最小项填“1”1”） 。在输入变量的任意取值下必有一个最小项，而且在输入变量的任意取值下必有一个最小项，而且 仅有一个最小项的值为仅有一个最小项的值为1。全体最小项之和为全体最小项之和为1。任

3、意两个最小项之积为任意两个最小项之积为0。具有相邻性质的最小项之和可以合并为一项并具有相邻性质的最小项之和可以合并为一项并消去消去 一个变量。一个变量。相邻项：相邻项：只有一个变量不同（以相反的形式出现）。只有一个变量不同（以相反的形式出现）。 n n变量的最小项有变量的最小项有n n个相邻项。个相邻项。如：如：CBCBAACABCBA )(如果一个具有如果一个具有n n个变量的函数的个变量的函数的 和和 项包含全部项包含全部n n个变量，个变量，每个变量都以原变量或反变量形式出现，每个变量都以原变量或反变量形式出现，且仅出现一次，且仅出现一次，则这个则这个 和和 项称为最大项。假如一项称为最

4、大项。假如一个函数完全由最大项组成，那么这个函数表达式称个函数完全由最大项组成，那么这个函数表达式称为标准为标准 和之积和之积 表达式。表达式。变量的各组取值A B C000001010011100101110111对应的最大项及其编号最大项编 号CBACBACBACBACBACBACBACBAoM1M2M3M4M5M6M7M三变量函数的最大项：三变量函数的最大项：最大项的性质：最大项的性质：当函数以最大项之积形式表示时，可很容易列出当函数以最大项之积形式表示时，可很容易列出函数及反函数的真值表（在真值表中，函数所包含的函数及反函数的真值表（在真值表中，函数所包含的最大项填最大项填“0”0”）

5、。）。在输入变量的任意取值下必有一个最大项，而且在输入变量的任意取值下必有一个最大项，而且 仅有一个最大项的值为仅有一个最大项的值为0。全体最大项之积为全体最大项之积为0。任意两个最大项之和为任意两个最大项之和为1。只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相同只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相同 变量之和变量之和。最大项和最小项之间存在如下关系：iimM 例如，000,MCBACBAmCBAm则二、逻辑函数的最小项之和形式二、逻辑函数的最小项之和形式任何一个逻辑函数都可表示为最小项之和的形式。例BCCABY可化为iiimmmmBCAABCCABBCAACABY)7 , 6 , 3()(

6、763 【例1】将逻辑函数展开为最小项之和的形式。ACCDADCBAYDCBACDBADABCABCDCDBABCDADCBADDCBADDABCCDBABCDADCBACBAABCCDBABCDADCBACBBACDBBADCBAY)()()()(解：解：任何一个逻辑函数都可表示为最大项之积的形式。若Y=mi，则mi以外的那些最小项之和必为Y，即ikkikkikkikkMmYmYmY故得到利用德 摩根定律可将上式变换为三、逻辑函数的最大项之积形式三、逻辑函数的最大项之积形式【例2】将逻辑函数展开为最大项之积的形式。解：解：由于iiimY)7 , 6 , 3(BCCABY所以)()()(542

7、10CBACBACBACBACBAMMMMMMYikk强化：强化： 逻辑函数的公式化简法逻辑函数的公式化简法1 逻辑函数的最简形式逻辑函数的最简形式 一一. 最简与最简与-或式或式乘积项最少；每个乘积项里的因子也最少乘积项最少；每个乘积项里的因子也最少二二. 最简与非最简与非-与非式等与非式等_BAABF_BAABF三三.最简与或非表达式最简与或非表达式_BABAF【例【例1】: 将逻辑函数将逻辑函数BDCBCABY 化成与非化成与非-与非形式。与非形式。解：解： 首先将首先将Y化成标准的与化成标准的与-或式或式四四.最简或与表达式最简或与表达式)(_BABAF五五.最简或最简或-与非表达式与

8、非表达式)(_BABAFBDCBCABY 再利用德再利用德-摩根定律即得到摩根定律即得到BDCBCABBDCBCABY【例【例2】 试将与试将与-或函数或函数式式CBCAABY 化成与或非形式。化成与或非形式。解：解： 首先将首先将 Y化成最小项之和的形式化成最小项之和的形式 CBCAABY CBACBACBABCACABABC )7 , 6 , 4 , 3 , 1 , 0i (mii 所以所以CBACBAmmmY52ikk 2 逻辑函数的公式化简法逻辑函数的公式化简法此即所求的函数与或非形式。此即所求的函数与或非形式。 一一. 并项法并项法 利用公式利用公式 ABAAB【例3】BCDDCBD

9、BCDCBYCBCACBAYCDABAACDBAYCDBACDBAY4321BDDBCCDBCCBDYCCBACBACBACBAYCDBCDBACDBAYACDBCDBAY4321解解:BCDCBABCAAYDCABABDCABABYADABDCBAY)()()(321解解 二二. 吸收法吸收法 利用公式利用公式 AABA【例4】BCADCBABCABCAYABDCDCABABYADADADBCBAY)()()()(321【例5】EDCAEBADCBAYCBBAACY21解解 三三.消项法消项法 利用公式利用公式 CAABBCDCAAB EBADCBAAEDCEBADCBAYCBACCBBAA

10、CY)()()(21【例6】DCDAACYBABBAYABCBY321四四. 消因子法消因子法 利用公式利用公式 BABAA 解解DACDACACDCAACDCDAACYBABABABABBAYACBABCBY)(321【例7】试化简逻辑函数BCBAAABCCCBAABCBCABCACBAY)()()()(ABCBCACBAYAAA 1. 利用公式利用公式解解五五. 配配项法项法2. 根据根据 A+A=1 在函数某项上乘以（在函数某项上乘以（A+A）=1【例8】试化简逻辑函数CBCBBABAYCACBBACBABCACBACBCBABACBACBACBCBABCABACBAACBCCBABAY

11、)()()()()(解解小结：小结： 并项：并项：利用利用ABAAB将两项并为一项，将两项并为一项，且消去一个变量且消去一个变量B B。 吸收吸收： 利用利用A + AB = AA + AB = A消去多余的项消去多余的项ABAB。 配项：配项：利用利用CAABBCCAAB和互补律、和互补律、重叠律先增添项，再消去多余项重叠律先增添项，再消去多余项BCBC。 消元：消元：利用利用BABAA消去多余变量消去多余变量A A。 消项法：消项法：利用利用 CAABBCDCAAB 消去多余的项消去多余的项BCDBCD。 在复杂的逻辑函数化简中，要灵活、交替地综合运用上述方法。【例9】化简逻辑函数DBCB

12、ACAABBCCAABDCDBCBADEBAADCDBCBACCBCBABABAADEBACBADCDBCBACDBCAAABADEBADBCACBADCDBCBACY由中消去根据消去根据)(补充补充2：具有无关项的逻辑函数及其化简：具有无关项的逻辑函数及其化简1 约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项1)、 约束项约束项 例如，有三个逻辑变量例如，有三个逻辑变量A A、B B、C C，它们分，它们分别代表一台电动机的正转、反转和停止的命别代表一台电动机的正转、反转和停止的命令，令，A=1A=1表示正转，表示正转，B=1B=1表示反转，表示反转，C=1C=1表

13、示表示停止。停止。ABCABC的取值只可能是的取值只可能是001001、010010、100100当当中的某一种，而不能是中的某一种，而不能是000000、011011、101101、110110、111111中的任何一种。因此，中的任何一种。因此，A A、B B、C C是一组具是一组具有约束的变量。有约束的变量。 可写成：可写成：0ABCCABCBABCACBA约束项：恒等于约束项：恒等于0的最小项的最小项2)、 任意项任意项 有时还会遇到另外一种情况，就是有时还会遇到另外一种情况，就是在输入变量的某些取值下函数值是在输入变量的某些取值下函数值是1还还是是0皆可，并不影响电路的功能。皆可，并

14、不影响电路的功能。 任意项：任意项：在这些变量取值下，其值等于在这些变量取值下，其值等于1的那的那些最小项称为任意项。些最小项称为任意项。3)、无关项、无关项 约束项和任意项统称为无关项约束项和任意项统称为无关项 。1.在存在约束项的情况下，由于约束项的值始终等于在存在约束项的情况下，由于约束项的值始终等于0，所以既可以将约束项写进逻辑函数式中，也可以将约束所以既可以将约束项写进逻辑函数式中，也可以将约束项从函数式中删掉，而不影响函数值。项从函数式中删掉，而不影响函数值。 同样即可以把任意项写入函数式中，也可以不写进去，同样即可以把任意项写入函数式中，也可以不写进去，因为输入变量的取值使这些任

15、意项为因为输入变量的取值使这些任意项为1时，函数值是时，函数值是1还还是是0无所谓。无所谓。2. 在用卡诺图表示逻辑函数时，首先将函数化为最小在用卡诺图表示逻辑函数时，首先将函数化为最小项之和的形式，然后在卡诺图中这些最小项对应的位项之和的形式，然后在卡诺图中这些最小项对应的位置上填入置上填入1。既然可以认为无关项包含于函数式中，也。既然可以认为无关项包含于函数式中，也可以认为不包含在函数式中，那么在卡诺图中对应的可以认为不包含在函数式中，那么在卡诺图中对应的位置上就可以填入位置上就可以填入1，也可以填入，也可以填入0。为此，在卡诺图。为此，在卡诺图中用中用表示无关项。在化简逻辑函数时既可以认为它表示无关项。在化简逻辑函数时既可以认为它是是1，也可以认为它是，也可以认为它是0。2 无关项在化简逻辑函数中的应用无关项在化简逻辑函数中的应用【例【例3】 化简具有约束的逻辑函数化简具有约束的逻辑函数DCBABCDADCBAY 给定约束条件为给定约束条件为0DCBADABCABCDDCBADCABDCBACDBA 解：解：采用公式化简法采用公式化简法)DCBADABC()DCABDCBA()DCBABCDA()CDBADCBA(Y DADA)DACDCA()BDADBA( 解：解：采用卡诺图化简法采用卡诺图化简法DCBABCDADCBAY 【