常微分方程试题

1、单项选择题（每小题2分，共40分）1.下列四个微分方程中为三阶方程的有（）个.文档A. 1 B. 2 C. 3 D. 42.为确定一个一般的n阶微分方程二0的一个特解通常应给出的初始条件是（）.dyd "-1yA.当工二与时，°上日产_ dy _ d*yB.当工二/时，"出怎""加7%-"近1力 d ="1 = 4 1C.当工二五时，以 'R-dy_dy_ 冷_D.当天二江时，瓦斯，石打一 %.萨一 内3.微分方程一秒一1的一个解是（）.A. ”B.4.卜列方程中，既是齐次方程又是线性方程的是（）.A.=sindx5

2、.若方程（/斗工1/）也小/（幻/方=0是恰当方程,则，（力=（）.3%力A. - - B. - C.2 D.-6.若方程"（工）石+我（工冷的=0有只与y有关的积分因子户，则可取"为（）.A.已印B.EKp1C.L瓯D.宓*dX y7.可用变换（）将伯努利方程必a y+f化为线性方程.A.8.A.一.C.1一9.设 人心4 是n阶齐线性方程 占+ +口式£）/= 0的解,-17-3YJ B. C. J D. *=1是满足方程yw+v+j = 1和初始条件（）的唯一解.其中为g）,./G）是某区间中的连续函数.如下叙述中,正确的是（）.A.若修）居的伏朗斯基行列式

3、为零,则为如，内 线性无关B.若 修产的伏朗斯基行列式不为零,则以/”线性相关C.若”一%的伏朗斯基行列式不为零,则汽入，外 线性无关D.由外产”-，居）的伏朗斯基行列式是否为零,不能确定 总产如产r的线性相关性dy7加1y 行八/、/、+ tx（x） + 010.设线性无关的函数和乃!（不是方程d/ d/ & 的解，则方程d,Td2y dy斗奴工）丁+ = 1次办也的通解是（）A. < 1_，） ：（二是任意常数，下同）B. JI1一二【L二1十C. 1 - 1 -' 、二. .）一 '一DL+ £.、；'；11 .三阶系数齐线性方程 J&qu

4、ot;-2"+了 = °的特征根是（）.1土/ 1土#A. 0,1,1 B. 0, 1,-1C. 1,- D. 1, 二12 .方程N"一6尸+1叱=。的基本解组是（）.A.一 一 b.'C. .一，口：一（41313 .方程'-卫=式的待定特解可取如下（）的形式:A. - + - B. 一C. J i_ - D. :'+ -14 .已知外二Ly式工）二工了式工）二工是某一三阶齐线性方程的解人（工）的伏朗斯基行列式 即=（）.A. 3 B. 2 C. 1 D. 0().15 .可将三阶方程=人 + /）化为二阶方程的变换为A. -B. -

5、C.drdt16.方程组心一工.diD.满足初始条件7（0） = 0b（。）=0的解为（）.COS/A.W/b.1sinJc.1° J D.COSi17.有基解矩阵一二人八,.=AQ）工n阶函数方阵以在上连续，方程组必如下叙述中，正确的是（）.A.的每个列向量是该方程组的解向量且det口）在某一点十为零B.的每个行向量是该方程组的解向量且加上中H 0C.的每个列向量是该方程组的解向量且D.的每个行向量是该方程组的解向量且18.设A是n阶常数方阵，）是A的一个特征值,则方程组 出=At:有解为其中£是（）A.矩阵A的对应于 工的特征向量B.任意向量 工不m上有两个基解矩阵中C

6、.矩阵A任意一个行向量D.矩阵A的任意一个列向量19 . n阶函数方阵区©在（-4+8上连续,方程组和一； 如下叙述中，正确的是（）.A.存在非奇异的常数矩阵C,使得B.存在非奇异的常数矩阵C,使得C.存在非奇异的常数矩阵C,使得D.存在非奇异的常数矩阵C,使得中彷"20 .设和千（上）都是由方程组 而一£'+的n个解向量所组成的方阵,其AQ）是在 S+g） 上连续的函数方阵，于（幻是连续的列向量，则如下断言中正确的为（）.A.一于必是方程组也=A4”的基解矩阵C.中（。是方程组就=A（E）k的解矩阵D.以“+%）也是方程组出的解矩阵.简答题（每小题3分，

7、共15分）的.E21.写出把方程量分离.犬一y化为变量分离方程的变换，并将变换后的方程进行变22.试写出二阶欧拉方程也： 办的一个基本解组不公皿”=A（f）jr+/（f）B.一于仍是方程组出”的解矩阵=y4 + 3/ J!23 .写出初值问题d犬的第二次近似解.门 2 =（0） = o的解.试用解的唯一存在24 .函数，=口和，=X都是初值问题dx定理解释这个初值问题的解存在但不唯一的原因25 .已知三阶方阵 A的特征值为1, 1, 2,对应的特征向量分别为 出dxAx方程组上 的标准基解矩阵（既当t=0时为单位矩阵的基解矩阵 三计算题（一）（每小题5分，共15分）办1家二砂十一/26 .解方

8、程dx.27 .解方程（1+/）公+（，+4疗% = 0.28.求解方程23,其中四计算题（二）（每小题6分，共18分）=ZA = 7 330.求方程组上的一个基解矩阵，其中31.求解方程鬣"一4UR"渣一日.五应用题（6分）32 .求平面上过原点的曲线方程，该曲线上任一点处的切线与切点和点（1,0）的连线相互垂直.六证明题（6分）33 .设式R都是区间（一0上的连续函数,且例是二阶线性方程y''My'）y=。的一个基本解组.试证明：（i）则A）和必（幻都只能有简单零点（即函数值与导函数值不能在一点同时为零）;（ii）审5）和炉G）没有共同的零点；（111） 65）和小没有共同的零点.一.求解下列常微分方程:（每小题10分，共50分） 一 一一.一二 1; 加dx .,二.(15分)求二阶常系数微分方程的通解2= 4 + 2M.(1 3) 、他A=“)=0 =3 .(15分)设 I1 -V,1cU,.(1)求齐线性方程组丈二Ax的基解矩阵Q) ；(2)求非齐线性方程组Kr = Ax+fffl满足初始条件的<KS=o的解帖.4 .(10分)设有方程/+(口+冷？'+独/ = /5),其中/在电虫劝中连续且i > a >