双曲线综合题含答案

1、双曲线综合题(含答案)x y一、p x0 y0 x0a 是双曲线 E: 1 a 0,b 0 上一点，M,N分a b1别是双曲线E的左、右顶点，直线PM,PN勺斜率之积为-. 5(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点，。为 坐标原点，c为双曲线上一点，满足oC oA oB,求的值.22解：(1)点P(x0,y0)(x0a)在双曲线xy七 1上,a b22有4当1由题意又有s 1,a bx0 a x0 a 5可得 a2 5b2 ,c2 a2 b2 6b2,贝1Je - 立0 a 5“、x2 5y2 5b2 /口22(2)联立，得4x10cx 35b0,

2、设 A(x1,y1), B(x2,y2)y x c5cX x2 一,则；(1)35bx 4设oC (xi,y)oCoA oB,即 x3x1 x2y3yi V2又C为双曲线上一点，即x2 5y2 5,有(Xi X2)2 5( y1 3 5b2化简彳3：2(x2 5y2) (x2 5y1) 2 5小w)5b2 ( 2)222222又 A(xi, yi), B(x2, y2)在双曲线上，所以 x1 5y 5b ,用 5y2 5b由(1)式又有得：2 40,解出 0,或 4.二、已知以原点O为中心，F芯0为右焦点的双曲线C的离心率e 旦。2(I)求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；(II ) 如题(2

3、0)图，已知过点 M %,%的直线li：xix 4y1y 4与过点N x2,y2 (其中x2 x)的直线l2：x2x 4y2y 4的交点E在双曲 线C上，直线MNf两条渐近线分别交与 G H两点，求 OGH的 面积。22解：(I)设C的标准方程为得y i(a 0, b 0),则由题意 a bc而又e a拿 因此 a 2,b Jc2 a2 1,2C的标准方程为土 y2 1. 4C的渐近线方程为y 工x,即x 2y 0和x 2y 0. 2(II)解法一：如答(20)图，由题意点E(Xe.e)在直线li：xix 4yy 4和l2：x2x4y2y4 上，因止匕有x1xE4ylyE4,x2xE4y2yE

4、4.故点M N均在直线xEx 4yEy 4上,因此直线MN勺方程为XeX4yEy4.42xe，XexR4y22.解法二：设E(Xee),由方程组xix 4yiy 4,X2X 4y2y 4,解彳3xE因X2Xi ,则直线MN的斜率kyXex2 xi4yE4( y yi) w xi X2 ，yExy2 X2yi xy2 X2yi故直线MN勺方程为y y1生(x x1),4yE注意到x1xE 4ylyE 4 ,因此直线 MN勺方程为xEx 4yEy 4.下同解法一.三、已知定点A(-1, 0) , F(2 , 0),定直线l ： x= q ,不在x轴上的动点P 与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.

5、设点P的轨迹为E,过点F的直线 交E于R C两点，直线AR AC分别交l于点M N(I )求E的方程；(n )试判断以线段MN直径的圆是否过点F,并说明理由.解：(1)设P(x, y), 则.(x 2)2 y22|x 1化简得x2-2L=1(yw0) 4分3当直线BCW x轴不垂直时，设BC的方程为y=k(x 2)( kw0)与双曲线 x2- 2=1 联立消去 y 得(3k)2x2+4k2x(4k2+3) =0 3由题意知 3k2w0 且40设 B(x1,y。，qx2,y2),XiX24k2k2 3X1X24k2 3k2 3yiy2= k2(Xi2)( X2 2) = k2XiX2 2(Xi+

6、X2)+4,2_22,2, 4k 3 8k 一、 9kk ( 2 -2 + 4)=-因为 Xi、X2W 1k2 3k2 3 k2 3所以直线AB的方程为y=（X+I）因此M点的坐标为（1,3y1）33yi .一,)2 2(Xi i)Xi i2 2（Xi i）同理可得 fN ( 3, 3y2 ) 因此2 2d i)8ik29yy2_4k2 32(Xi i)(X2 i) 9 4k2 34k2i)k2 3k2 3当直线BC与x轴垂直时，起方程为x = 2,则 B(2,3), C(2, -3)AB的方程为y = x+i,因此M点的坐标为（L3）,2 2同理可得FN ( 3, 3)22因此32=0,即F

7、MFN 故以线段MNW直径的圆经过点F i2分四、已知Fi( 2, 0), F2Q, 0)，点P满足| PFi | | PF2 | 2 ,记点P的轨迹为E .(I )求轨迹E的方程;(n )若直线l过点F2且与轨迹E交于P、Q两点.(i )设点M (m, 0),问：是否存在实数m ,使得直线l绕点F2无论怎样转动，都有MP mQ0成立若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由.(ii )过P、Q作直线1 一x -的垂线PA、QB ,垂足分别为 2的取值范围.解：(I )由 | PF1 | |PF2|2 IF1F2 |知，点P的轨迹E是以Fi、F2为焦点的双曲线右支，由c2,2a 2 ,b2

8、3 3 ,故轨迹E的方程为(n)当直线1的斜率存在时，设直线1方程为y k(x 2),与双曲线方程联立消y得(k23)x24k2x 4k23 0 ,设 P(。yj、Q(x2, y2),k2X24k2XiX2k4kk2 3k2 3 (5 分)(i) : mP MQ (xi m)(x2 m) yAy2-2m2(7分)3 (4 m 5)k k2 3假设存在实数m ,使得0,故得3(1 m2)k2(m2 4m 5)0对任意的k2 3包成立,1 m2 02m 4m 5 01.当 m 1 时，MP MQ 0.当直线l的斜率不存在时，由P(2,3),Q(2, 3)及M( 1,0)知结论也成立,综 上mP M

9、q 0.(8分)， 1(ii ); a 1,c 2 ,直线x 1是双曲线的右准2线，(9分)111由双曲线止乂得：|PA| |PF2| |PF2 b |QB| 1 |QF2 b e22|PQ|2| AB|1 k2|x2 21y2 y1 |K |-1 k | X2K |21k（X2 x，|1 k22m112（10 分）k2C 1102k23（11 分）1注意到直线的斜率不存在时，| PQ | | AB |,此时 -， 212分） 五、设四点A、B、C、D均在双曲线X2 y2 1的右支上。（1）若AB= CD （实数 0）,证明：OA OB OC OD （O是坐标原点）；P分别作该双曲线的两条渐（

10、2）若| AB | =2, P是线段AB的中点，过点近线的垂线，垂足为M、N ,求四边形OMPN的面积的最大值。解：（1） AB = CD ,AB / CD直线AB的斜率不存在时，设方程为x m ( m 1),设 A ( m,y1),则B(m, y1)且 m2 - y12 =1 . OA OB =m2- y12 =1 同理 OC ODOA OB =OC OD直线AB斜率存在时，设方程为y kx b与 x2 y2 1 联立得(1 k2)x2 2kbx b2 1 0设 A(x, yj B(x2, y2)则 x12 kbx2=2 ，1 k2b 1xx2= 2一k2 1则 OA OB = x1x2 +

11、y1 y2 = x1 x2 +( kx b )(kx2 b )=(1 k2) x1x2+kb(x1x2)+b2 = W k2v AB / CD 直线CD与直线AB斜率相等，同理OC ODk2 1k2 1. OA OB =OC OD 综上，OA OB =OC OD2(2) AB 斜率存在时，4 AB =(1 k2) (xx2)2 4x1x2由（1 ）得b22k2(k2 1)1 k2: x1 x2 0k2 1 ,P(xo,y。)，则x01/2(x1 x2)kb1 k2ykx。c |xo yo| |x yo|1 b2 d 1S = 1222 k2 11k2o1k2 1S0,b0）的左、右焦点，O为坐标原点，P八、若Fi,F2为双曲线24a2b2