控制系统数学模型

1、第第1 1章章 控制系统数学模型控制系统数学模型本课程的任务是系统分析和系统设计。而不论是系统分析还是系统本课程的任务是系统分析和系统设计。而不论是系统分析还是系统设计，本课程所研究的内容是基于系统的数学模型来进行的。因此，设计，本课程所研究的内容是基于系统的数学模型来进行的。因此，本章首先介绍控制系统的数学模型。本章首先介绍控制系统的数学模型。本章内容为：本章内容为：1 1、状态空间表达式、状态空间表达式2、由微分方程求出系统状态空间表达式、由微分方程求出系统状态空间表达式3、传递函数矩阵、传递函数矩阵4、离散系统的数学模型、离散系统的数学模型5、线性变换、线性变换6、组合系统的数学描述、组

2、合系统的数学描述7、利用、利用MATLAB进行模型之间的变换进行模型之间的变换1.1 1.1 状态空间表达式状态空间表达式1.1.1 状态、状态变量和状态空间状态、状态变量和状态空间状态状态动态系统的状态是一个可以确定该系统行为的信息集合。动态系统的状态是一个可以确定该系统行为的信息集合。这些信息对于确定系统未来的行为是充分且必要的。这些信息对于确定系统未来的行为是充分且必要的。状态变量状态变量确定系统状态的最小一组变量，如果知道这些变量确定系统状态的最小一组变量，如果知道这些变量在任意初始时刻在任意初始时刻 的值以及的值以及 的系统输入，便能够完整地的系统输入，便能够完整地确定系统在任意时刻

3、确定系统在任意时刻 的状态。（状态变量的选择可以不同）的状态。（状态变量的选择可以不同）0tt0tt状态空间状态空间以所选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交线以所选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交线性空间，称为状态空间。性空间，称为状态空间。例例：如下图所示电路，：如下图所示电路， 为输入量，为输入量， 为输出量。为输出量。)(tu)(tuC)()()()(tututRidttdiLC建立方程：建立方程：dttduCiC)(初始条件：初始条件：)()(00tititt)()(00tutuCttC)(tuC 和和 可以表征该电路系统的行为，就是该系统的一组状态可以表征该电路系统的行为，就是

4、该系统的一组状态变量变量)(ti1.1.2 状态空间表达式状态空间表达式前面电路的微分方程组可以改写如下，并且写成矩阵形式：前面电路的微分方程组可以改写如下，并且写成矩阵形式：LtuLtutiLRdttdiC)()()()()(1)(tiCdttduC)(01)()(011)()(tuLtutiCLLRdttdudttdiCC)()(10)(tutituCC该方程描述了电路的状态变量和输入量之间的关系，称为该电路的状态方程，这是一个矩阵微分方程。如果将电容上的电压作为电路的输出量，则该方程是联系输出量和状态变量关系的方程，称为该电路的输出方程或观测方程。这是一个矩阵代数方程。系统的状态方程和输

5、出方程一起，称为系统状态空间表达式，或称系统的状态方程和输出方程一起，称为系统状态空间表达式，或称为系统动态方程，或称系统方程。为系统动态方程，或称系统方程。21xxx设：设：)(1tix )(2tuxC01Lb10C011CL-LR-ACxbAxxyu则可以写成状态空间表达式：则可以写成状态空间表达式：推广到一般形式：推广到一般形式：DuCxyBuAxx nxxx21xruuu21umyyy21ynnnnnnaaaa1111Arnnrnrabbb1111Bnmmnmncccc1111Crmmrmrdddd1111D如果矩阵如果矩阵A, B, C, D中的所有元素都是实常数时，则称这样中的所有

6、元素都是实常数时，则称这样的系统为线性定常（的系统为线性定常（LTI，即：，即：Linear Time-Invariant）系统。系统。如果这些元素中有些是时间如果这些元素中有些是时间 t 的函数，则称系统为线性时变的函数，则称系统为线性时变系统。系统。严格地说，一切物理系统都是非线性的。可以用下面的状态方程严格地说，一切物理系统都是非线性的。可以用下面的状态方程和输出方程表示。如果不显含和输出方程表示。如果不显含 t，则称为非线性定常系统。，则称为非线性定常系统。),(),(ttux,gyux,fx )()(ux,gyux,fx 1.1.3 状态变量的选取状态变量的选取（1） 状态变量的选取

7、可以视问题的性质和输入特性而定状态变量的选取可以视问题的性质和输入特性而定（2）状态变量选取的非惟一性）状态变量选取的非惟一性（3）系统状态变量的数目是惟一的）系统状态变量的数目是惟一的在前面的例子中，如果重新选择状态变量在前面的例子中，如果重新选择状态变量则其状态方程为则其状态方程为Cux 1Cuxx 12uLCxxLRLCxx101102121输出方程为：输出方程为：2101xxy1.1.4 状态空间表达式建立的举例状态空间表达式建立的举例例例1-11-1 建立右图所示机械系统的状态空间表达式建立右图所示机械系统的状态空间表达式（注：质量块（注：质量块 m 的重量已经和弹簧的重量已经和弹簧

8、 k 的初始拉伸相的初始拉伸相抵消）抵消）根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律22dtydmdtdyfkyFF即：即：Fkydtdyfdtydm22选择状态变量选择状态变量yx 112xyx 21xx 则：则：FmxmfxmkFmdtdymfymkx11212机械系统的系统方程为机械系统的系统方程为Fmxxmfmkxx101021212101xxy该系统的状态图如下该系统的状态图如下例例1-21-2 建立电枢控制直流他励电动机的状态空间表达式建立电枢控制直流他励电动机的状态空间表达式电枢回路的电压方程为电枢回路的电压方程为DeDDDDuKiRdtdiL系统运动方程式为系统运动方程式为dtdJfiK

9、DDm（式中，（式中， 为电动势常数；为电动势常数； 为转矩常数；为转矩常数； 为折合到电动为折合到电动机轴上的转动惯量；机轴上的转动惯量； 为折合到电动机轴上的粘性摩擦系数。）为折合到电动机轴上的粘性摩擦系数。）eKmKDJf可选择电枢电流可选择电枢电流 和角速度和角速度 为状态变量，电动机的电为状态变量，电动机的电枢电压枢电压 为输入量，角速度为输入量，角速度 为输出量。为输出量。DiDuDiy10DDDDDmDeDDDuLiJfJKLKLRdtddtdi01状态空间表达式状态空间表达式状态图如下：状态图如下：例例1-31-3 建立单极倒立摆系统的状态空间表达式。建立单极倒立摆系统的状态空

10、间表达式。 单级倒立摆系统是控制理论应用的一个典型的对象模型。单级倒立摆系统是控制理论应用的一个典型的对象模型。设小球的重心坐标为：设小球的重心坐标为：(,)GGyz则则sinGyylcosGzl在水平方向，应用牛顿第二定律：在水平方向，应用牛顿第二定律：ulytmtyM)sin(dddd22222222dd(sin )cos( cos )sinsinddmyllmllmg ltt 转动方向的力矩平衡方程式：转动方向的力矩平衡方程式：2222dd( cos )( sin )( sin )ddGGyzmlmlmgltt 而有：而有：)(cos)(sinddt cos)sin()(sindd222

11、t)sin()(cosddt )sin()cos()(cosdd222t1cos线性化：当线性化：当 和和 较小时较小时 ，有，有sin02化简后，得化简后，得umlymM )(mgmlym 求解得：求解得：uMMmgy1 uMlMlgmM1)( 选择状态变量选择状态变量 ， ， ， 为系统输入，为系统输入， 为系统输出为系统输出yx 1yxx 123x 34xxuy;0100010000000010114321)(4321uxxxxxxxxMlMMlgmMMmg43210001xxxxy状态图为状态图为1.2 1.2 由微分方程求状态空间表达式由微分方程求状态空间表达式一个系统，用线性定常微

12、分方程描述其输入和输出的关系。通过选一个系统，用线性定常微分方程描述其输入和输出的关系。通过选择合适的状态变量，就可以得到状态空间表达式。择合适的状态变量，就可以得到状态空间表达式。这里分两种情况：这里分两种情况：1、微分方程中不含输入信号导数项，（即、微分方程中不含输入信号导数项，（即1.2.1 中的内容）中的内容）2、微分方程中含有输入信号导数项，（即、微分方程中含有输入信号导数项，（即1.2.2 中的内容）中的内容）1.2.1 微分方程中不含有输入信号导数项微分方程中不含有输入信号导数项首先考察三阶系统，其微分方程为首先考察三阶系统，其微分方程为ubyayayay0012 选取状态变量选

13、取状态变量yx 1yx2yx 3则有则有21xx 32xx ubxaxaxax03221103写成矩阵形式写成矩阵形式ubxxxaaaxxx032121032100100010321001xxxy状态图如下：状态图如下：一般情况下，一般情况下，n 阶微分方程为：阶微分方程为：ubyayayaynnn001)1(1)(选择状态变量如下：选择状态变量如下：yxxyxxyx 32211ubxaxaxayxyxxnnnnnnn012110)()1(1写成矩阵形式：写成矩阵形式：ubxxxaaaaaxxxnnn0211321021000100000010000010nxxy1001系统的状态图如下：系统

14、的状态图如下：1.2.2 微分方程中含有输入信号导数项微分方程中含有输入信号导数项首先考察三阶系统，其微分方程为首先考察三阶系统，其微分方程为ububububyayayay0123012 （一）待定系数法（一）待定系数法选择状态变量：选择状态变量：uxuuuyxuxuuyxuyx2221031110201 其中，待定系数为：其中，待定系数为：22110002120112022130aaabaababb于是于是uxaxaxaxuxxuxx33221103232121写成矩阵形式写成矩阵形式uuxxxaaaxxxbAxx321321210321100010duuxxxuxyCx032101001系

15、统的状态图系统的状态图一般情况下，一般情况下，n 阶微分方程为：阶微分方程为：ububububyayayaynnnnnnn01)1(1)(01)1(1)(选择选择 n 个状态变量为个状态变量为uxxuxxuxxuyxnnn1122311201uxxxaaaaaxxxnnnnn121211321021100000010000010系统方程为系统方程为uxxyn01001系统状态图如下系统状态图如下（二）辅助变量法（二）辅助变量法设设 n 阶微分方程为：阶微分方程为：ubububyayayaynnnnn01)1(101)1(1)(Laplace变换，求传递函数变换，求传递函数1212101110(

16、 )( )nnnnnnnbsbsbsbY sU ssasa sa引入辅助变量引入辅助变量 zuzazazaznnn01)1(1)(yzbzbzbnn01)1(1返回到微分方程形式：返回到微分方程形式：以及以及选择状态变量如下：选择状态变量如下：zxxzxxzx 32211ubxaxaxazxzxxnnnnnnn012110)()1(1nnnnxbxbxbzbzbzby1211001)1(1写成矩阵形式写成矩阵形式uxxxaaaaaxxxnnn1000100000010000010211321021nnxxbbby1110注：如果输入项的导数阶次和输出项导数阶次相同，则有注：如果输入项的导数阶次

17、和输出项导数阶次相同，则有d。0101110101)()(asasabsbsbdasasabsbsbsRsYnnnnnnnn例例1-41-4 已知描述系统的微分方程为已知描述系统的微分方程为uuyyyy64016064019218 试求系统的状态空间表达式。试求系统的状态空间表达式。解解 （1）待定系数法）待定系数法选择状态变量如下选择状态变量如下uxxuxxuyx22311201其中其中224016018640160064001921600022110003100112022130aaabaababb于是系统的状态空间表达式为于是系统的状态空间表达式为uxxxxxx2240160018192

18、640100010321321321001xxxy（2）辅助变量法）辅助变量法引入辅助变量引入辅助变量zuzzzz64019218 zzy640160选择状态变量选择状态变量zx 112xzx 23xzx 于是系统的状态空间表达式为于是系统的状态空间表达式为uxxxxxx100181926401000103213213210160640 xxxy1.3 1.3 传递函数矩阵传递函数矩阵传递函数传递函数系统初始松弛（即：初始条件为零）时，输出量系统初始松弛（即：初始条件为零）时，输出量的拉氏变换式与输入量的拉氏变换式之比。的拉氏变换式与输入量的拉氏变换式之比。1.3.1 传递函数传递函数单入单入

19、-单出线性定常系统的状态空间表达式为单出线性定常系统的状态空间表达式为uyudCxbAxx在初始松弛时，求在初始松弛时，求Laplace变换，并且化简变换，并且化简状态变量对输入量状态变量对输入量(输入到状态输入到状态)的传递函数的传递函数bAIAIbAIGssssxudetadj)(1输出量对输入量输出量对输入量(输入到输出输入到输出)的传递函数（即：传递函数）的传递函数（即：传递函数）dbAIAICdbAICssssgyudetadj)(1例例1-51-5 系统状态方程式为系统状态方程式为u105610 xx x11y求系统传递函数。求系统传递函数。解解：1056111)(11ssssgb

20、AIC22151adj0065611 11 11115656det65sssssssssss 1.3.2 传递函数矩阵传递函数矩阵DuCxyBuAxx 状态空间表达式为状态空间表达式为进行拉普拉斯变换进行拉普拉斯变换)()()0()(ssssBuAxxx)0()()(xBuxA-Isss1 AI s如果如果 存在，则存在，则)0()()(11xAIBuAIxssss如果如果 ，则，则0)0(x)()()()(1sssssuGBuAIxxuBAIAIBAIGxussssdetadj)(1状态变量对输入向量状态变量对输入向量(输入到状态输入到状态)的传递函数矩阵：的传递函数矩阵：而而)()()(s

21、ssDuCxy)()(1sss-DuBuAIC)()()(1ssss-uGDuBAICyu输出对输入向量输出对输入向量(输入到输出输入到输出)的传递函数矩阵：的传递函数矩阵：DBAIAICDBAICGyussssdetadj)(1)()()()()()()()()()(212222111211sgsgsgsgsgsgsgsgsgsmrmmrryuG其结构为其结构为式中，式中， 表示只有第表示只有第 j 个输入作用时，第个输入作用时，第 i 个输出量个输出量 对第对第 j 个输入量个输入量 的传递函数。的传递函数。)(sgij)(syi)(suj例例1-71-7 线性定常系统状态空间表达式为线性

22、定常系统状态空间表达式为uxx100100211340010 xy100001求系统的传递函数矩阵。求系统的传递函数矩阵。解解10010021134001100001)(11sssssBAICGyu)4() 1(323116123sssssss1.3.3 正则（严格正则）有理传递函数（矩阵）正则（严格正则）有理传递函数（矩阵）如果当如果当 时，时， 是有限常量，则称有理函数是有限常量，则称有理函数 是正是正则的。若则的。若 ，则称，则称 是严格正则的。是严格正则的。s)(ijg)(sgij0)(ijg)(sgij非正则传递函数描述的系统在实际的控制工程中是不能应用的，因非正则传递函数描述的系统

23、在实际的控制工程中是不能应用的，因为这时系统对高频噪声将会大幅度放大。例如微分器为这时系统对高频噪声将会大幅度放大。例如微分器为非正则系统，假如输入信号带有高频污染为非正则系统，假如输入信号带有高频污染经过微分器输出经过微分器输出ssg)(tttu1000cos01. 0cos)(tttudtdty1000sin10sin)()(可见，在微分器输入端，噪声的幅值只是有效信号幅值的百分可见，在微分器输入端，噪声的幅值只是有效信号幅值的百分之一，输出端噪声的幅值却是有效信号幅值的之一，输出端噪声的幅值却是有效信号幅值的10倍，信噪比变倍，信噪比变得很小。得很小。1.3.4 闭环系统传递函数矩阵闭环

24、系统传递函数矩阵)()()(sssBuE)()()()()()(ssssssEGHyHB)()()()()(1sssssuGHGIy于是闭环系统的传递矩阵为于是闭环系统的传递矩阵为)()()()(1ssssGHGIGH或或1)()()()(ssssGHIGGH1.3.5 传递函数（矩阵）描述和状态空间描述的比较传递函数（矩阵）描述和状态空间描述的比较1）传递函数是系统在初始松弛的假定下输入）传递函数是系统在初始松弛的假定下输入-输出间的关系描述，输出间的关系描述，非初始松弛系统，不能应用这种描述；状态空间表达式即可以描述非初始松弛系统，不能应用这种描述；状态空间表达式即可以描述初始松弛系统，也

25、可以描述非初始松弛系统。初始松弛系统，也可以描述非初始松弛系统。2）传递函数仅适用于线性定常系统；而状态空间表达式可以在定）传递函数仅适用于线性定常系统；而状态空间表达式可以在定常系统中应用，也可以在时变系统中应用。常系统中应用，也可以在时变系统中应用。3）对于数学模型不明的线性定常系统，难以建立状态空间表达式；）对于数学模型不明的线性定常系统，难以建立状态空间表达式；用实验法获得频率特性，进而可以获得传递函数。用实验法获得频率特性，进而可以获得传递函数。4）传递函数仅适用于单入单出系统；状态空间表达式可用于多入）传递函数仅适用于单入单出系统；状态空间表达式可用于多入多出系统的描述。多出系统的

26、描述。5）传递函数只能给出系统的输出信息；而状态空间表达式不仅给）传递函数只能给出系统的输出信息；而状态空间表达式不仅给出输出信息，还能够提供系统内部状态信息。出输出信息，还能够提供系统内部状态信息。 综上所示，传递函数（矩阵）和状态空间表达式这两种描述各综上所示，传递函数（矩阵）和状态空间表达式这两种描述各有所长，在系统分析和设计中都得到广泛应用。有所长，在系统分析和设计中都得到广泛应用。1.4 1.4 离散系统的数学描述离散系统的数学描述1.4.1 状态空间表达式状态空间表达式首先，考察三阶差分方程首先，考察三阶差分方程1. 差分方程中不含有输入量差分项差分方程中不含有输入量差分项)()(

27、) 1()2()3(0012kubkyakyakyaky选取状态变量选取状态变量)()(1kykx) 1() 1()(12kxkykx) 1()2()(23kxkykx)()()()()3() 1(01021323kubkxakxakxakykx写成矩阵形式写成矩阵形式)(00)()()(100010) 1() 1() 1(0321210321kubkxkxkxaaakxkxkx可以表示为可以表示为)()() 1(kukkHGxx)()()()(321kxkxkxkx其中其中210100010aaaG000bH输出方程输出方程)()()(001)(321kxkxkxky或者或者)()(kkyC

28、x其中其中001C推广到推广到n阶线性定常差分方程所描述的系统阶线性定常差分方程所描述的系统)()() 1() 1()(0011kubkyakyankyankyn选取状态变量选取状态变量 ， ， ，)(ky) 1( ky) 1(nky系统状态方程系统状态方程)(000)()()(100000010000010) 1() 1() 1(0211321021kubkxkxkxaaaaakxkxkxnnn)()()(001)(21kxkxkxkyn输出方程输出方程2. 差分方程中含有输入量差分项差分方程中含有输入量差分项)() 1()2()3()() 1()2()3(0123012kubkubkubk

29、ubkyakyakyaky先考察先考察3阶线性定常差分方程阶线性定常差分方程选择状态变量选择状态变量)()()(01kukykx)() 1()() 1() 1()(11102kukxkukukykx)() 1()2()2()(2103kukukukykx)() 1(22kukx待定系数为：待定系数为：30b0221ab 120112aab22110003aaab)()()()(100010) 1() 1() 1(321321210321kukxkxkxaaakxkxkx系统状态方程为系统状态方程为)()() 1(kukkHGxx即：即：输出方程为输出方程为)()()()(001)(0321ku

30、kxkxkxky即：即：)()()(kdukkyCx多输入多输入-多输出线性时变离散系统状态空间表达式多输出线性时变离散系统状态空间表达式)()()()() 1(kkkkkuHxGx)()()()()(kkkkkyuDxC)(kG)(kH)(kC)(kD当当 、 、 和和 的诸元素与时刻的诸元素与时刻 无关时，无关时，即得线性定常离散系统状态空间表达式即得线性定常离散系统状态空间表达式 k)()() 1(kkkHuGxx)()()(kkkyDuCx1.4.2 脉冲传递函数（矩阵）脉冲传递函数（矩阵）对线性定常离散系统状态空间表达式进行对线性定常离散系统状态空间表达式进行 z 变换变换)()()

31、0()(zzzzzHuGxxx)0()()(xHuxGIzzzz如果如果 存在，则存在，则1GI s)0()()(11xGIHuGIzszszx如果初始松弛，则如果初始松弛，则)()()()(1zzzszuGHuGIxxuHGIGxu1)( sz其中，其中， 为系统状态对输入量的脉冲传递函数矩阵为系统状态对输入量的脉冲传递函数矩阵 )()()()()()(1zzzzzzzuGuDHGICDuCxyyu系统输出向量对输入向量的脉冲传递函数矩阵系统输出向量对输入向量的脉冲传递函数矩阵DHGICGyu1)(zz例例1-91-9 已知线性定常离散系统方程为已知线性定常离散系统方程为)(10)(3 .

32、04 . 010) 1(kukkxx)(1011)(kkxy求其脉冲传递函数矩阵求其脉冲传递函数矩阵解解103 . 04 . 011011)(11zzzzHGICGyu)5 . 0)(8 . 0()5 . 0)(8 . 0(1zzzzzz对于对于SISO线性定常离散系统线性定常离散系统)()() 1(kukkhGxx)()()(kdukkyCx系统脉冲传递函数为系统脉冲传递函数为dzzgyuhGIC1)(1.5 1.5 线性变换线性变换 我们知道，状态变量的选取是非唯一的。选择不同的状态变量，我们知道，状态变量的选取是非唯一的。选择不同的状态变量，则得到的状态空间表达式也不相同。则得到的状态空

33、间表达式也不相同。 由于它们都是同一个系统的状态空间描述，它们之间必然存在由于它们都是同一个系统的状态空间描述，它们之间必然存在某种关系。这个关系就是矩阵中的线性变换关系。某种关系。这个关系就是矩阵中的线性变换关系。求线性变换的目的：将系统矩阵变成为标准形，便于求解状态方程。求线性变换的目的：将系统矩阵变成为标准形，便于求解状态方程。1.5.1 等价系统方程等价系统方程1. 线性定常系统线性定常系统DuCxyBuAxx （1） 为为n 维状态向量；维状态向量； 为为r 维输入向量；维输入向量； 为为m维输出向量；维输出向量； 、 、 、 为相应维数的矩阵。为相应维数的矩阵。xuyABCD引入非

34、奇异变换矩阵引入非奇异变换矩阵PPxx 或者或者xPx1-代入方程（代入方程（1）uBxAPBuxPAPx1uDxCDuxCPy1其中其中1 PAPAPBB 1 CPCDD 于是，系统状态方程变为于是，系统状态方程变为uDxCyuBxAx（2）方程（方程（1）与方程（）与方程（2）互为等价方程）互为等价方程2. 线性时变系统线性时变系统uDxCyuBxAx)()()()(tttt（3）引入变换矩阵引入变换矩阵)(tPxPx)(t或者或者xPx)(1t-对上式求导并代入对上式求导并代入)()()()()()()(1uBxAPxPPxPxPxttttttt-uBxAuBPxPAPxPP)()()(

35、)()()()()()(11ttttttttt-可以得到可以得到)()()()()()()()()()(111tttttttttt-PAPPPAPPPA)()()(tttBPB又由又由uDxCuDxPCuDxC)()()()()()()()(1tttttttty可以得到可以得到)()()(1tttPCC)()(ttDDuDxCyuBxAx)()()()(tttt（4）方程（方程（3）与方程（）与方程（4）互为等价方程）互为等价方程1.5.2 线性变换的基本性质线性变换的基本性质1. 线性变换不改变系统的特征值线性变换不改变系统的特征值DuCxyBuAxx 线性定常系统线性定常系统系统的特征方程

36、为系统的特征方程为012211det)(aaaannnAI0)(1nii等价系统的特征方程为等价系统的特征方程为)det()det()det()(111-PAPPPPAPIAI0)det(det)det(det1AIPAIP-可见线性变换不改变系统的特征值可见线性变换不改变系统的特征值2. 线性变换不改变系统的传递函数矩阵线性变换不改变系统的传递函数矩阵BAICGyu1)(ss时的传递函数矩阵时的传递函数矩阵0D)()()(1111111111sssssss-yuyuGBAICBAIPPCBPPAPIPCPBPAPICPBAICG可见，经过线性变换，系统的传递函数矩阵不改变可见，经过线性变换，

37、系统的传递函数矩阵不改变1.5.3 化系数矩阵化系数矩阵 A 为标准形为标准形所谓标准形是指：对角形、约当形、模态形所谓标准形是指：对角形、约当形、模态形i设设 是是 矩阵矩阵 A 的特征值，如果存在一个的特征值，如果存在一个n 维非零向量维非零向量 使使 nniqiiiqAq ), 2 , 1(ni或或0)(iiqAI成立，则称成立，则称 为为 A 的对应于特征值的对应于特征值 的特征向量的特征向量 iqi而而1. 化矩阵化矩阵 A 为对角阵为对角阵若若n 个特征值互异，则令个特征值互异，则令nqqqQ211211-n-qqqQPn21001PAP例例1-101-10 将矩阵将矩阵 化为对角

38、阵化为对角阵3210A解解0)2)(1(321detdetAI1122解出解出111q212q211121qqQ变换矩阵变换矩阵1112211111QP20012111321011121PAP如果矩阵如果矩阵 A 具有这样形式具有这样形式110101000010naaaA范德蒙特矩阵范德蒙特矩阵112112222121111nnnnnnQ变换矩阵变换矩阵11121122221211111-nnnnnn-QP2. 化矩阵化矩阵 A 为约当形为约当形如果矩阵如果矩阵 A 有重特征值，并且独立特征向量的个数小于有重特征值，并且独立特征向量的个数小于n ,这这时不能化为对角阵，只能化为约当形。时不能化

39、为对角阵，只能化为约当形。11110101PAPJnn nnnnA11121210101qqqqqq确定变换矩阵确定变换矩阵可以得到：可以得到：011qAI121qqAI231qqAI11nnqqAI变换矩阵为变换矩阵为1211nqqqQP例例1-121-12 化矩阵化矩阵 为标准形矩阵为标准形矩阵452100010A解解0)2() 1(4521001detdet2AI得出得出121 23求二重特征根对应的特征向量求二重特征根对应的特征向量011qAI035211001145210001010001000111qq得到得到1111q而由而由121qqAI1113521100112q得到得到21

40、02q求特征值求特征值 对应的特征向量对应的特征向量3033qAI02521100113q得到得到4213q因此因此421211101321qqqQ12113212042121110111QP2000100114212111014521000101211321201PAPJ设特征值为设特征值为j1j2当特征值为共轭复数时，可以将矩阵化为模态阵当特征值为共轭复数时，可以将矩阵化为模态阵3. 化矩阵化矩阵 A 为模态阵为模态阵在此情况下，在此情况下， A 的模态形为的模态形为M设设 为对应于为对应于 的特征向量，则的特征向量，则1qj111jAqq 令令111jq则则11Q 1111-QP变换矩阵

41、变换矩阵例例1-131-13 将将 化为模态形化为模态形41712A解解025641712det)(2特征值为特征值为431j432j22112211jj41712jj)43(解得解得40j1112111qqq因此因此4101Q4141011-QP34431PAP1.6 1.6 组合系统的数学描述组合系统的数学描述 工程中较为复杂的系统，通常是由若干个子系统按某种方式工程中较为复杂的系统，通常是由若干个子系统按某种方式连接而成的。这样的系统称为组合系统。连接而成的。这样的系统称为组合系统。 组合系统形式很多，在大多数情况下，它们由并联、串联和组合系统形式很多，在大多数情况下，它们由并联、串联和

42、反馈等反馈等3种连接方式构成的。种连接方式构成的。 下面以两个子系统下面以两个子系统 和和 构成的组合系统进行介绍。构成的组合系统进行介绍。1S2S的系统方程为的系统方程为1S11111uBxAx11111uDxCy传递函数矩阵为传递函数矩阵为111111)(DBAICGss的系统方程为的系统方程为2S22222uBxAx22222uDxCy传递函数矩阵为传递函数矩阵为221222)(DBAICGss1.6.1 并联连接并联连接21uuu21yyy系统方程系统方程uAA2121212100BBxxxxuDDxxCC212121y)()(00)(212212211111212112121ssss

43、sssyuGGDBAICDBAICDDBBAIAICCG传递函数矩阵传递函数矩阵1.6.2 串联连接串联连接uBxAuBxAx11111111uDxCuDxCy11111111uDBxCBxAuDxCBxAyBxAuBxAx1211222111222122222222uDDxCDxCuDxCDxCyDxCuDxCy1211222111222122222222串连组合后系统方程串连组合后系统方程uAA121212121210DBBxxCBxxuDDxxCCDy1221212传递函数矩阵传递函数矩阵)()()()()()()()(1212ssssssssyyuuGuGGyG所以所以)()()(12

44、sssyuGGG1.6.3 反馈连接反馈连接组合后系统方程为组合后系统方程为uAA012121221121BxxCBCB-xx2110 xxCy传递函数矩阵为传递函数矩阵为)()()()(1121sssIs-yuGGGG或或)()()()(1112sssIs-yuGGGG（1-125）（1-126）121)()(sGsGI 应当指出，在反馈连接的组合系统中，应当指出，在反馈连接的组合系统中，或或 存在的条件是至关重要的。否则反馈系统对于存在的条件是至关重要的。否则反馈系统对于某些输入就没有一个满足式（某些输入就没有一个满足式（1-125）或式（）或式（1-126）的输出。就这）的输出。就这个意

45、义来说，反馈连接就变得无意义了。个意义来说，反馈连接就变得无意义了。112)()(sGsGI1.7 1.7 利用利用MATLAB进行模型转换进行模型转换1.7.1 传递函数与状态空间表达式之间的转换传递函数与状态空间表达式之间的转换1. 连续系统状态空间表达式连续系统状态空间表达式 MATLAB是当今世界上最优秀的科技应用软件之一，它以强大是当今世界上最优秀的科技应用软件之一，它以强大的科学计算能力和可视化功能，简单易用的编程语言以及开放式的的科学计算能力和可视化功能，简单易用的编程语言以及开放式的编程环境等一些显著的优点，使得它在当今许许多多科学技术领域编程环境等一些显著的优点，使得它在当今

46、许许多多科学技术领域中成为计算机辅助分析和设计、算法研究和应用开发的基本工具和中成为计算机辅助分析和设计、算法研究和应用开发的基本工具和首选平台。在本书中，用它作为系统分析和设计的软件平台，更显首选平台。在本书中，用它作为系统分析和设计的软件平台，更显示出独特的优势。示出独特的优势。 本节利用本节利用MATLAB实现数学模型的转换。实现数学模型的转换。 可以用可以用ss命令来建立状态空间模型。对于连续系统，其格命令来建立状态空间模型。对于连续系统，其格式为式为 sys=ss(A,B,C,D)，其中，其中A，B，C，D为描述线性连续系为描述线性连续系统的矩阵。统的矩阵。 当当sys1是一个用传递

47、函数表示的线性定常系统时，可以用是一个用传递函数表示的线性定常系统时，可以用命令命令sys=ss(sys1)，将其转换成为状态空间形式。也可以用命，将其转换成为状态空间形式。也可以用命令令sys=ss(sys1,min)计算出系统计算出系统sys的最小实现。的最小实现。例例1-151-15 控制系统微分方程为控制系统微分方程为uuuuyyyyy2424724503510)4( 求其状态空间表达式。求其状态空间表达式。解解可以先将其转换成传递函数可以先将其转换成传递函数 2450351024247)()()(23423ssssssssusysG输入下列命令输入下列命令语句执行结果为语句执行结果为

48、这个结果表示，该系统的状态空间表达式为这个结果表示，该系统的状态空间表达式为uyu01875. 0375. 04375. 01000102000040000161875. 07813. 0188. 210 xxx 注意，在输入命令中，注意，在输入命令中，sys=ss(G)也可以改用也可以改用A,B,C,D=tf2ss(num,den)，在本例中其作用和，在本例中其作用和sys=ss(G)近近似，也可以计算出矩阵似，也可以计算出矩阵A、B、C、D。2. 离散系统的状态空间表达式离散系统的状态空间表达式离散系统的状态空间表达式为离散系统的状态空间表达式为 )()()()()() 1(kdukCxk

49、ykHukGxkx 和连续系统状态空间表达式的输入方法相类似，如果要输入和连续系统状态空间表达式的输入方法相类似，如果要输入离散系统的状态空间表达式，首先需要输入矩阵离散系统的状态空间表达式，首先需要输入矩阵G、H、C、d，然后输入语句然后输入语句 ，即可将其输入到，即可将其输入到MATLAB的的workspace中，并且用变量名来表示这个离散系统，其中中，并且用变量名来表示这个离散系统，其中T为采为采样时间。如果样时间。如果Gyu表示一个以脉冲传递函数描述的离散系统，也表示一个以脉冲传递函数描述的离散系统，也可以用可以用ss(Gyu )命令，将脉冲传递函数模型转换成状态空间表达命令，将脉冲传

50、递函数模型转换成状态空间表达式。式。),(TdCHGsssys 例例1-161-16 假设某离散系统的脉冲传递函数为假设某离散系统的脉冲传递函数为47. 022. 298. 323. 389. 038. 057. 031. 0)(23423zzzzzzzzGyu采样周期为采样周期为 ，将其输入到，将其输入到MATLAB的的workspace中，并且中，并且绘制零、极点分布图。并且将该离散系统脉冲传递函数模型转换绘制零、极点分布图。并且将该离散系统脉冲传递函数模型转换成状态空间表达式。成状态空间表达式。sT1 . 0 解解 输入下列语句输入下列语句语句执行的结果为语句执行的结果为再输入语句再输入语句 ，绘制出零、极点分布图如下，绘制出零、极点分布图如下在执行完上述语句后，在执行完上述语句后，Gyu已经存在于已经存在于MATLAB的的workspace中，这时再执行语句中，这时再执行语句执行结果为执行结果为 结果表示，离散系统的状态空间表达式为结果表示，离散系统的状态空间表达式为)(