线性代数-课程学习必备的教材

1、线性代数 行列式的性质及其计算行列式的性质及其计算 矩阵的运算、可逆矩阵、分块矩阵、初等变换与初矩阵的运算、可逆矩阵、分块矩阵、初等变换与初等矩阵、矩阵的秩、方阵的特征值与特征向量、矩等矩阵、矩阵的秩、方阵的特征值与特征向量、矩阵相似对角化阵相似对角化 n维向量的线性运算、向量组的线性相关性、向量维向量的线性运算、向量组的线性相关性、向量组的极大线性无关组组的极大线性无关组 齐次、非齐次线性方程组解的结构齐次、非齐次线性方程组解的结构 用正交变换化二次型为标准型用正交变换化二次型为标准型 npppppptnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaD2121222211121121211 1212

2、121nntppnpp ppDaaa 或或其中其中 为排列为排列 的逆序数的逆序数. .t12np pp 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等. .即即 . . TDD 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）, ,行列式变号行列式变号. .推论推论 如果行列式有两行（列）的对应元素完全如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此行列式为零相同，则此行列式为零. . 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数乘以同一数 ，等于用数，等于用数 乘此行列式乘此行列式. .kk推论推论2 2行列式中如果有两行（列）元素成比例，行列式中如果有两

3、行（列）元素成比例，则此行列式为零则此行列式为零若行列式的某一列（行）的元素都是两若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和数之和, ,则这个行列式等于两个行列式之和则这个行列式等于两个行列式之和. .把行列式的某一列（行）的各元素乘以同把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列一数然后加到另一列( (行行) )对应的元素上去，行列式对应的元素上去，行列式不变不变余子式与代数余子式余子式与代数余子式ija记作记作 . .划去后，留下来的划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列列

4、nij1n ijaijM 1ijijijAM ，叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式ija记记关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质1, ,0 , ;nkikjijkDija ADij 当当当当1, ,0 , ;nikjkijkDija ADij 当当当当1, 0, .ijijij ，当当当当在线性方程组中在线性方程组中 若常数项若常数项 不全为零，则称此方程组不全为零，则称此方程组为为非齐次线性方程组非齐次线性方程组；12,nb bb 若常数项若常数项 全为零，则称此方程组全为零，则称此方程组为为齐次线性方程组齐次线性方程组. .12,nb bb 如果线性方程组的系数行列式如

5、果线性方程组的系数行列式 则线则线性方程组一定有解性方程组一定有解, ,且解是唯一的且解是唯一的 . ., 0 D 如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零的系数行列式必为零. .1 1）、定义法）、定义法121121000000000nnnaaaabbb 2 2）、展开法）、展开法0000000000000000 xyxyxxyyx3 3）、加边法）、加边法2112122122212111nnnnnxx xx xx xxx xx xx xx 4 4）、拆分法）、拆分法111212122212nnnnnnabababababababab

6、ab 5 5）、递推法）、递推法950000495000049000000950000495000049n6 6）、三角法）、三角法120111100100100naaa7 7）、）、LaplaceLaplace展开定理展开定理11121314152122232425313241425152000000000aaaaaaaaaaaaaaaa9 9）、综合法）、综合法133332333333333n8 8）、）、Vander mondeVander monde行列式行列式111111 1111222222111111111nnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaba bbaaba bbDaab

7、abb 1010）、降阶法）、降阶法 （略）（略）,2122221112111aaaaaaaaaDnnnnnn ,221122222111112112abababaabababaaDnnnnnnnnnn 1111）、定义证明）、定义证明证明证明12DD 1212）、数学归纳法）、数学归纳法cos100012cos100012cos00cos.000100012cosnDn 定义定义()ijm nAa ）排成的）排成的 行行 列的矩形数表，称为数域列的矩形数表，称为数域mn由数域中的个数（由数域中的个数（nm ijaF1,2,;im 1,2,jn 记作：记作：m nA ()ija中的一个中的一个

8、矩阵矩阵. .mn F实矩阵、复矩阵、行矩阵、列矩阵、阶方阵、实矩阵、复矩阵、行矩阵、列矩阵、阶方阵、方阵的行列式、两矩阵同型、两矩阵相等方阵的行列式、两矩阵同型、两矩阵相等.零矩阵、对角矩阵、单位矩阵、数量矩阵、三角矩阵、零矩阵、对角矩阵、单位矩阵、数量矩阵、三角矩阵、负矩阵、对合矩阵、正交矩阵、幂等矩阵、阶梯形、负矩阵、对合矩阵、正交矩阵、幂等矩阵、阶梯形、行最简形矩阵、标准形行最简形矩阵、标准形1 1）、）、加法加法注意注意: :只有只有同型矩阵同型矩阵才能进行才能进行加法加法运算运算. .()ijijm nABab (),()ijm nijm nAaBb ，若若规定规定2 2）、）、数

9、乘数乘(),ijm nAaR ()ijm nAAa 若若规定规定3 3）、）、乘法乘法(),ijm nABCc ()(),ijmnssijAaBb ，若若规定规定1 1221ijijijissjikkjca ba ba ba b 其中其中1 21 2im jn （， ，；， ， ）4 4）、）、幂幂kkAAAA (),ijn nAakZ 规定规定若若1 1、一般矩阵的幂无意义，除了方阵、一般矩阵的幂无意义，除了方阵. .2 2、只能是正整数只能是正整数. . 把矩阵把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做叫做的的转置矩阵转置矩阵，记作，记作 . .Aor A

10、5 5）、转置）、转置设设为阶方阵，若为阶方阵，若 ，即，即 ，TAA ijjiaa 那么那么称为称为对称矩阵对称矩阵. .TAA ijjiaa 设设为阶方阵，若为阶方阵，若 ，即，即 ，那么那么称为称为反对称矩阵反对称矩阵. .行列式行列式 的各个元素的代数余子式的各个元素的代数余子式所构成矩阵的转置所构成矩阵的转置. .AijA）、伴随矩阵）、伴随矩阵112111222212nnnnnnAAAAAAAAAA 记作记作) )、共轭矩阵、共轭矩阵当当 为复矩阵时，用为复矩阵时，用 表示表示 的共轭的共轭复数，记，称为复数，记，称为 的的共轭矩阵共轭矩阵. . ijaA ijaija ijaA

11、AA6 6）、方阵的行列式）、方阵的行列式行列式行列式（各元素的位置不变）叫做（各元素的位置不变）叫做方阵方阵的行列式的行列式. .记作记作.etAorDA由阶方阵由阶方阵的元素所构成的的元素所构成的,ABBAE 使得使得的逆矩阵记作的逆矩阵记作1.A A1)1)、定义、定义对于对于 阶矩阵阶矩阵 ，如果有一个，如果有一个 阶矩阵阶矩阵 ，nABnA则称矩阵则称矩阵 是是可逆可逆的，的，BA并把矩阵并把矩阵 称为称为 的的逆矩阵逆矩阵. .定理定理1 1若矩阵若矩阵 可逆，则可逆，则0.A A定理定理2 2矩阵矩阵 可逆的充要条件是可逆的充要条件是 ，且且A0A 11,AAA AA 其中其中为

12、矩阵为矩阵的伴随矩阵的伴随矩阵. .性质性质对于行数和列数较高的矩阵，为了简化运算，对于行数和列数较高的矩阵，为了简化运算，经常采用经常采用分块法分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算算. 具体做法是：将矩阵用若干条纵线和横线分成具体做法是：将矩阵用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为许多个小矩阵，每一个小矩阵称为子块子块，以子块为，以子块为元素的形式上的矩阵称为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵分块矩阵.分块矩阵的运算规律与普通矩阵规律运算相类似分块矩阵的运算规律与普通矩阵规律运算相类似. 1,2,iAis 都是方阵都是方阵. .12,sAAAA 12

13、;sAA AA 1111;sAAA 若若则有则有11,ssABABAB 11;ssA BABA B 若若 ，则有，则有0iA 若若1,sAAA 1111;sAAA 则则 1,2,iAis 均为可逆方阵均为可逆方阵. .若若1,sAAA 1;nnnsAAA 则则1 1）、定义）、定义 下面三种变换称为矩阵的下面三种变换称为矩阵的初等行变换初等行变换. .jirr （1 1）互换两行：）互换两行：（2 2）数乘某行：）数乘某行：kri （3 3）倍加某行：）倍加某行：jikrr 同理，把同理，把 换成换成 可定义矩阵的可定义矩阵的初等列变换初等列变换. .rc定义定义 矩阵的初等列变换与初等行变换

14、统称为矩阵矩阵的初等列变换与初等行变换统称为矩阵的的初等变换初等变换定义定义经过有限次初等变换变成矩阵经过有限次初等变换变成矩阵 ，如果矩阵如果矩阵ABAB与与等等价价就称矩阵就称矩阵，记作，记作AB等价关系的性质：等价关系的性质：反身性、对称性、传递性反身性、对称性、传递性.2 2）、初等矩阵的概念）、初等矩阵的概念,ETEP一一次次相应的，三种初等变换对应着三种初等方阵相应的，三种初等变换对应着三种初等方阵. .定义定义就称为就称为初等矩阵初等矩阵. .P( , )E i j 1011011111k E i k ( ）( ）1111k , ( )E i j k ,m nin Aif 0 ;

15、rD10 .rD （1 1）（2 2）则则 称为矩阵称为矩阵 的的最高阶非零子式最高阶非零子式. .rDA)(Ar)(AR记为记为 或或 . .最高阶非零子式最高阶非零子式的阶数称为的阶数称为矩阵的矩阵的秩秩 . if ABR AR B定定理理，则称，则称 An阶方阵阶方阵 ，0( )ifAR An,m nin A A为为满秩阵满秩阵. .( )if R Am A，则称，则称 为为行满秩阵行满秩阵；()ifR An A，则称，则称 为为列满秩阵列满秩阵；0( )ifAR AnA，则称，则称 为为降秩阵降秩阵. .所有与所有与等价的矩阵的集合称为一个等价的矩阵的集合称为一个等价类等价类. . A

16、EERT 1EA AE1EA ECT1 1）、求逆）、求逆 ABERT EXABEXECT2 2）、求方程）、求方程XAB 1XBA AXB 1XA B 矩阵方程矩阵方程解解BAX1 BAX1 BCAX11 BAX BXA CAXB 为阶方阵，为阶方阵，为数，为数， 为维非零向量，为维非零向量，A 若若则则称为称为的的特征值特征值， 称为称为的的特征向量特征向量（）（）并不一定唯一；并不一定唯一；, 阶方阵阶方阵的特征值，就是使齐次线性方程组的特征值，就是使齐次线性方程组特征向量特征向量 ，特征值问题只针对于方阵；，特征值问题只针对于方阵；0 0EA x 有非零解的有非零解的值，即满足值，即满

17、足的的都是都是方阵方阵的特征值的特征值0EA 0EA 称以称以为未知数的一元次方程为未知数的一元次方程为为的的特征方程特征方程 fEA称以称以为变量的一元次多项式为变量的一元次多项式为为的的特征多项式特征多项式121122(2);nnnaaa 12(1);nA 设阶方阵的特征值为设阶方阵的特征值为 ijAa 12,n 则则的特征值与特征向量的求法的特征值与特征向量的求法(1)由特征方程由特征方程0EA 求出矩阵求出矩阵的全部特征值的全部特征值 1, 2, , n，其中，其中r重根对应重根对应的的r个数值相同的特征根。个数值相同的特征根。(2) 把特征值代入把特征值代入( I-)X=0，求其特征

18、向量。，求其特征向量。1 1） 定义定义 设设、都是阶矩阵，若有可逆矩阵都是阶矩阵，若有可逆矩阵，使得使得1,PAPB 则称则称是是的的相似矩阵相似矩阵，或者说矩阵，或者说矩阵与与相似相似称为对称为对进行进行相似变换相似变换，1,PAP 对对进行运算进行运算可逆矩阵可逆矩阵称为把称为把变成变成的的相似变换矩阵相似变换矩阵记作：记作：2 2） 矩阵相似对角化矩阵相似对角化若能寻得相似变换矩阵使若能寻得相似变换矩阵使1PAP 对阶方阵对阶方阵，称之为称之为把方阵把方阵对角化对角化的主对角线上的元素就是的主对角线上的元素就是的的全部特征值全部特征值；12,nppp是是的个的个线性无关的特征向量线性无

19、关的特征向量。）、定义）、定义 个数组成的有序数组个数组成的有序数组12,na aa 12naaa 称为一个称为一个维向量维向量，其中称为第个，其中称为第个分量分量（坐标坐标）. .iai.,TT记作记作维向量写成一行称为维向量写成一行称为行向量行向量，记作记作., 维向量写成一列称为维向量写成一列称为列向量列向量，）、几种特殊向量）、几种特殊向量实向量，复向量，零向量，单位向量，向量同型，实向量，复向量，零向量，单位向量，向量同型，向量相等向量相等. .注意什么是向量的个数、什么是向量的维数，二注意什么是向量的个数、什么是向量的维数，二者必须分清者必须分清.）、矩阵与向量的关系）、矩阵与向量

20、的关系、维向量、维向量 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做所组成的集合叫做向量组向量组）、向量组）、向量组,;ifVVV ）、向量空间）、向量空间设设为维非空向量组，且满足为维非空向量组，且满足对加法封闭对加法封闭对数乘封闭对数乘封闭那么就称集合那么就称集合为为向量空间向量空间. .,.ifVRV ）、向量的运算）、向量的运算向量的运算采用与矩阵相同的运算规律向量的运算采用与矩阵相同的运算规律. .1 1）、基本概念）、基本概念12:,rA 定义定义给定向量组给定向量组，对于任何一组数，对于任何一组数12,rkkk， ，称向量，称向

21、量1122rrkkk为向量组的为向量组的一个一个线性组合线性组合. . 12,rkkk， ，为组合的为组合的组合系数组合系数12:,rA 定义定义设向量组设向量组及向量及向量有关系有关系1122rrkkk 则则称为向量组的一个称为向量组的一个线性组合线性组合，或称，或称可由向量组可由向量组线性表示线性表示12,rkkk， ，称为称为在该线在该线性组合下的组合系数性组合下的组合系数. .定义定义设两向量组设两向量组1212:,:,.rsAB ，若向量组若向量组中每一个向量皆可由向量组中每一个向量皆可由向量组线性表示，线性表示，则称则称向量组向量组可以由向量组可以由向量组线性表示线性表示. .若两

22、个向量组可以互相线性表示，则称这若两个向量组可以互相线性表示，则称这两向量组等价两向量组等价. .向量组之间的等价关系具有反身性、对称性、传递性向量组之间的等价关系具有反身性、对称性、传递性. .12:,rA 定义定义设维向量组设维向量组为零的数为零的数12,rkkk， ，使得，使得1122rrkkk 0 0, ,则称向量组则称向量组，如果存在不全，如果存在不全12:,rA 线性相关线性相关反之，若当且仅当反之，若当且仅当120rkkk = = =，才有，才有1122rrkkk 0 0, ,则称向量组则称向量组12:,rA 线性无关线性无关即存在矩阵即存在矩阵,.s rrss rKAB K )

23、 )、极大线性无关组、极大线性无关组线性相关线性相关. . 121,iiirjs 若满足：若满足：设设是一个向量组，它的某一个部分组是一个向量组，它的某一个部分组12,s 012:,iiirA ) )、向量组的秩、向量组的秩向量组的极大无关组所含向量个数称为向量组的极大无关组所含向量个数称为向量组的秩向量组的秩记作：记作：( () )或或 12sR 线性无关；线性无关；012:,iiirA 则称为则称为的一个的一个极大线性无关组极大线性无关组. .012:,iiirA 定义定义矩阵矩阵111212122211,nnmmmnaaaaaaAaaa 的列向量组的秩称为列秩，记为：的列向量组的秩称为列

24、秩，记为：的行向量组的秩称为的行向量组的秩称为行行秩，记为：秩，记为： .r A .c A定理定理 11TTm nnmR Acr 结论结论m nin A ，则所在行（列）向量组线性无关，则所在行（列）向量组线性无关. .rD0rD，则则的任的任行（列）向量组线性相关行（列）向量组线性相关. .0rD ，且含有的，则且含有的，则. .0rDrD10rD R Ar 定理定理有相同的有相同的线性关系线性关系. .相同的相同的线性关系线性关系是指：是指：已知维列向量组已知维列向量组12,s 12,sn sA 若对若对施行初等行变换把施行初等行变换把化为化为 12,sn sB 则则向量组向量组1212,

25、ppiiiiii 与与 121piiis 1212,.ppiiiiiiRR 12,piii 线性表示，且表达式的系数对应相同线性表示，且表达式的系数对应相同. .12,piiii 可可以以由由线性表示，对应的线性表示，对应的i 可可以以由由1212,ss 与与极大无关组相对应极大无关组相对应. .线性相关线性相关. .12,jjiV 若满足：若满足：设设是一个向量空间，它的某个向量是一个向量空间，它的某个向量12,r 中的任一向量均可以表示成中的任一向量均可以表示成基向量基向量的线性组合，的线性组合，记作：记作：dimdim. .线性无关；线性无关；12,r 则称为则称为的一个的一个基基. .

26、称为称为的的维数维数. .12,r 且表达式唯一，其组合系数且表达式唯一，其组合系数称为称为向量在该基下的坐标向量在该基下的坐标. .设为向量空间设为向量空间的一个基，则任取的一个基，则任取 ， 可可唯一地表示为唯一地表示为12,r =x1 1+x2 2+xr r= 1, 2, , rx1 x2 xr .则则X=x1, x2, , xrT称为称为 关于基关于基 1, 2, , r的的坐标向量坐标向量简称简称坐标坐标。3） 坐标变换坐标变换 1 2 rX =对任意向量对任意向量 V，设，设 在两组基下坐标分别为在两组基下坐标分别为X和和Y，即，即 = 1 2 rY则则= 1 2 rCY = 1

27、2 rYX=CY定理定理3.9设向量空间设向量空间V的一组基的一组基 1, 2, , r到另一组基到另一组基 1, 2, , r的过渡矩阵为的过渡矩阵为C。且。且V中一个向量在两组中一个向量在两组基下的坐标分别为基下的坐标分别为X和和Y，则，则X=CY坐标变换公示坐标变换公示Rn设维实向量设维实向量称实数称实数1122,nnababab ,. 1 122nna ba ba b 为向量为向量与与的的内积内积，记作，记作 22212,naaa 令令为维向量为维向量的的长度长度（模模或或范数范数）. .设设 与与 为维空间的两个非零向量，为维空间的两个非零向量， 与与 的夹的夹角的余弦为角的余弦为

28、,cos, 因此因此 与与 的的夹角夹角为为 ,arccos,0. 当当，称，称与与正交正交. . ,0 向量空间的基向量空间的基标准正交化标准正交化. .12,r 设设为维向量组，下面命题等价为维向量组，下面命题等价12,r 线性无关线性无关. .11220rrkkk 满足满足的数当且仅当全为零的数当且仅当全为零. .22212112200.rrrkkkkkk 都都有有(1)iir 都不可由其余向量线性表示都不可由其余向量线性表示. . 12,.rRr 12,r 向量组向量组的极大线性无关组是其本身的极大线性无关组是其本身. .设设 12,rA 则矩阵则矩阵的秩为的秩为. .向量方程向量方程

29、只有零解只有零解. .11220rrxxx设设 12,rA 则方程则方程只有零解只有零解. .12,r 不线性相关不线性相关. .12,r 设设为维向量组，下面命题等价为维向量组，下面命题等价12,r 线性相关线性相关. .11220rrkkk 满足满足的数至少有组不为零的数至少有组不为零. .22212112200.rrrkkkkkk 使使得得(1)iir 可由其余向量线性表示可由其余向量线性表示. . 12,.rRr 12,r 向量组向量组的极大线性无关组是真子集的极大线性无关组是真子集. .设设 12,rA 矩阵矩阵的秩小于的秩小于. .向量方程向量方程有非零解有非零解. .11220r

30、rxxx设设 12,rA 则方程则方程有非零解有非零解. .12,r 不线性无关不线性无关. .12,r 设设为维向量组，下面命题等价为维向量组，下面命题等价12,r 可可由由线性表示线性表示. .非奇次线性方程非奇次线性方程有解有解. . 1212,.rrRR 12,r 向量组向量组的极大线性无关组也是的极大线性无关组也是向量方程向量方程有解有解. .1122rrxxx12,r 的极大线性无关组的极大线性无关组. .向量组向量组可由可由线性表示，则线性表示，则若，则若，则线性相关线性相关. .线性无关，线性无关，则则. .( () ) ( () ) . .等价向量组必有同秩（反之则不然）等价

31、向量组必有同秩（反之则不然）存在矩阵存在矩阵,.s rrss rKAB K 定理定理 如果向量组如果向量组线性相关，则线性相关，则可由可由唯一线性表示唯一线性表示. .12,rA 12,r 线性无关，而向量组线性无关，而向量组定理定理 设向量组设向量组12,rA ：121 :,rrB 若若线性相关线性相关, ,则向量组则向量组也线性相关；反之，若也线性相关；反之，若向量组向量组线性无关，则向量组线性无关，则向量组也线性无关也线性无关. . 121,Tiiimimiaaaa 定理定理 设向量组设向量组(1,2, )in 12Tiiimiaaa 若若线性无关，则向量组线性无关，则向量组也线性无关；

32、反之，若也线性无关；反之，若向量组向量组线性相关，则向量组线性相关，则向量组也线性相关也线性相关. .12,nA ：12,.nB ：其中其中(1,2, )in 设元线性方程组的系数矩阵为设元线性方程组的系数矩阵为，增广，增广 R AR Bn ）线性方程组）线性方程组 有唯一解有唯一解bAx 矩阵矩阵为为，则，则 R AR Bn ）线性方程组）线性方程组 有无穷解有无穷解bAx R AR B ）线性方程组）线性方程组 无解无解bAx 定义定义4.2 对线性方程组施行的下列三种变换对线性方程组施行的下列三种变换(1) 交换两个方程的位置交换两个方程的位置(2) 用一个非零数乘某一个方程用一个非零数

33、乘某一个方程(3) 把某个方程的若干倍加到另外一个方程上。把某个方程的若干倍加到另外一个方程上。称为线性方程组的初等变换。称为线性方程组的初等变换。 用三种初等变换将一个线性方程组化成增广矩阵是阶梯型用三种初等变换将一个线性方程组化成增广矩阵是阶梯型的线性方程组的过程称为的线性方程组的过程称为Gauss消元法消元法。A|bC|d(行阶梯型或行标准型行阶梯型或行标准型)行初等变换行初等变换1 1）、基础解系）、基础解系12,s 基础解系，基础解系，则方程组的则方程组的通解通解可表示为：可表示为：0Ax 方程组的解空间中，它的某一个部分组方程组的解空间中，它的某一个部分组0Ax 线性相关线性相关.

34、 .12,s 线性无关；线性无关；12,s 则称为齐次线性方程组的一组则称为齐次线性方程组的一组基础解系基础解系. .12,s 满足：满足：如果为齐次线性方程组的如果为齐次线性方程组的12,s 0Ax 1 122,ssxkkk 其中为任意实数其中为任意实数. .12,sk kk元齐次线性方程组的全体解所构成的元齐次线性方程组的全体解所构成的0m nAx 集合是一个向量空间，当系数矩阵的秩为时，解空集合是一个向量空间，当系数矩阵的秩为时，解空间间的维数为的维数为- -. .当时，线性方程组必有含当时，线性方程组必有含- -个向量的个向量的基基()R An 解系（此时解空间只含有零向量，称为维向量

35、空间）解系（此时解空间只含有零向量，称为维向量空间）当时，线性方程组只有零解，故当时，线性方程组只有零解，故没有基础没有基础()R An 础础解系，此时线性方程组的解可以表示为解系，此时线性方程组的解可以表示为12,n r 1 122n rn rkkk 其中其中为任意实数，解空间可以表示为为任意实数，解空间可以表示为12,n rk kk 1 12212,n rn rn rSxkkkxk kkR 000010011111rn ,rrrn ,bbbbA2 2）、基础解系的求法）、基础解系的求法、对系数矩阵、对系数矩阵进行初等变换，将其化为最简形进行初等变换，将其化为最简形 rAR 、得出，同时也可

36、知方程组的一个基础解、得出，同时也可知方程组的一个基础解系含有个线性无关的解向量系含有个线性无关的解向量,bbr 0011111 ,bbr 0102122 .bb,rn ,rrn ,rn 1001 故故为齐次线性方程组的一个基础解系为齐次线性方程组的一个基础解系. .1 122n rn rkkk 就为方程组的就为方程组的通解通解. .其中为其导出组的通解，其中为其导出组的通解，1122n rn rkkk 非齐次线性方程组的通解为非齐次线性方程组的通解为Axb 1 122.n rn rxkkk 为非齐次线性方程组的任意一个特解为非齐次线性方程组的任意一个特解. . 1212,nnRRb 线性方程

37、组线性方程组 有解，则以下命题等价：有解，则以下命题等价：bAx 12,n 向量向量可由向量组可由向量组线性表示线性表示. .12,n 向量组向量组等价等价. .与向量组与向量组12,nb 212111121211(,)22nnnf x xxa xa x xa x x 12,nx xx222223232222nna xa x xax x 2333332nna xax x 2nnnax 的二次齐次多项式的二次齐次多项式含有个变量含有个变量称为称为二次型二次型21211(,)2nniiiijijiij nf x xxa xa x x 或记为或记为212111121211(,)nnnf x xxa xa x xa x x 2212122222nna x xa xax x 21122nnnnnnna x xax xax 11111112122221212nnnnnnnaaaxaaaxxxxaaax 2n 则则二次型二次型TfX AX 其中矩阵其中矩阵为为对称矩阵对称矩阵. .对称对称矩阵矩阵向量向量 X只含有平方项的二次型只含有平方项的二次型22212111222(,)nnn