二次函数平移旋转对称

1、二次函数平移、旋转、对称专题例1（09年宁德）（本题满分13分）如图，已知抛物线C1：的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1（1）求P点坐标及a的值；（4分）（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；（4分）（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标（5分）yxA

2、OBPM图1C1C2C3图（1）yxAOBPN图2C1C4QEF图（2）解：（1）由抛物线C1：得顶点P的为（-2，-5） 2分点B（1，0）在抛物线C1上 解得，a 4分（2）连接PM，作PHx轴于H，作MGx轴于G点P、M关于点B成中心对称PM过点B，且PBMBPBHMBGMGPH5，BGBH3顶点M的坐标为（4，5） 6分 抛物线C2由C1关于x轴对称得到，抛物线C3由C2平移得到抛物线C3的表达式为 8分（3）抛物线C4由C1绕点x轴上的点Q旋转180°得到顶点N、P关于点Q成中心对称 由（2）得点N的纵坐标为5yxAOBPN图(2)C1C4QEFHGK设点N坐标为（m，5）

3、 9分 作PHx轴于H，作NGx轴于G 作PKNG于K 旋转中心Q在x轴上EFAB2BH6 FG3，点F坐标为（m+3，0） H坐标为（2，0），K坐标为（m，-5），根据勾股定理得 PN2NK2+PK2m2+4m+104 PF2PH2+HF2m2+10m+50 NF252+3234 10分 当PNF90º时，PN2+ NF2PF2，解得m，Q点坐标为（，0） 当PFN90º时，PF2+ NF2PN2，解得m，Q点坐标为（，0）PNNK10NF，NPF90º综上所得，当Q点坐标为（，0）或（，0）时，以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形 13分例2、ABCDG

4、o第2题如图，在平面直角坐标系xoy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，且AB=3，BC=，直线y=经过点C，交y轴于点G。（1）点C、D的坐标分别是C（ ），D（ ）；（2）求顶点在直线y=上且经过点C、D的抛物线的解析式；（3）将（2）中的抛物线沿直线y=平移，平移后 的抛物线交y轴于点F，顶点为点E（顶点在y轴右侧）。平移后是否存在这样的抛物线，使EFG为等腰三角形？若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由。解：（1） 2 （2）由二次函数对称性得顶点横坐标为，代入一次函数，得顶点坐标为（，）， 设抛物线解析式为，把点代入得， 2 解析式为 （3）设顶点E在直线上运动的横坐标

5、为m，则 2 可设解析式为 当FG=EG时，FG=EG=2m，代入解析式得：，得m=0(舍去)， 2此时所求的解析式为：； 当GE=EF时，FG=4m，代入解析式得：，得m=0(舍去)， 2此时所求的解析式为：；当FG=FE时，不存在；例3、如图，已知抛物线与x轴交于点A(-2,0),B(4,0)，与y轴交于点C(0,8)（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；（2）设直线CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，在坐标平面内找一点G，使以点G、F、C为顶点的三角形与COE相似，请直接写出符合要求的，并在第一象限的点G的坐标；（3）在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得点P到

6、直线CD的距离等于点P到原点O的距离？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（4）将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段EF总有公共点试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？解：（1）设抛物线解析式为，把代入得1分ABCOxyDFHPE，顶点2分(2)G(4,8), G(8,8), G(4,4) 3分（3）假设满足条件的点存在，依题意设，由求得直线的解析式为1分它与轴的夹角为，设的中垂线交于，则则，点到的距离为又平方并整理得：，1分存在满足条件的点，的坐标为1分（4）由上求得抛物线向上平移，可设解析式为当时，当时，或1分 向上最多可平移72个单位长。2分练习1、已知抛物线：（1

7、）求抛物线的顶点坐标.（2）将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线，求抛物线的解析式.（3）如下图，抛物线的顶点为P，轴上有一动点M，在、这两条抛物线上是否存在点N，使O（原点）、P、M、N四点构成以OP为一边的平行四边形，若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由.【提示：抛物线（0）的对称轴是顶点坐标是】3（14分）如图1，抛物线的顶点为P，A、B是抛物线上两点，ABx轴，四边形ABCD为矩形，CD边经过点P，AB = 2AD求矩形ABCD的面积；如图2，若将抛物线“”，改为抛物线“”，其他条件不变，请猜想矩形ABCD的面积；若将抛物线“”改为抛物线“”，其他条件不变，请猜想矩形ABCD的面积(用a、b、c表示，并直接写出答案)附加题：若将题中“”改为“”，“AB = 2AD”条件不要，其他条件不变，探索矩形ABCD面积为常数时，矩形ABCD需要满足什么条件？并说明理由1. 解：（1）依题意1分，3分顶点坐标是（2，2）4分（2）根据题意可知y2解析式中的二次项系数为5分且y2的顶点坐标是（4，3）6分y2，即：y28分（3）符合条件的N点存在9分如图：若四边形OPMN为符合条件的平行