第16讲、导数与函数性质

1、大学数学先修课大学数学先修课微积分微积分第第1616讲讲 导数与函数性质导数与函数性质1 116.0 16.0 函数性质与函数图象函数性质与函数图象作为函数的直观表示的函数图象：作为函数的直观表示的函数图象：定义域，值域，连续性；定义域，值域，连续性；单调区间与极值点；单调区间与极值点；凹凸区间与拐点；（凹凸区间与拐点；（* *曲率）曲率）渐进性质；渐进性质；16.1 16.1 极值问题极值问题16.1.1 16.1.1 极值点极值点若函数若函数 在在 点附近有定义，且存在一个点附近有定义，且存在一个邻域邻域 使得使得 ，则称函数值则称函数值 为极大值，为极大值， 为极大值点；为极大值点； x

2、f0 x 0 xU 00,xfxfxUx 0 xf0 x类似定义极小值和极小值点；类似定义极小值和极小值点；极大极大/ /小值统称极值，极大小值统称极值，极大/ /小值点统称极值点小值点统称极值点例例1 1、极值与最值的区别和联系、极值与最值的区别和联系（1 1）极值未必是闭区间上的最值；）极值未必是闭区间上的最值；（2 2）闭区间上的最值未必是极值；）闭区间上的最值未必是极值；（3 3）若一个函数在定义区间内（而非端点）若一个函数在定义区间内（而非端点） 取得最大值，则这个值必为极大值；取得最大值，则这个值必为极大值；（4 4）函数在闭区间上的最大值要么是极大值）函数在闭区间上的最大值要么是

3、极大值 点，要么是端点值；点，要么是端点值；16.1.2 16.1.2 极值点的必要条件（极值点的必要条件（FermatFermat定理）定理）设设 在在 上有定义，若上有定义，若 是是 的极值点，且的极值点，且 在在 处可导，则处可导，则 xfba,bax,0 xf xf0 x 00 xf证：设证：设 为极大值点，则存在为极大值点，则存在使得使得 ；由此可知；由此可知0 x baxU,0 00,xfxfxUx 0lim, 0lim00000000 xxxfxfxxxfxfxxxx提示：还记得提示：还记得RolleRolle定理的证明过程吗？定理的证明过程吗？例例2 2、关于、关于Fermat

4、Fermat定理中条件的不充分性定理中条件的不充分性（1 1）请找一个实例，说明）请找一个实例，说明“导数为零的点导数为零的点 可以不是极值点可以不是极值点”；（2 2）导数为零的点称为）导数为零的点称为“驻点驻点”、“稳定稳定点点” 或者或者“临界点临界点”，可能的理由是什么？，可能的理由是什么？（3 3）考察稳定点是否为极值点的方法是考）考察稳定点是否为极值点的方法是考 虑其两侧附近函数值的性态虑其两侧附近函数值的性态. . 例例3 3、求、求 的极值点的极值点 415623xxxxf 5, 1015123212xxxxxf-15+-+极大极大极小极小121 f 965f16.1.3 16

5、.1.3 利用稳定点的二阶导数判断极值点利用稳定点的二阶导数判断极值点设函数设函数 在区间在区间 内有一阶导数，内有一阶导数，是它的一个稳定点，且是它的一个稳定点，且 在在 有二阶导数有二阶导数. .若若 ，则，则 为极大值点；若为极大值点；若 ，则则 为极小值点为极小值点. . xfba,bax,0 xf0 x 00 xf0 x 00 xf0 x提示：考虑提示：考虑 在在 点的泰勒公式点的泰勒公式 xf0 x证：由稳定点条件可知证：由稳定点条件可知 02020002xxxxoxxxfxfxf 00 xf 002002xxxxfxxxf 其中其中 为无穷小量，因此当为无穷小量，因此当 充分靠近

6、充分靠近 时，时， 与与 符号相同；符号相同；因此当因此当 时时 ， 是极小值是极小值. . xx0 x xxf 20 0 xf 00 xf 0 xfxf 0 xf追问：如果追问：如果 呢？呢？ 03030006xxxxoxxxfxfxf 000 xfxf 003006xxxxfxxxf 其中其中 为无穷小量，因此当为无穷小量，因此当 充分靠近充分靠近 时，时， 与与 符号相同；符号相同；但是但是 在在 点两侧改变符号点两侧改变符号 xx0 x xxf 60 0 xf 30 xx0 x16.1.4 16.1.4 对稳定点的一般判定对稳定点的一般判定设设 在在 点有点有 阶导数，且阶导数，且 x

7、f0 xn2 00120 xfxfn若若 ，则，则 为极小值点；为极小值点； 002xfn0 x若若 ，则，则 为极大值点为极大值点. . 002xfn0 x例例4 4、研究、研究 的极值点的极值点 xexxf3 3, 0032132xxexxxfx 00, 036623 ffexxxxfx 00618923 fexxxxfx结论：结论： 是极大值点，是极大值点， 不是极值点不是极值点. .3x0 x例例5 5、光的折射定律、光的折射定律设有甲、乙两种介质，其交界面为一平面设有甲、乙两种介质，其交界面为一平面. .设设光从甲种介质中之光从甲种介质中之A A点发出，经过两介质的交点发出，经过两介

8、质的交界面，到达乙种介质中的界面，到达乙种介质中的B B点点. .光的折射定律光的折射定律告诉我们：光所走路径满足告诉我们：光所走路径满足 ，其中，其中 是光的入射角，是光的入射角， 是折射角，是折射角， 分别是光分别是光在甲、乙介质中的速度在甲、乙介质中的速度. .证明：光所走的路径证明：光所走的路径是时间最少的路径是时间最少的路径. .2100sinsinvv0021,vv222122vxdbvxaTAPBOCabdx222122vxdbvxaT 0222221xdbvxdxavxxT 3222232212 xdbvbxavaxT222221xdbvxdxavx例例6 6、最小二乘法、最小

9、二乘法要测量某一个量的值，共作了要测量某一个量的值，共作了 次试验，测次试验，测得的数据分别是得的数据分别是 . .为代表要测为代表要测量的量，需要找这样一个量的量，需要找这样一个 ：它使得平方和：它使得平方和nnaaa,21 niiaxxf12 达到最小达到最小. .用这样的用这样的作为结果，则有较大把握使误差较小作为结果，则有较大把握使误差较小. .0 x0 x niiniixnxaxxf10110216.2 16.2 凹凸性凹凸性向上凸（凸）向上凸（凸）向下凸（凹）向下凸（凹）任一点处切线任一点处切线位于曲线上方位于曲线上方任一点处切线任一点处切线位于曲线下方位于曲线下方如何用导数语言描

10、述上述直观现象？如何用导数语言描述上述直观现象？设设 在在 上可导，若对于每个上可导，若对于每个 xfba,bax,0有有 0000,xxxfxfxfxxbax则称它在则称它在 上是一个向上凸（凸）的函数；上是一个向上凸（凸）的函数；ba,16.2.1 16.2.1 函数凹凸性的定义函数凹凸性的定义向下凸（凹）向下凸（凹）16.2.2 16.2.2 凹凸性的判定定理凹凸性的判定定理设设 在在 上有二阶导数上有二阶导数. . 若对于每一点若对于每一点 ，都有，都有 ，则，则 在在 上上是向下凸的；是向下凸的； xfba,bax, 0 xf xfba,证：设证：设 为任意一点，对任意为任意一点，对

11、任意且且 ，写出拉格朗日余项的泰勒公式：，写出拉格朗日余项的泰勒公式：bax,00 xx 2000021xxfxxxfxfxf bax,例例7 7、 的凹凸性区间的凹凸性区间023adcxbxaxy ,3,326abxabxbaxy向下凸向下凸向上凸向上凸这个点还有什么特殊的性质？这个点还有什么特殊的性质？拐点拐点16.2.3 16.2.3 拐点的必要条件拐点的必要条件设设 在在 内有连续的二阶导数内有连续的二阶导数. . 若点若点 是函数是函数 的拐点，则的拐点，则 xfba,bac, xf 0 cf证：反证证：反证. .不妨设不妨设 ，由连续性可知，由连续性可知存在存在 的一个邻域的一个邻

12、域 ，使得，使得 ；由判定定理可知；由判定定理可知在在 内都是向下凸的，与内都是向下凸的，与 是拐点矛盾是拐点矛盾. . 0 cfc cU 0, xfcUx xf cUc例例8 8、关于拐点条件的进一步追问、关于拐点条件的进一步追问（1 1）举例说明）举例说明 不是充分条件；不是充分条件； 0 cf4xy （2 2）将）将 与什么条件结合，能够保证与什么条件结合，能够保证 是拐点？给出猜测并说明理由是拐点？给出猜测并说明理由. . 0 cf 0, 0 cfcf设设 在在 内有连续的三阶导数内有连续的三阶导数. . 若若存在点存在点 使得使得 ，则则 是是 的拐点的拐点. . xfba,bac,

13、c xf16.3 16.3 渐近线渐近线设函数设函数 定义在定义在 上，若当上，若当 时，点时，点 到直线到直线 的距离趋于的距离趋于零，则称直线零，则称直线 是曲线是曲线 当当 时的一条渐近线时的一条渐近线. . xf, cx xfx,baxybaxy xfy x16.3.1 16.3.1 渐近线的充要条件渐近线的充要条件设函数设函数 在在 上有定义，则直线上有定义，则直线 是是 当当 时之渐近时之渐近线的充要条件是：线的充要条件是： xf, cbaxy xfy x axxfbxxfaxxlim,lim证：充分性比较显然证：充分性比较显然 baxxfxd必要性：设必要性：设 到直线到直线 距

14、离为距离为 xfx,baxy xd cosbaxxfxd xxd0 0limbaxxfx axxfbxlim xxfaxaxxfaxxfxxxlim0limlim16.3.2 16.3.2 渐近线的可能情况：渐近线的可能情况： axxfbxxfabaxyxxlim,lim:特殊情况：水平渐近线特殊情况：水平渐近线 bxfxlim前述定义未包含情况：垂直渐近线前述定义未包含情况：垂直渐近线若当若当 或或 时，时，或或 ，称，称 是是 的一条的一条cx 0, 0cxcxyycx xfy 例例9 9、求函数、求函数 的渐近线的渐近线 2311xxxxf 111limlim23xxxxxxfaxx 2112limlim22xxxxfbxx因此有渐近线因此有渐近线 ; ;2 xy此外有垂直渐近线此外有垂直渐近线 （为什么？）（为什么？）1x16.4 16.4 函数作图函数作图函数作图的一般步骤：函数作图的一般