clb第八章弯曲应力

1、第八章第八章 弯曲应力弯曲应力8-1 概概 述述CL8TU1PPQMaalQM= 0= const，纯弯曲纯弯曲：QM ，00横力弯曲横力弯曲：PPCDABPPPa在横截面上，只有法向内力元素在横截面上，只有法向内力元素dN=dA才能才能合成弯矩合成弯矩M，只有切向内力元素，只有切向内力元素dQ=dA才能才能合成剪力合成剪力QdAdAMdAdAdAQ M QCL8TU2dAQdAM8-2 纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力从三方面考虑：从三方面考虑：一、变形几何关系一、变形几何关系 用较易变形的材料制成的矩形截面等直梁用较易变形的材料制成的矩形截面等直梁作纯弯曲试验作纯弯曲试

2、验:变形几何关系变形几何关系物理关系物理关系静力学关系静力学关系CL8TU3aabbmnmnmmmm观察到以下变形现象观察到以下变形现象:(1)aa、bb弯成弧线，弯成弧线，aa缩短，缩短，bb伸长伸长(2)mm、nn变形后仍保持为直线，且仍与变为变形后仍保持为直线，且仍与变为 弧线的弧线的aa，bb垂直垂直(3)矩形截面的宽度变形后上宽下窄矩形截面的宽度变形后上宽下窄梁在纯弯曲时的梁在纯弯曲时的平面假设平面假设： 梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形后的轴线，只是横截面绕某一并仍垂直于变形后的轴线，只是横截面绕某一轴旋转了一个角度。轴旋转了一

3、个角度。 再作单向受力假设：假设各纵向纤维之间再作单向受力假设：假设各纵向纤维之间互不挤压。于是各纵向纤维均处于单向受拉或互不挤压。于是各纵向纤维均处于单向受拉或受压的状态。受压的状态。推论：推论： 梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，下面部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既下面部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短不伸长也不缩短,保持原来的长度，这一纵向纤保持原来的长度，这一纵向纤维层称为维层称为中性层中性层。 中性层与横截面的交线称为中性层与横截面的交线称为中性轴中性轴中性层中性层中性轴中性轴中性层中性层CL8TU3-1 ()y dddC

4、L8TU3-2yzdxydyy二、物理关系二、物理关系 E Ey三三、静力学关系、静力学关系dANAxAdMzAyAdMyAzAd 0 0 MNAxAd0EyAAd0y AAd0Sz 0中性轴过形心MzAyAd0 z EyAAd0Iyz0MyAMzAdy EyAMAd1MEIz1MEIzM yIz中性轴过截面形心中性轴过截面形心中性层的曲率公式：中性层的曲率公式：正应力计算公式：正应力计算公式：横截面上的最大正应力横截面上的最大正应力：tZM yI1yyy12maxCL8TU4当中性轴是横截面的对称轴时：当中性轴是横截面的对称轴时：,cZM yI2tcmaxMWZmaxmaxM yIZWz 称

5、为抗弯截面模量称为抗弯截面模量WIyzzmaxCL8TU5IbhZ312IdZ464IDdDZ()()444464641CL8TU6,WbhZ26,WdZ332WDZ34321 ()8-3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力 正应力强度计算正应力强度计算 上式是在上式是在和和的基础上推的基础上推导的，实验证明在纯弯曲情况下这是正确的。导的，实验证明在纯弯曲情况下这是正确的。 对于横力弯曲，由于剪力的存在，横截面产生对于横力弯曲，由于剪力的存在，横截面产生剪切变形，使横截面发生翘曲，不再保持为平剪切变形，使横截面发生翘曲，不再保持为平面。面。M yIz 弹性力学精确分析结果指出：当梁的跨度大于

6、弹性力学精确分析结果指出：当梁的跨度大于梁的横截面高度梁的横截面高度5倍倍(即即l5h)时，剪应力和挤时，剪应力和挤压应力对弯曲正应力的影响甚小，可以忽略不压应力对弯曲正应力的影响甚小，可以忽略不计。因此由纯弯曲梁导出的正应力计算公式，计。因此由纯弯曲梁导出的正应力计算公式，仍可以应用于横力弯曲的梁中。仍可以应用于横力弯曲的梁中。二、梁的正应力强度条件二、梁的正应力强度条件利用上式可以进行三方面的强度计算：利用上式可以进行三方面的强度计算：已知外力、截面形状尺寸、许用应力，校核已知外力、截面形状尺寸、许用应力，校核梁的强度梁的强度已知外力、截面形状、许用应力，设计梁的已知外力、截面形状、许用应

7、力，设计梁的截面尺寸截面尺寸已知截面形状尺寸、许用应力，求许可载荷已知截面形状尺寸、许用应力，求许可载荷maxmax MWZ 例：两矩形截面梁，尺寸和材料的许用应力均例：两矩形截面梁，尺寸和材料的许用应力均相等，但放置如图相等，但放置如图(a)、(b)。按弯曲正应力强度。按弯曲正应力强度条件确定两者许可载荷之比条件确定两者许可载荷之比 P1P2？CL8TU7l解：解：maxmax111126MWPlbhzmaxmax222226MWP lhbz由得maxmax :12PPhb12 例：例： 矩形截面梁当横截面的高度增加一倍，矩形截面梁当横截面的高度增加一倍，宽度减小一半时，从正应力强度条件考虑

8、，该宽度减小一半时，从正应力强度条件考虑，该梁的承载能力将是原来的多少倍？梁的承载能力将是原来的多少倍？解：解： 由公式由公式maxmaxmaxMWMbhz26可以看出，可以看出， 该梁的承载能力将是原来的该梁的承载能力将是原来的 2 倍。倍。 例：主梁例：主梁AB，跨度为，跨度为l，采用加副梁，采用加副梁CD的方的方法提高承载能力，若主梁和副梁材料相同，截面法提高承载能力，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，则副梁的最佳长度尺寸相同，则副梁的最佳长度a为多少？为多少？CL8TU8a2a2l2l2PABCD解：解：主梁主梁AB的最大弯矩的最大弯矩PlaPa44()副梁副梁CD的最大弯矩的最大弯

9、矩MPaCDmax4由由MMABCDmaxmax即即得得al2MPlaABmax()4 例：图示梁的截面为例：图示梁的截面为T形，材料的许用拉应形，材料的许用拉应力和许用压应力分别为力和许用压应力分别为t和和c，则，则 y1 和和 y2 的最佳比值为多少？（为截面形心）的最佳比值为多少？（为截面形心） CL8TU9PCy1y2z解：解：( )( )1212得：yytctztMyImax1czcMyImax2( ) 1( )2 例：图示外伸梁，受均布载荷作用，材料的例：图示外伸梁，受均布载荷作用，材料的许用应力许用应力=160MPa，校核该梁的强度。，校核该梁的强度。 CL8TU1010kN /

10、 m2m4m100200解：由弯矩图可见解：由弯矩图可见Mmax20kN m10kN / m2m4m10020045kN15kNQ()kN202515M()kN m201125.tzMWmax20100102632. 30MPa 该梁满足强度条件，安全该梁满足强度条件，安全 例：图示三种截面梁，材质、截面内例：图示三种截面梁，材质、截面内max、max全相同，求三梁的重量比。并指出哪种截面全相同，求三梁的重量比。并指出哪种截面最经济。最经济。CL8TU11A1A2A32bbaad解：由题意可知解：由题意可知WWWzzz123A1A2A32bbaad即即bbad()26632233AAA123:

11、24222bad:bada063001193. 0794 1 112.: : . 例：图示铸铁梁，许用拉应力例：图示铸铁梁，许用拉应力t =30MPa，许用压应力许用压应力c =60MPa,z=7.6310-6m4，试，试校核此梁的强度。校核此梁的强度。CL8TU129kN4kNCz52881m1m1mABCDtzI2588.9kN4kNCz52881m1m1mM(kN m)25 . kN105 . kN25 .4ABCDczI2552.tzI452czI488C截面：截面：B截面：截面： 288 . MPa 170 . MPa 273 . MPa 461 . MPa 例：简支梁例：简支梁AB

12、，在截面下边缘贴一应变，在截面下边缘贴一应变片，测得其应变片，测得其应变= 610-4，材料的弹性模量，材料的弹性模量 E=200GPa，求载荷，求载荷P的大小。的大小。CL8TU1304 . m05 . m1mPABCD4020解：解：04 . m05 . m1mPABCD4020C点的应力点的应力CE2001061034 120MPaC截面的弯矩截面的弯矩MWCCzMRCA 05 .由由得得P 32 . kN0504. P 02 . P640N m640N m 例：简支梁受均布荷载，在其截面的下例：简支梁受均布荷载，在其截面的下边缘贴一应变片，已知材料的边缘贴一应变片，已知材料的E=200

13、GPa，试，试问该应变片所测得的应变值应为多大？问该应变片所测得的应变值应为多大？CL8TU14q 40kN / m15 . mABC20030015 . mq 40kN / m15 . mABC20030015 . m解：解：C截面下边缘的应力截面下边缘的应力CCzMWC截面的弯矩截面的弯矩MqlC2845kN mCE应变值应变值15MPa1510200106975105. 例：图示木梁，已知下边缘纵向总伸长为例：图示木梁，已知下边缘纵向总伸长为 10 mm，E=10GPa，求载荷，求载荷P的大小。的大小。CL8TU15P2mABC2003002mP2mABC2003002m解：解：AClxx( ) d0/2xdx( )xExld0/2M xW Exzl( )d0/2PxW Exzl2d0/2PlW Ez216PW ElzAC162 164020361051022103. 150kN 例：我国营造法中，对矩形截面梁给出的尺