Chap连续随机变量及分布函数n

1、 概率论与数理统计概率论与数理统计连续型随机变量连续型随机变量北京工业大学应用数理学院北京工业大学应用数理学院 连续型随机变量连续型随机变量 X 所有可能取值充满若所有可能取值充满若干个区间。对这种随机变量，不能象离散型干个区间。对这种随机变量，不能象离散型随机变量那样随机变量那样, 指出其取各个值的概率，指出其取各个值的概率， 给给出概率分布。而是用出概率分布。而是用“概率密度函数概率密度函数”表示表示随机变量的概率分布。随机变量的概率分布。2.3 连续型随机变量连续型随机变量例例1：某工厂生产一种零件，由于生产过程中各某工厂生产一种零件，由于生产过程中各种随机因素的影响，零件长度不尽相同。

2、现测种随机因素的影响，零件长度不尽相同。现测得该厂生产的得该厂生产的100个零件长度个零件长度(单位单位: mm)如下如下:2.3.1 频率直方图频率直方图129, 132, 136, 145, 140, 145, 147, 142, 138, 144, 147, 142, 137, 144, 144, 134, 149, 142, 137, 137, 155, 128, 143, 144, 148, 139, 143, 142, 135, 142,148, 137, 142, 144, 141, 149, 132, 134, 145, 132, 140, 142, 130, 145, 148

3、, 143, 148, 135, 136, 152, 141, 146, 138, 131, 138, 136, 144, 142, 142, 137,141, 134, 142, 133, 153, 143, 145, 140, 137, 142, 150, 141, 139, 139, 150, 139, 137, 139, 140, 143, 149, 136, 142, 134, 146, 145, 130, 136, 140, 134,142, 142, 135, 131, 136, 139, 137, 144, 141, 136.这100个数据中，最小值是128，最大值是155。1

4、28155作密度直方图的步骤作密度直方图的步骤(1). 先确定作图区间先确定作图区间 a, b ;a = 最小数据最小数据- -/ 2，b = 最大数据最大数据+/ 2， 是数据的精度。是数据的精度。本例中本例中 = 1, a = 127.5, b = 155.5 。(2). 确定数据分组数确定数据分组数 m = 1.87(n1)2/5 + 1， 组距组距 d = (b a) / m， 子区间端点子区间端点 ti = a + i d, i = 0, 1, , m；(3). 计算落入各子区间内观测值频数计算落入各子区间内观测值频数 ni = # xj ti1, ti)， j = 1, 2, ,

5、n， 频率频率 fi = ni / n， i = 1, 2, , m；子区间子区间频数频数频率频率127.5, 131.5)127.5, 131.5)6 60.060.06131.5, 135.5)131.5, 135.5)12120.120.12135.5, 139.5)135.5, 139.5)24240.240.24139.5, 143.5)139.5, 143.5)28280.280.28143.5, 147.5)143.5, 147.5)18180.180.18147.5, 151.5)147.5, 151.5)8 80.080.08151.5, 155.5)151.5, 155.5

6、)4 40.040.04(4). (4). 以小区间以小区间 ti-1，ti 为底，为底，yi=fi / d ( i=1, 2, , m) 为高作一系列小矩形，组成了频为高作一系列小矩形，组成了频 率直方图，简称直方图。率直方图，简称直方图。 由于概率可以由频率近似，由于概率可以由频率近似， 因此这个直因此这个直方图可近似地刻画零件长度的概率分布情况。方图可近似地刻画零件长度的概率分布情况。 用上述直方图刻画随机变量用上述直方图刻画随机变量X的概率分布的概率分布情况是比较粗糙的。为更加准确地刻画情况是比较粗糙的。为更加准确地刻画X的概的概率分布情况，应适当增加观测数据的个数率分布情况，应适当增

7、加观测数据的个数, 同同时将数据分得更细一些。当数据越来越多时将数据分得更细一些。当数据越来越多, 分分组越来越细时组越来越细时, 直方图的上方外形轮廓就越来直方图的上方外形轮廓就越来越接近于某一条曲线越接近于某一条曲线, 这条曲线称为这条曲线称为随机变量随机变量X的概率密度曲线的概率密度曲线，可用来准确地刻画可用来准确地刻画X的概的概率分布情况。率分布情况。2.3. 2 概率密度函数概率密度函数 定义定义1：若存在非负可积函数若存在非负可积函数 f(x), 使随机使随机变量变量X取值于任一区间取值于任一区间 (a, b 的概率可表示成的概率可表示成(1) , )()( badxxfbXaP则

8、称则称 X为连续型随机变量，为连续型随机变量， f(x)为为 X 的概率密的概率密度函数，简称度函数，简称概率密度概率密度或或密度密度。这两条性质是判定函数这两条性质是判定函数 f(x) 是否为某随机变量是否为某随机变量 X 的概率密度函数的充的概率密度函数的充要条件。要条件。密度函数的性质密度函数的性质； 0)( ).1 (xf； 1 )( ).2 (dxxff(x)与与 x 轴所围轴所围 面积等于面积等于1。 若若x是是 f(x)的连续点，则的连续点，则xxxXxPx)(lim0 x)(lim0 xxxxdttf=f(x)，(3). 对对 f(x)的进一步理解：的进一步理解：故故, X的概

9、率密度函数的概率密度函数f(x)在在 x 这一点的值这一点的值, 恰恰好是好是X 落在区间落在区间 x , x +x上的概率与区间长上的概率与区间长度度x 之比的极限。之比的极限。 这里这里, 如果把概率理解为如果把概率理解为质量，质量，f (x)相当于物理学中的线密度。相当于物理学中的线密度。需要注意的是：需要注意的是：概率密度函数概率密度函数 f (x)在点在点 a 处处取值，不是事件取值，不是事件 X =a 的概率。但是，该值的概率。但是，该值越大，越大，X 在在 a 点附近取值的概率越大。点附近取值的概率越大。若不计高阶无穷小，有：若不计高阶无穷小，有：. )(xxfxxXxP表示随机

10、变量表示随机变量 X 取值于取值于(x , x + x上的概率上的概率近似等于近似等于 f (x ) x 。 f (x ) x 在连续型随机变量中所起的作用在连续型随机变量中所起的作用与与 pk=PX=xk 在离散型随机变量中所起的作在离散型随机变量中所起的作用类似。用类似。(4). 连续型随机变量取任意指定值的概率为连续型随机变量取任意指定值的概率为 0.即：即：, 0)(aXPa为任意给定值。为任意给定值。这是因为：这是因为：0()lim()xP XaP axXa 0lim( )0.aaxxf x dx 由此得由此得， 对连续型对连续型 随机变量随机变量 X, 有有)()(bXaPbXaP

11、)(bXaP).(bXaP 由由P(X=a)=0， 可推出可推出 .1)()()(aXPdxxfaRXP而而 X=a 并非不可能事件并非不可能事件,可见：可见：由由P(A)=0, 不能推出不能推出 A=；并非必然事件。并非必然事件。aRX由由 P(B)=1, 不能推出不能推出 B=。(5). 设设A为一个数集，则为一个数集，则()( )AP XAf x dx2.3.3 常见的连续型随机变量常见的连续型随机变量正态分布、均匀分布、指数分布正态分布、均匀分布、指数分布 正态分布是应用最广泛正态分布是应用最广泛的一种连续型分布。的一种连续型分布。 正态分布是十九世纪初，由高斯正态分布是十九世纪初，由

12、高斯(Gauss)(Gauss)给出并推广的一种分布。故，也称给出并推广的一种分布。故，也称高斯分布高斯分布。1. 正态分布正态分布这条红色曲线近似我们将要介绍的这条红色曲线近似我们将要介绍的正态分布正态分布的概率密度曲线。的概率密度曲线。I. 正态分布的定义正态分布的定义 定义：定义：若随机变量若随机变量 X 的的概率密度函数为概率密度函数为),(2NX记作记作 f (x)所确定的曲线叫作所确定的曲线叫作正态曲线正态曲线。xexfx,)()(22221 (Normal)其中其中和和都是常数，都是常数，任意，任意，0，则称，则称X服从参数为服从参数为和和的正态分布。的正态分布。II. 正态分布

13、正态分布 的图形特点的图形特点),(2N特点特点“两头低，中间高，左右对称两头低，中间高，左右对称”。 正态分布的密度曲线是一条关于正态分布的密度曲线是一条关于X= =对对称的称的钟形曲线钟形曲线。 正态分布正态分布 的图形特点的图形特点),(2N 决决定了定了图图形的中心位置形的中心位置, 决定了图形决定了图形峰的陡峭程度。峰的陡峭程度。故故 f(x) 以以 x = =为对称轴，并在为对称轴，并在 x=处达到最处达到最大值大值: :xexfx,)()(22221 令令x1=+ +c, x2=- -c (c0), 分别代入分别代入 f (x), 得得f (x1) = f (x2)，且且 f (

14、+ +c) f ()， f (- -c) f (). 21)(f这说明：曲线这说明：曲线 f(x) 向左右伸展时，越来越贴向左右伸展时，越来越贴近近 x 轴。即轴。即 f (x) 以以 x 轴为渐近线。轴为渐近线。 xexfx,)()(22221 当当 x 时，时，f(x) 0。用求导的方法可以证明：用求导的方法可以证明：xexfx,)()(22221 为为f (x)的两个拐点的横坐标。的两个拐点的横坐标。x = . ,21)(222)(xdtexFxtIII. 正态分布正态分布 的分布函数的分布函数),(2NIV. 标准正态分布标准正态分布. d21)( 21)(2/2/22texxexxt

15、x， 称称 N(0, 1) 为标准正态分布，其为标准正态分布，其密度函数密度函数和分布函数常分别用和分布函数常分别用 来来表示。表示。)( )(xx和和它的依据是下面的定理：它的依据是下面的定理： 标准正态分布的重要性在于，标准正态分布的重要性在于，任何一个任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布。标准正态分布。 根据定理根据定理1,1,只要将标准正态分布的分布只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题。率计算问题。. ) 1 , 0() ( 2NXYNX，则，设定理定理

16、1： 书末附有标准正态分书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的可以解决一般正态分布的概率计算问题。概率计算问题。V. 正态分布表正态分布表. )(1)( 0 xxx时时，当当. d21)(2/2texxt表中给出的是表中给出的是 x 0时，时，(x)的取值的取值;xx若若 XN(0, 1),bXaPbXaP； )()(abbXaPbXaP. ab，若若) ( 2NX服从服从N(0,1)36原则与管理例例1：假设某地区成年男性的身高假设某地区成年男性的身高( (单位单位: cm) : cm) XN( (170,7.,7.692), ), 求该地区成年

17、男性的身高求该地区成年男性的身高超过超过 175cm175cm 的概率。的概率。 解解: : 根据假设根据假设 XN( (170 ,7.,7.692) )，知，知， ) 1 0(69. 7170NX 事件事件 X 175 的概率为的概率为1751175XPXP.2578.0 )65.0(169.71701751解解: : 设车门高度为设车门高度为 h ，按设计要求按设计要求P(X h)0.01，或或 P(X h) 0.99，下面我们来求满足上式的最小的下面我们来求满足上式的最小的 h。例例2 2：公共汽车车门的高度是按成年男性与车公共汽车车门的高度是按成年男性与车门顶头碰头机会在门顶头碰头机会

18、在0.01以下来设计的。以下来设计的。设某地设某地区成年男性身高区成年男性身高 (单位单位: cm) XN(170, 7.692),问车门高度应如何确定问车门高度应如何确定? ?因为因为XN( (170,7.,7.692),),， ) 1 0(69. 7170NX ，故故99. 0 69. 7170 69. 717069. 7170X hhPhXP求满足求满足 P(X h) 0.99 的最小的最小 h。，）得得查查表表，99. 0 9901. 02.33( .88. 1 33. 269. 7170 hh即即，所所以以，故，当汽车门高度为故，当汽车门高度为188厘米时，可使男子与厘米时，可使男子

19、与车门碰头机会不超过车门碰头机会不超过0.01。若若随机变量随机变量 X 的概率密度为：的概率密度为：则称则称 X 服从区间服从区间 a, b 上的均匀分布，记作：上的均匀分布，记作：X Ua, b. , 0, ,1)(其其他他bxaabxf2. 均匀分布均匀分布 (Uniform)(注注: 有时也记作有时也记作 X U(a, b) )。. d )( abcdxxfdXcPdc若若X Ua, b，则对于满足，则对于满足 acdb 的的c 和和 d，总有，总有背景：公共汽车的到站时间、四舍五入的舍入背景：公共汽车的到站时间、四舍五入的舍入误差误差. 指数分布常用于可靠性统计研究中，如指数分布常用

20、于可靠性统计研究中，如元件的寿命服从指数分布。放射性物质相邻元件的寿命服从指数分布。放射性物质相邻两个粒子的时间间隔等两个粒子的时间间隔等 定义：定义：若随机变量若随机变量 X 具有概率具有概率密度密度3. 指数分布指数分布0)( . 0 , 0 , 0 , )(xxexfx则称则称 X 服从参数为服从参数为 的指数分布，记成的指数分布，记成 X E()。例例3：设某电子管的使用寿命设某电子管的使用寿命X(单位：小时单位：小时)服从参数服从参数=0.0002的指数分布，求的指数分布，求电子管使电子管使用寿命超过用寿命超过3000小时的概率。小时的概率。. 5488.0 0002.0 )(300

21、0 6 .0 3000 0002.0 3000 edxedxxfXPx解：解：2.3.4 随机变量的分布函数随机变量的分布函数 定义定义2: 设设 X( ) 是一个随机变量，称函数是一个随机变量，称函数 F(x) = PXx, - - x 为随机变量为随机变量 X 的分布函数的分布函数。分布函数的性质分布函数的性质(1).(1). a b, ,总有总有F( (a)F( (b)()(单调非减性单调非减性) )；(2).(2).F( (x) )是一个右连续函数；是一个右连续函数；(3).(3). x R，总有，总有00F( (x)1()1(有界性有界性) )，且，且。， 1)(lim 0)(lim

22、xFxFxx. )()(lim ),()(limFxFFxFxx为为常记证明：证明：仅证仅证 (1)。因因 aa = Xb - - Xa，而而 Xa Xb，所以，所以 PaXb = PXb - - PXa = F(b) - - F(a) .又又，因，因 PaXb0， 故故 F(a)F(b) .注意：注意：上述证明中我们得到一个重要公式上述证明中我们得到一个重要公式: : P aXb=F(b)- -F(a).它表明随机变量落在区间它表明随机变量落在区间( (a, ,b 上的概率可上的概率可以通过分布函数来计算。以通过分布函数来计算。 设离散型随机变量设离散型随机变量X 的概率分布为的概率分布为 pk = P X=xk , k=1,2, X 的分布函数为的分布函数为离散型随机变量的分布函数离散型随机变量的分布函数xxkkxXPxXPxF)(. xxkxxkkkpxXP离散型随机变量的离散型随机变量的分布函数分布函数 F(x) 是一个右连是一个右连续的函数，