第2章 机电系统的数学模型(201409peng)

1、机电工程学院机电工程学院机械类专业技术基础课20201414年年9 9月月机电系统控制基础机电系统控制基础主讲人：彭高亮主讲人：彭高亮哈尔滨工业大学 机电工程学院第第7 7章章 机电控制系统的设计与校正机电控制系统的设计与校正第第1 1章章 绪绪 论论第第3 3章章 系统的时域分析系统的时域分析第第2 2章章 系统的数学模型系统的数学模型第第4 4章章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析第第6 6章章 机电控制系统的误差分析和计算机电控制系统的误差分析和计算第第8 8章章 计算机控制系统计算机控制系统课程简介第第5 5章章 机电控制系统的稳定性分析机电控制系统的稳定性分析哈尔滨工业大学 机电

2、工程学院第2章 系统的数学模型教学内容哈尔滨工业大学 机电工程学院教学内容哈尔滨工业大学 机电工程学院教学内容哈尔滨工业大学 机电工程学院 为什么要建立系统的数学模型？ 什么是数学模型？ 如何建立数学模型（建模方法）？2.1 控制系统数学模型的概念 哈尔滨工业大学 机电工程学院研究与分析一个系统，首先要定性地了解系统的工作原理及其特性。但是，如果想对系统进行控制，或系统在运行过程中出现故障，或者要进一步改善系统的性能，那么，仅仅了解工作原理和特性是完全不够的。我们还要定量地描述系统的动态性能，揭示系统的结构、参数与动态性能之间的关系。这就需要建立系统的数学模型。为什么建立系统的数学模型为什么建

3、立系统的数学模型Why？对系统的对系统的定性定性认识上升到认识上升到定量定量的精确分析与设计的需要。的精确分析与设计的需要。2.1 控制系统数学模型的概念 哈尔滨工业大学 机电工程学院什么是数学模型什么是数学模型What？ 系统的数学模型是系统动态特性的数学描述。描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在的关系。对于同一系统，可以建立多种形式的数学模型：l 微分方程l 传递函数l 时间响应函数l 频率特性l 状态空间模型l 。2.1 控制系统数学模型的概念 哈尔滨工业大学 机电工程学院数学模型数学模型微分方程传递函数频率特性时域复数域频域

4、时间响应Bode图Nyquist图2.1 控制系统数学模型的概念 哈尔滨工业大学 机电工程学院分析法：分析法：根据系统和元件所遵循的定律推导数学表达式。根据系统和元件所遵循的定律推导数学表达式。实验法：实验法：人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，通过数据整理拟合出比较接近实际系统的数学表达式。应，通过数据整理拟合出比较接近实际系统的数学表达式。物理模型物理模型 VS. 数学模型数学模型任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简化后的元件或系统为该元件或系统的物理模型物理模型。如何建立数学模型（建模

5、方法）（如何建立数学模型（建模方法）（How）例如：牛顿运动定律、欧姆定律、克希霍夫定律；虎克定律；流体力学。2.1 控制系统数学模型的概念 哈尔滨工业大学 机电工程学院2.2 系统的微分方程系统的微分方程哈尔滨工业大学 机电工程学院一、系统的微分方程概念一、系统的微分方程概念微分方程：微分方程：在时域中描述系统（或元件）动态在时域中描述系统（或元件）动态特性的数学模型。特性的数学模型。利用微分方程可求得其他形式的数学模型，因此是利用微分方程可求得其他形式的数学模型，因此是最基本的数学模型最基本的数学模型。2.2.1 系统微分方程的建立步骤通常基于经典物理学定律而建立，同一个微分方程通常基于经

6、典物理学定律而建立，同一个微分方程可以表述具有相同输入可以表述具有相同输入- -输出关系的机械、电气、输出关系的机械、电气、液压、热力等不同系统。液压、热力等不同系统。哈尔滨工业大学 机电工程学院a) 建立物理模型物理模型（包括力学模型、电学模型、液压模型等），确定系统或元件的输入量和输出量；b) 按照信号的传递顺序，根据各元件或环节所遵循的有关定律建立各元件或环节的微分方程建立各元件或环节的微分方程；c) 消去中间变量消去中间变量，得到描述系统输入量和输出量之间关系的微分方程；d) 整理为标准式整理为标准式，将与输出量有关的各项放在方程的左侧，与输入量有关的各项放在方程的右侧，各阶导数项按降

7、幂排列。 2.2.1 系统微分方程的建立步骤哈尔滨工业大学 机电工程学院对线性定常系统，其微分方程的一般形式如下：对线性定常系统，其微分方程的一般形式如下：1110111101( )( ).( )( )( )( ).( )( )nnnonooonnmmmimiiimmdddax tax tax ta x tdtdtdtdddbx tbx tbx tb x tdtdtdt2.2.1 系统微分方程的建立步骤式中，xo(t)为系统输出量，xi(t)为系统输入量；哈尔滨工业大学 机电工程学院A机械系统的数学模型通常都可以用牛顿定律牛顿定律来建立。A机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可以用质量质量、

8、 弹簧弹簧和阻尼阻尼三个要素来描述。A惯性和刚度较大的构件可以忽略其弹性，简化为质量块； 惯性小，柔度大的构件可以简化为弹簧。A质量质量弹簧弹簧阻尼系统阻尼系统是常见的对机械系统的抽象。2.2.2 机械系统的微分方程哈尔滨工业大学 机电工程学院15补充：阻尼基本概念永动机是不可能的：永动机是不可能的：如果没有从外界不断补充能量，任何振动如果没有从外界不断补充能量，任何振动系统都将逐渐衰减，并最终趋于静止。系统都将逐渐衰减，并最终趋于静止。这种现象说明，在运动过程中，体系的总机械能不断在散失，这种现象说明，在运动过程中，体系的总机械能不断在散失，不断在被别的某种系统所吸收。不断在被别的某种系统所

9、吸收。这种吸收振动体系机械能并使这种吸收振动体系机械能并使之耗散的系统称为阻尼系统之耗散的系统称为阻尼系统。阻尼阻尼阻尼（英语：阻尼（英语：damping）是指任何是指任何振动系统振动系统在振动中，由于在振动中，由于外界作用或系统本身固有的原因引起的振动幅度逐渐下降外界作用或系统本身固有的原因引起的振动幅度逐渐下降的特性，以及此一特性的量化表征。的特性，以及此一特性的量化表征。 在电学中，是在电学中，是响应时间响应时间的意思。的意思。哈尔滨工业大学 机电工程学院16在机械物理学中，系统的能量的减小在机械物理学中，系统的能量的减小阻尼振动不都是因阻尼振动不都是因“阻阻力力”引起的，就机械振动而言

10、，一种是因摩擦阻力生热，使系统引起的，就机械振动而言，一种是因摩擦阻力生热，使系统的机械能减小，转化为内能，这种阻尼叫的机械能减小，转化为内能，这种阻尼叫摩擦阻尼摩擦阻尼；另一种是系；另一种是系统引起周围质点的震动，使系统的能量逐渐向四周辐射出去，变统引起周围质点的震动，使系统的能量逐渐向四周辐射出去，变为波的能量，这种阻尼叫为波的能量，这种阻尼叫辐射阻尼辐射阻尼。在机械系统中，在机械系统中，阻尼阻尼是指阻碍物体的相对运动、并把运动能量转是指阻碍物体的相对运动、并把运动能量转化为热能或其他可以耗散能量的一种作用。化为热能或其他可以耗散能量的一种作用。补充：阻尼基本概念哈尔滨工业大学 机电工程学

11、院17补充：阻尼基本概念物体在运动中所受到的阻力物体在运动中所受到的阻力F的产生原因非常复杂，通常可分为的产生原因非常复杂，通常可分为四类：四类： 阻力的分类和各自的性质阻力的分类和各自的性质哈尔滨工业大学 机电工程学院18补充：阻尼基本概念cvF摩擦力产生的原因很复杂，可以认为当接触面很粗糙时，摩擦摩擦力产生的原因很复杂，可以认为当接触面很粗糙时，摩擦力主要由凸凹不平的接触面在相互阻碍运动而产生的；当接触力主要由凸凹不平的接触面在相互阻碍运动而产生的；当接触面光滑时，主要是物体间的分子力产生的摩擦力。因后者能解面光滑时，主要是物体间的分子力产生的摩擦力。因后者能解释释 与材料的关系，所以更有

12、说服力。与材料的关系，所以更有说服力。哈尔滨工业大学 机电工程学院19补充：阻尼基本概念哈尔滨工业大学 机电工程学院20补充：阻尼基本概念阻力的数学表达式阻力的数学表达式哈尔滨工业大学 机电工程学院21补充：阻尼基本概念f(v)f(v)的不同形式的不同形式哈尔滨工业大学 机电工程学院22补充：阻尼基本概念在机械系统中，在机械系统中，线性粘性阻尼是最常用的一种阻尼模型线性粘性阻尼是最常用的一种阻尼模型。阻尼。阻尼力力F的大小与运动质点的速度的大小成正比，方向相反，记作的大小与运动质点的速度的大小成正比，方向相反，记作F=-cv，c为为粘性阻尼系数粘性阻尼系数，其数值由，其数值由振动试验振动试验确

13、定。确定。由于线性系统数学求解简单，在工程上常将其他形式的阻尼按由于线性系统数学求解简单，在工程上常将其他形式的阻尼按照它们在一个周期内照它们在一个周期内能量损耗相等的原则能量损耗相等的原则，折算成，折算成等效粘性阻等效粘性阻尼尼。物体的运动随着系统阻尼系数的大小而改变。物体的运动随着系统阻尼系数的大小而改变。在某些情况下，粘性阻尼并不能充分反映机械系统中能量耗散在某些情况下，粘性阻尼并不能充分反映机械系统中能量耗散的实际情况。因此，在研究机械振动时，还建立有的实际情况。因此，在研究机械振动时，还建立有迟滞阻尼迟滞阻尼、比例阻尼比例阻尼和和非线性阻尼非线性阻尼等模型。等模型。哈尔滨工业大学 机

14、电工程学院23补充：刚度的基本概念刚度是指刚度是指材料在受力时抵抗弹性变形的能力材料在受力时抵抗弹性变形的能力。是材料弹性变形。是材料弹性变形难易程度的一个象征。材料的刚度通常用弹性模量难易程度的一个象征。材料的刚度通常用弹性模量E来衡量来衡量 。在弹性范围内，刚度是零件荷载与位移成正比的比例系数，即在弹性范围内，刚度是零件荷载与位移成正比的比例系数，即引起单位位移所需的力。它的倒数称为柔度，即单位力引起的引起单位位移所需的力。它的倒数称为柔度，即单位力引起的位移。刚度可分为位移。刚度可分为静刚度静刚度和和动刚度动刚度。构件变形常影响构件的工作，例如齿轮轴的过度变形会影响齿构件变形常影响构件的

15、工作，例如齿轮轴的过度变形会影响齿轮啮合状况，机床变形过大会降低加工精度等。影响刚度的因轮啮合状况，机床变形过大会降低加工精度等。影响刚度的因素是材料的弹性模量和结构形式，改变结构形式对刚度有显著素是材料的弹性模量和结构形式，改变结构形式对刚度有显著影响。影响。刚度计算是振动理论和结构稳定性分析的基础刚度计算是振动理论和结构稳定性分析的基础。在质量。在质量不变的情况下，刚度大则固有频率高。静不定结构的应力分布不变的情况下，刚度大则固有频率高。静不定结构的应力分布与各部分的刚度比例有关。在断裂力学分析中，含裂纹构件的与各部分的刚度比例有关。在断裂力学分析中，含裂纹构件的应力强度因子可根据柔度求得

16、。应力强度因子可根据柔度求得。哈尔滨工业大学 机电工程学院24补充：刚度的基本概念一个机构的刚度（一个机构的刚度（k）是指弹性体抵抗变形（弯曲、拉伸、压缩）是指弹性体抵抗变形（弯曲、拉伸、压缩等）的能力。计算公式：等）的能力。计算公式：刚度的计算刚度的计算轴向刚度轴向刚度: k=F/ 其中，F为施加的力，L为是由于力而产生的形变。转动刚度转动刚度: k=M/ 其中，M为施加的力矩，为旋转角度。哈尔滨工业大学 机电工程学院考虑如图所示的质量弹簧系统，考虑如图所示的质量弹簧系统，滑道表面与质量块之间的摩擦滑道表面与质量块之间的摩擦力设为粘性阻尼模型，试分析力设为粘性阻尼模型，试分析在外力在外力f(

17、t)作用下，质量块位移作用下，质量块位移y的变化规律。的变化规律。质量质量弹簧弹簧阻尼系统阻尼系统2.2.2 机械系统的微分方程DkDykyyy.mmf(t)f(t)哈尔滨工业大学 机电工程学院质量质量弹簧弹簧阻尼系统各部分基本物理规律：阻尼系统各部分基本物理规律： 质量（块）质量（块）由牛顿运动定律：由牛顿运动定律：2.2.2 机械系统的微分方程哈尔滨工业大学 机电工程学院 弹簧弹簧由胡克定律：由胡克定律：2.2.2 机械系统的微分方程哈尔滨工业大学 机电工程学院 粘性阻尼（液压、气压活塞推杆）粘性阻尼（液压、气压活塞推杆）2.2.2 机械系统的微分方程哈尔滨工业大学 机电工程学院 以弹簧平

18、衡时系统的位置为初始平衡点，由牛顿第二定律牛顿第二定律建立力平衡方程：22( )( )( )( )dy tdy tmf tDky tdtdt22( )( )( )( )dy tdy tmDky tf tdtdt2.2.2 机械系统的微分方程f(t)包含重力mg哈尔滨工业大学 机电工程学院图为组合机床动力滑台铣平面时的情况，当切削力f(t)变化时，滑台可能产生振动，从而降低被加工工件的表面质量和精度。试建立切削力f(t)与滑台质量块位移y(t)之间的动力学模型。一、机械平动系统一、机械平动系统2.2.2 机械系统的微分方程k刚度系数；D粘滞阻尼系数；铣刀哈尔滨工业大学 机电工程学院解：首先将动力

19、滑台连同铣刀抽象成质量弹簧阻尼系统的力学模型。根据牛顿第二定律 将输出变量项写在等号的左边，将输入变量项写在等号的右边，并将各阶导数项按降幂排列，得 22d ( )d( )( )( )ddy ty tf tDky tmtt22d( )d ( )( )( )ddy ty tmDky tf ttt2.2.2 机械系统的微分方程哈尔滨工业大学 机电工程学院二、机械转动系统二、机械转动系统如图(a)示定轴转动系统，旋转体的转动惯量等效为J，转动轴所受的摩擦设为粘性摩擦，阻尼系数为D，转动轴连接刚度为k，等效模型如图(b)所示。若驱动力矩为T，则根据转矩平衡方程，有：22=ddJDkTdtdt2.2.2

20、 机械系统的微分方程哈尔滨工业大学 机电工程学院2.2.2 机械系统的微分方程三、三、“平动平动- -转动系统转动系统”间基本物理量的折算间基本物理量的折算 图(a)为丝杠螺母传动机构，(b)为齿轮齿条传动机构，(c)为同步齿形带传动机构，求三种传动方式下，负载m折算到驱动电机轴上的等效转动惯量J。实例实例:电机驱动进给装置哈尔滨工业大学 机电工程学院电机驱动进给装置等效系统电机驱动进给装置等效系统J电动机等效转动惯量按等功原理，工作台等直线运动部件质量m的等效转动惯量为：22LmJL丝杠螺距，即丝杠每转一周工作台移动的直线距离。2.2.2 机械系统的微分方程工作台m丝杠L电动机（a）丝杠螺母

21、传动丝杠螺母传动哈尔滨工业大学 机电工程学院Lv2 22LLLLL22mdddTtmm2 dt22dt2dt LdvTt2mLdt2.2.2 机械系统的微分方程哈尔滨工业大学 机电工程学院2.2.2 机械系统的微分方程解：对图2-4(b)和(c)所示的情况，设齿轮或皮带轮的分度圆半径为r，负载m可以看作一个质点绕齿轮或带轮转动，则负载折算到电机轴上的等效转动惯量为2mrJ 哈尔滨工业大学 机电工程学院四、齿轮传动系统中基本物理量的折算四、齿轮传动系统中基本物理量的折算z1，r1T1 1T2 2z2, r2假设齿轮传动中无功率损耗，且忽略齿轮转动惯量、啮合间隙与变形，则：2121121221rr

22、zzTTT1、T2：转矩 1、 2：角位移 1、 2：角速度z1、 z2：齿数r1、 r2：齿轮分度圆半径2.2.2 机械系统的微分方程哈尔滨工业大学 机电工程学院2.2.2 机械系统的微分方程试求该系统输入力矩试求该系统输入力矩 M(t) 与轴与轴2转角转角 之间的微分方程。之间的微分方程。2( ) t哈尔滨工业大学 机电工程学院在忽略传动摩擦的情况下，分别针对两个转动轴列写力矩平衡方程，有： 21111122222222fzddJMcMdtdtddJMcMdtdt2221112122211222121212()()/,fzfzddJi Jci ciMdtdtddJCiMMdtdtizzJJ

23、i JCci c2.2.2 机械系统1221121122MzriMzr哈尔滨工业大学 机电工程学院对于多级齿轮传动，同理可推得折算到输入轴上的等效转动惯对于多级齿轮传动，同理可推得折算到输入轴上的等效转动惯量与粘性阻尼为：量与粘性阻尼为：机械系统中，齿轮传动多用于减速和增大力矩，故一般传动比小于1，于是多级齿轮传动中，后级齿轮及负载的转动惯量和粘性摩擦往往可以忽略不计。 .324322122211JzzzzJzzJJ.324322122211CzzzzCzzCC2.2.2 机械系统哈尔滨工业大学 机电工程学院实例：机床进给传动链实例：机床进给传动链2.2.2 机械系统的微分方程i输入为轴I转角

24、i，输出为滑块位移xo，试求该系统的微分方程。z4z2z3z1哈尔滨工业大学 机电工程学院2.2.2 机械系统的微分方程222233111123224242zzzzzLJJJJmzz zz z (1) 轴轴I、II、III转动惯量及工作台质量的归算转动惯量及工作台质量的归算轴II的转动惯量J2归算到轴I为J2有：22122)(zzJJ 轴III的转动惯量J3归算到轴I为J3有：2432133).(zzzzJJ 工作台质量m归算到轴III的转动惯量为Jm有：2)2(LmJmJm归算到轴I的转动惯量为Jm有：243212).()2(zzzzLmJm轴I的总转动惯量：哈尔滨工业大学 机电工程学院2.

25、2.2 机械系统的微分方程（2）传动刚度的归算）传动刚度的归算 （扭转刚度和轴向刚度）轴II的扭转刚度K2归算到轴I为K2有：22122)(zzKK 工作台的轴向刚度K归算到轴III为Km有：轴III的扭转刚度K3归算到轴I为K3有：2m()2LKK工作台的轴向刚度K归算到轴I为K m有：2231m24()2zzLKKzz2313324zzKKzz哈尔滨工业大学 机电工程学院2.2.2 机械系统的微分方程（2）传动刚度的归算）传动刚度的归算轴I的总刚度 为（串联）：12322213113222411111+1=11111()()()()2mKKKKKzLzzKKKKzz zK哈尔滨工业大学 机

26、电工程学院2.2.2 机械系统的微分方程（3）黏性阻尼系数的归算黏性阻尼系数的归算工作台导轨阻尼系数c的归算到轴III为c有：2)2(Lcc c归算到轴I为c*有：243212*).()2(zzzzLcc24132()(.)Loozzxzz电机轴转角位移输入 ，工作台导轨位移 归算轴I的角位移 ：ioxo（4）工作台位移的归算）工作台位移的归算哈尔滨工业大学 机电工程学院2.2.2 机械系统的微分方程(5) 数学模型的建立数学模型的建立驱动电机ioJK*c机械转动系统的微分方程：22*)(dtdJdtdcKoooi整理得：ioooKKdtdcdtdJ *2224132()(.)Loozzxzz

27、22424242131313222()(.)*()(.)()(.)LLLoooid xdxzzzzzzJcKxKzzdtzzdtzz哈尔滨工业大学 机电工程学院Q1、Q2和H分别为液槽在平衡状态时液体的流入量、流出量和液位的高度值。q1(t)、q2(t)和h为相应变量的增量。设液槽的面积为A，根据物料自平衡的原理，液体流入量与流出量之差应等于液槽中液体存贮量的变化率，即有：2.2.3 流体系统的微分方程 1122()( )( )d HhAQq tQq tdt12( )( )( )dh tAq tq tdt)()(2thtq考虑在平衡状态H=定值，Q1=Q2，则上式可改写为基于液位h(t)与流量

28、q2(t)之间的关系如图2-5所示，它的数学表达式为：图图 液位系统液位系统（2-4）V1V2哈尔滨工业大学 机电工程学院式中为比例常数（与V2阀开度的大小有关）。经在平衡点作线性化处理后q2(t)与h(t)的关系为)(2)(2thHtq2( )1( )2q th tRH或写作：式中，把式（2-6）代入式（2-4）得1( )( )( )dh tRAh tRq tdt)()()(1tRqthdttdhT其中，T=RA或图图 q2(t)与与h(t)的关系曲线的关系曲线2.2.3 流体系统的微分方程R液位高度的变化量液阻输出流量的变化量（2-6）哈尔滨工业大学 机电工程学院A任何电气系统的数学模型都

29、可用克希霍夫电流和电压 定律建立。A电气系统三个基本元件：电阻、电容和电感。A电路分析主要对象：电抗、电压、电流A电气系统建模：列写各元件的电抗、电压与电流关系2.2.4 电气系统的微分方程哈尔滨工业大学 机电工程学院电感电感L：电容电容C：电压电压=电流的积分，电容值的倒数是常系数电流的积分，电容值的倒数是常系数电压电压=电流的微分，电感值是常系数电流的微分，电感值是常系数电阻电阻R：2.2.4 电气系统的微分方程哈尔滨工业大学 机电工程学院克希霍夫电流定律：克希霍夫电流定律：流进节点的电流之和，等于流出同 一节点的电流之和 。克希霍夫电压定律：克希霍夫电压定律：在任意瞬间，在电路中任意环路

30、的 电压的代数和等于零，或者可以描 述为：沿某一环路的电压降之和， 等于沿该环路的电压升高之和。04321uuuuEEu1u2u3u4i1i2i3123iii2.2.4 电气系统的微分方程哈尔滨工业大学 机电工程学院 把代入，并进行整理得：把代入，并进行整理得：解：解：(1)确定输入、输出量确定输入、输出量iuouLRCi这是一个线性定常二阶微分方程。这是一个线性定常二阶微分方程。(2)列写微分方程列写微分方程(3)消去中间变量消去中间变量实例： 建立图所示的LRC电路的数学模型。 2.2.4 电气系统的微分方程)()()()(22tututudtdRCtudtdLCiooo)()(1)()(

31、tudttiCtRidttdiLi)()(10tudttiC哈尔滨工业大学 机电工程学院实例：实例：电枢控制直流电动机的微分方程电枢控制直流电动机的微分方程试列写下图所示电枢控制直流电动机的微分方程，要求取电枢电压 为输入量，电动机转速 为输出量。 、 电枢电路的电阻和电感；Ce电枢的激磁磁通； Cm电动机转矩系数；Mc、Jm、fm折合到电动机轴上的总负载转矩、总转动惯量、粘性摩擦系数。2.2.5 机电系统的微分方程)(tua)(tmaRaL电枢控制直流电动机原理图 哈尔滨工业大学 机电工程学院2.2.5 机电系统的微分方程(1) 电枢回路电压平衡方程：)()()()(tEtiRdttdiLt

32、uaaaaaa(2) 电磁转矩方程：)()(tiCtMamm(3) 电动机轴上的转矩平衡方程： )()()()(tMtMtfdttdJcmmmmm整理得： )()()()()()()()(22tMRdttdMLtuCtCCfRdttdJRfLdttdJLcacaammemmammamamma)()(tCtEmea哈尔滨工业大学 机电工程学院2.2.5 机电系统的微分方程在工程应用中，由于电枢电路电感La较小，通常忽略不计，因而上式可简化为：)()()()(12tuKtMKtdttdTacmmm)(emmamamCCfRJRT)(1emmamCCfRCK)(2emmaaCCfRRK式中是电动机机

33、电时间常数(s)，是电动机传递系数。如果电枢电阻Ra和电动机的转动惯量Jm很小而忽略不计时，式(2-25)还可进一步简化为：)()(tutCame此时，电动机可作为测速发电机使用。 (2-25)哈尔滨工业大学 机电工程学院本讲小结本讲小结A了解系统数学模型的表现形式；了解系统数学模型的表现形式；A掌握微分方程的列写方法；掌握微分方程的列写方法；A掌握机械系统微分方程的建立；掌握机械系统微分方程的建立；A掌握电气系统微分方程的建立。掌握电气系统微分方程的建立。作业：作业：教材：教材： 2.22.52.2 系统的微分方程哈尔滨工业大学 机电工程学院2.3 系统的传递函数系统的传递函数教学内容哈尔滨

34、工业大学 机电工程学院一、传递函数定义及特点一、传递函数定义及特点传递函数：传递函数：线性定常系统线性定常系统在在零初始条件零初始条件下，输出量的下，输出量的Laplace变换与输入量的变换与输入量的Laplace变换之比。变换之比。零初始条件：零初始条件：q t0时，输入量及其各阶导数均为时，输入量及其各阶导数均为0；q t0时，输出量及其各阶导数也均为时，输出量及其各阶导数也均为0； 即：输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工作状态。即：输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工作状态。2.3.1 传递函数的基本概念哈尔滨工业大学 机电工程学院补充：拉氏变换哈尔滨工业大学 机电工程学院( )X

35、 s 一、拉氏变换的定义：一、拉氏变换的定义：(1)当当 t 0时，时， x(t)在每个有限区间上分段连续；在每个有限区间上分段连续；对于函数对于函数 x(t)，如果满足下列条件：如果满足下列条件：(2) 存在，其中存在，其中s=+j为复变量。为复变量。0-e)(dttxst-0 ( )( )estL x tx tdt原函数原函数象函数象函数补充拉氏变换哈尔滨工业大学 机电工程学院二、典型函数的拉氏变换二、典型函数的拉氏变换1、单位阶跃函数、单位阶跃函数: 1(t)=0, (t0)000111( )1( )eeestststLttdtdtss 2、单位斜坡函数、单位斜坡函数: t1(t)0t1

36、(t)100 1( )1( )eeststL ttttdttdt2020001e1)1(ee)e ()(ssdtsstdststststst0tt1(t)45补充拉氏变换哈尔滨工业大学 机电工程学院 2000111stststx ttXst edtt eedtsss同理可得：同理可得：14332!32nnsntLstLstL3、t的幂函数的幂函数10tx(t)单位速度函数（斜坡函数）单位速度函数（斜坡函数）1单位加速度函数单位加速度函数0tx(t)200( )102tx ttt00( )0tx ttt补充拉氏变换哈尔滨工业大学 机电工程学院(t)在在a0时时t-a/21/aa/20, (t0)

37、;, (t=0); 且有(t)=001)( dtt000 ( )( )e( )1stLttdtt dt5、指数函数、指数函数: e-at 1(t)()()0011e1( )eeats a ts a tLtdtsasa 4、单位脉冲函数、单位脉冲函数: (t)补充拉氏变换哈尔滨工业大学 机电工程学院6、正弦函数、正弦函数 22001sinsin2stj tj tstx ttX stedteeedtjs故故tsLsin221正弦函数正弦函数10tx(t)x(t)=sin t-1补充拉氏变换哈尔滨工业大学 机电工程学院7、余弦函数、余弦函数 22001coscos2stj tj tstsx ttX

38、stedteeedts故故tssLcos221余弦函数余弦函数10tx(t)x(t)=cos t-1补充拉氏变换哈尔滨工业大学 机电工程学院( )x t( )X s)(t1)(1ts1tnsnn1!ateetatn )(1!asnnsinatte22()s acosatte22()sas a典型拉氏变换典型拉氏变换补充拉氏变换as1( )x t( )X s( )x t( )X scos t22sssin t22s哈尔滨工业大学 机电工程学院三、拉氏变换的基本性质和定理三、拉氏变换的基本性质和定理1、线性性质：、线性性质：12120( )( )( )( )estL ax tbxtax tbxtd

39、t0201e )(e )(dttxbdttxastst)()(21sbXsaXt例：0 x(t)452)( 1)( 12)(ttttx2212112)(sssssX补充拉氏变换哈尔滨工业大学 机电工程学院三、拉氏变换的基本性质和定理三、拉氏变换的基本性质和定理2、微分性质：、微分性质：0( )( )estdx tdx tLdtdtdt00)(e )()(edtstxtxstst0e )()0(dttxsxst)0()(xssX22( )( )(0)d x tdx tLs Lxdtdt)0()0()(2xsxsXs若系统处于若系统处于零初始条件零初始条件下：则有下：则有( )( )dx tLsX

40、 sdt222( )( )d x tLs X sdt( )( )nnnd x tLs X sdt补充拉氏变换哈尔滨工业大学 机电工程学院三、拉氏变换的基本性质和定理三、拉氏变换的基本性质和定理例例：在零初始条件下求输出的拉氏变换。：在零初始条件下求输出的拉氏变换。)()()()()(22tnxdttdxmtcxdttdxbdttxdaiiooo解：对上方程在零初始条件下求拉氏变换得：解：对上方程在零初始条件下求拉氏变换得：)()()()(2sXnmssXcbsasio)()(2sXcbsasnmssXio利用拉氏反变换便可得到输出的原函数。利用拉氏反变换便可得到输出的原函数。补充拉氏变换哈尔滨

41、工业大学 机电工程学院三、拉氏变换的基本性质和定理三、拉氏变换的基本性质和定理3、积分性质（在零初始条件下）：、积分性质（在零初始条件下）：01( )( )tLxdXss4、延时定理：、延时定理： () 1()( )sL x tteX s0t1( t -)1例例：) 2( 1) 2()( 12)(ttttx22112)(sessXsx(t)t04522补充拉氏变换哈尔滨工业大学 机电工程学院三、拉氏变换的基本性质和定理三、拉氏变换的基本性质和定理5、终值定理：、终值定理：)(lim)(lim0ssXtxst证明证明00( )( )ee( )( )(0)ststdx tdx tLdtdx tsX

42、 sxdtdt )0()(lim)(elim000 xssXtdxssts)0()(lim)0()(limxssXxtxost)(lim)(lim0ssXtxst 补充拉氏变换哈尔滨工业大学 机电工程学院四、拉氏反变换nnnnmmmmasasasbsbsbsbsX1111110)()(nm采用采用部分分式展开法部分分式展开法求拉氏反变换：求拉氏反变换： x(t) X(s) X(s)=Lx(t)X(s) x(t) x(t)=L-1X (s) )(.)()()(.)()(1211121sXLsXLsXLtxsXsXsXsXnn补充拉氏变换哈尔滨工业大学 机电工程学院1、只含不同单极点的情况、只含不

43、同单极点的情况)()()(211110nmmmmpspspsbsbsbsbsX)()()()(2211nnkkpsApsApsApsA式中：式中：kpskkpssXA)()(四、拉氏反变换四、拉氏反变换1kp tkkkALA esp补充拉氏变换哈尔滨工业大学 机电工程学院四、拉氏反变换1、只含不同单极点的情况只含不同单极点的情况例例233)(2ssssX)( 1)2()(2teetxtt)2(1) 1(2)2)(1(3)(ssssssX解：解：2)1()(11sssXA1)2()(22sssXA补充拉氏变换哈尔滨工业大学 机电工程学院四、拉氏反变换 nnrrrpsKpsKpsKpsKpsKsX

44、.221111121112、含重极点的情况含重极点的情况 1 1111 211 !11 312 !11111!1l i ml i ml i ml i mrrrrrrrrKXsspKXsspKXsspdKXsspd ss -p1s=-p1为为r 重极点重极点展开为展开为r 个分式个分式补充拉氏变换s -p1s -p1s -p1哈尔滨工业大学 机电工程学院四、拉氏反变换例32) 1(32)(ssssX2、含重极点的情况含重极点的情况1) 1() 1(12233sBsBsB232) 1)(12133ssssssXB022) 1)(1132sssssXdsdB 12!21)1)(!21113221ss

45、ssXdsdB)( 1)()(2teettxtt11) 1(23ss补充拉氏变换哈尔滨工业大学 机电工程学院四、拉氏反变换 312221,2.,40,nnKKK sKXssjsjspspbcsj 通过配方化成正弦、余弦象函数的形式再求反变换通过配方化成正弦、余弦象函数的形式再求反变换3、含共轭复数极点的情况：含共轭复数极点的情况：补充拉氏变换111122222212cossinttasK sKaLLsjsjssa eta et 12,sjsjK sKXssjsj 哈尔滨工业大学 机电工程学院四、拉氏反变换3、含共轭复数极点的情况：含共轭复数极点的情况：例sssssX231)(ssss112ss

46、s1)()(222321ssss1)()(33)()()(2222232123232121)( 1 1)cossin()(23233321tttetxt补充拉氏变换哈尔滨工业大学 机电工程学院5、应用拉氏变换解线性微分方程应用拉氏变换解线性微分方程 求解步骤求解步骤q 将微分方程通过拉氏变换变为将微分方程通过拉氏变换变为s的代数方程；的代数方程；q 解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式；解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式；q 应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。 哈尔滨工业大学 机电工程学院原函数原函数（微分方程的解）（微分方程的解）象函数象函

47、数微分方程微分方程象函数的象函数的代数方程代数方程拉氏反变换拉氏反变换拉氏变换拉氏变换解解代代数数方方程程拉氏变换法求解线性微分方程的过程拉氏变换法求解线性微分方程的过程哈尔滨工业大学 机电工程学院线性定常系统微分方程的一般形式线性定常系统微分方程的一般形式设输入设输入xi ( t )，输出，输出xo ( t )，则一般形式表示如下：，则一般形式表示如下：取如下零初始条件：取如下零初始条件： 传递函数的一般形式传递函数的一般形式1110111101( )( )( )( )( )( )( )( ) ()nnnonooonnmmmimiiimmdddax tax tax ta x tdtdtdtd

48、ddbx tbx tbx tb x tnmdtdtdt2.3.1 传递函数的基本概念哈尔滨工业大学 机电工程学院对微分形式进行对微分形式进行Laplace变换，则有：变换，则有：根据传递函数定义，则有根据传递函数定义，则有G ( s )：2.3.1 传递函数的基本概念哈尔滨工业大学 机电工程学院求传递函数过程求传递函数过程2.3.1 传递函数的基本概念a) 列写系统的微分方程；d) 得到传递函数G(s)b) 方程两端拉氏变换（初始条件为零）c) 右端算子除以左端算子哈尔滨工业大学 机电工程学院 传递函数求解示例传递函数求解示例q 质量质量- -弹簧弹簧- -阻尼系统的传递函数阻尼系统的传递函数

49、22( )( )( )( )ddmy tCy tKy tf tdtdt2( )( )( )( )ms Y sCsY sKY sF s2( )1( )( )Y sG sF smsCsK所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：按照定义，系统的传递函数为：按照定义，系统的传递函数为：2.3.1 传递函数的基本概念哈尔滨工业大学 机电工程学院q R-L-C无源电路网络的传递函数无源电路网络的传递函数)()()()(22tututudtdRCtudtdLCiooo)()()()(2sUsUsRCsUsULCsiooo11)()()(2RCsLCssUsUsGio所有初始条

50、件均为零时，其拉氏变换为：所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：LCRouiu( )11( )( )( ),( )( )iodi tLi t dtRi tu tu ti t dtdtCC按照定义，系统的传递函数为：按照定义，系统的传递函数为：2.3.1 传递函数的基本概念哈尔滨工业大学 机电工程学院例例1：图示机械系统，输入：图示机械系统，输入xi，输出输出xo，求系统传递函数。求系统传递函数。xixoAk2c2c1k1xB解：以整体为研究对象难于分析；现以节点A、B为研究对象，并增设中间变量x。，节点没有质量，所以惯性力为零，考虑节点受力平衡，得微分方程：xxcxxcxxkooiAoi211:

51、22:Bxocxkx2.3.1 传递函数的基本概念哈尔滨工业大学 机电工程学院1212122122(c )()( )()()( )ioscX sc sc sc sXsskkkkk1122112222()()( )( )( )()()oisssG ssssskckcXkckck cX微分方程两端进行拉氏变换，消去中间变量X(s)后，得：右端算子除以左端算子2.3.1 传递函数的基本概念xixoAk2c2c1k1xB哈尔滨工业大学 机电工程学院 传递函数是传递函数是复数复数s域域中的系统数学模型，其参数仅取决于系统本身的中的系统数学模型，其参数仅取决于系统本身的结构及参数，与系统的输入形式无关。结

52、构及参数，与系统的输入形式无关。 传递函数通过系统输入量与输出量之间的关系来描述系统的固有特性。传递函数通过系统输入量与输出量之间的关系来描述系统的固有特性。若输入给定，则系统输出特性完全由传递函数若输入给定，则系统输出特性完全由传递函数G(s)决定，即传递函数决定，即传递函数表征了系统内在的表征了系统内在的固有动态特性固有动态特性。 传递函数的特点传递函数的特点Xi（s）G（s）Xo（s）2.3.1 传递函数的基本概念哈尔滨工业大学 机电工程学院 传递函数的特点（续）传递函数的特点（续） 传递函数分母中传递函数分母中s的阶次的阶次n不小于分子中不小于分子中s的阶次的阶次m。 传递函数可以有量

53、纲，也可以无量纲，取决于输入量和输出量的量纲。传递函数可以有量纲，也可以无量纲，取决于输入量和输出量的量纲。 不同的物理系统可以具有相同的传递函数。不同的物理系统可以具有相同的传递函数。 同一系统选取不同物理量作为输入输出，传递函数可不同。同一系统选取不同物理量作为输入输出，传递函数可不同。 传递函数的概念，只适用传递函数的概念，只适用初始状态为零初始状态为零的的线性定常系统线性定常系统。2.3.1 传递函数的基本概念 传递函数的分母反应了系统本身与外界无关的固有特性，分子反应了传递函数的分母反应了系统本身与外界无关的固有特性，分子反应了系统本身与外界之间的关系。系统本身与外界之间的关系。 哈

54、尔滨工业大学 机电工程学院二、传递函数的特征方程、零点、极点和放大系数二、传递函数的特征方程、零点、极点和放大系数 特征方程1110( )mmmmM sb sbsb sb1110( )nnnnN sa sasa sa令：)()()()()(sNsMsXsXsGio则：N(s)=0称为系统的特征方程，其根称为系统的特征根。特征方程决定着系统的动态特性。2.3.2 系统的复域特征 哈尔滨工业大学 机电工程学院 零点和极点零点和极点 *1212( )()()()( )( ) ( *( )( )()()()ominXsKszszszM sG sKX sN sspspsp为常数）根据多项式定理，将G(s

55、)写成下面的形式： N(s)=0的根s=pj(j=1, 2, ,n)：传递函数的极点极点；（决定系统瞬态响应曲线的收敛性，即稳定性） M(s)=0的根s=zi (i=1, 2, , m)：传递函数的零点零点；（影响瞬态响应曲线的形状，不影响系统稳定性）传递函数的零极点形式2.3.2 系统的复域特征 根轨迹增益；哈尔滨工业大学 机电工程学院 零、极点分布图零、极点分布图 将传递函数的零、极点表示在复平面上的图形称为传递函数的零、极点分布图。图中，零点用“O”表示，极点用“”表示。 G(s)=S+2(s+3)(s2+2s+2)的零极点分布图的零极点分布图0 12312-1-2-3-1-2 j 模型

56、零、极点决定系统的动态性能；其中极点决定系模型零、极点决定系统的动态性能；其中极点决定系统的稳定性；零点与极点的距离决定该极点所产生的模统的稳定性；零点与极点的距离决定该极点所产生的模态所占比重，距离越远所占比重越大。态所占比重，距离越远所占比重越大。2.3.2 系统的复域特征 哈尔滨工业大学 机电工程学院令s = 0，则：说明：G(0)为系统放大系数，决定着系统的稳态输出（从微分方程的角度看，s=0相当于所有的导数项都为零。因此G(0)反映了系统处于静态时，输出与输入的比值。G(0)由传递函数的常数项决定；传递函数的零、极点及放大系数决定着系统的瞬态性能和稳态性能。对系统的研究可变成对系统传

57、递函数对系统的研究可变成对系统传递函数零点、极点和放大系数的研究。零点、极点和放大系数的研究。 放大系数（增益）放大系数（增益） 1212()()()( ) ()()()mnK szszszG sKspspsp为常数）2.3.2 系统的复域特征 哈尔滨工业大学 机电工程学院基本概念 任何复杂的系统都可归结为由一些典型环节所组成。任何复杂的系统都可归结为由一些典型环节所组成。 高阶控制系统传递函数可以化为零阶、一阶、二阶等高阶控制系统传递函数可以化为零阶、一阶、二阶等典型环节的组合。典型环节的组合。具有某种确定信息传递关系的元件、元件组或元件的一部分称为一个环节。经常遇到的环节称为典型环节。 环

58、节 Xi（s）G（s）Xo（s）环节框图2.3.3 典型环节的传递函数 哈尔滨工业大学 机电工程学院sseekkkkdjjvcllllbiisTsTsTssssKsG12211221) 12() 1() 12() 1()(ekkdjjcllbiiTTabK12112100112.3.3 典型环节的传递函数 哈尔滨工业大学 机电工程学院典型环节典型环节1比例环节比例环节定定 义：义：输出量与输入量成正比，输出既不失真也不延迟地反映输入的环节。输出量与输入量成正比，输出既不失真也不延迟地反映输入的环节。传递函数：传递函数：( )( )( )oiXsG sKXsXi（s）KXo（s）比例环节比例环节

59、特特 点：点：输出与输入成正比，无失真和时间延迟。输出与输入成正比，无失真和时间延迟。案案 例：例： 电子放大器电子放大器 齿轮齿轮 电阻电阻 液压缸液压缸 2.3.3 典型环节的传递函数 哈尔滨工业大学 机电工程学院典型环节典型环节2惯性环节（或一阶惯性环节）惯性环节（或一阶惯性环节）定定 义：义：动力学方程为一阶微分方程形式的环节为惯性环节。动力学方程为一阶微分方程形式的环节为惯性环节。哈尔滨工业大学 机电工程学院典型环节典型环节2惯性环节（或一阶惯性环节）惯性环节（或一阶惯性环节）2.3.3 典型环节的传递函数 哈尔滨工业大学 机电工程学院典型环节典型环节2惯性环节（或一阶惯性环节）惯性

60、环节（或一阶惯性环节）定定 义：义：动力学方程为一阶微分方程形式的环节为惯性环节。动力学方程为一阶微分方程形式的环节为惯性环节。传递函数：传递函数：1)(TsKsG特特 点：点：对突变的输入及其输出不能立即复现，输出无振荡。对突变的输入及其输出不能立即复现，输出无振荡。案案 例：例：多数热力学系统，如热电偶。多数热力学系统，如热电偶。惯性环节由系统中储能元件和耗能元件引起的。惯性环节由系统中储能元件和耗能元件引起的。Xi（s）Xo（s）惯性环节惯性环节1KT s 2.3.3 典型环节的传递函数 哈尔滨工业大学 机电工程学院定定 义：义：输出正比于输入微分的环节为微分环节。输出正比于输入微分的环