高考数学一轮复习(文)人教通用版9.5.2直线与椭圆名师精编学案

1、名校名师推荐第2课时直线与椭圆题型一直线与椭圆的位置关系自主演练1.若直线y=kx+1与椭圆X+y=1总有公共点，则m的取值范围是()5m8A.m>1C.0<m<5且mw1B.m>0D.m>1且mw5答案D解析方法一由于直线y=kx+1恒过点(0,1),所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，一1一则0<<1且mw5,m故m>1且mw5.方法由J=kx+1,mx2+5y2-5m=0,消去y整理得(5k2+m)x2+10kx+5(1-m)=0.由题意知A=100k2-20(1-m)(5k2+m)>0对一切kCR恒成立,即5mk2+m2m>0

2、对一切kCR恒成立，由于m>0且mw5,.m>1且mw5.222.已知直线l：y=2x+m,椭圆C：§+1"=1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C:(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点.解将直线l的方程与椭圆C的方程联立,y=2x+m,得方程组1 22xV,4+2=1，将代入，整理得9x2+8mx+2m24=0.方程根的判别式A=(8m)24X9X(2m2-4)=-8m2+144.(1)当A>0,即一3/2<m<3g时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共

3、点.(2)当A=0,即m=i3亚时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点(3)当A<0,即m<3m或m>3也时，方程没有实数根，可知原方程组没有实数解.这时直线l与椭圆C没有公共点.思维升华研究直线与椭圆位置关系的方法(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数.(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点题型二弦长及中点弦问题多潍探究命题点1弦长问题2例1斜率为1的直线l与椭圆：+y2=1相交于A,B两点，

4、则|AB|的最大值为()414：108：10A.2B.5c.5D.5答案C解析设A,B两点的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2),直线l的方程为y=x+t,x2+4y2=4,由消去V,得5x2+8tx+4(t2-1)=0,y=x+t,84t21则X1+x2=一x1x2=.55.|AB=、1+k2|x1-x2|=、1+k2q(x1+x22-4x1x2=2-4X41二警内,55当 t=0 时，|AB|4，人|max=-5.命题点2中点弦问题22例2已知P(1,1)为椭圆x4+2=1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为.答案x+2y-3=0解析方法一易知此弦所在直线

5、的斜率存在，.设其方程为y-1=k(x-1),弦所在的直线与椭圆相交于A,B两点,A(x1,y1),B(x2,y2).y-1=k(x-12 2消去y得,(2k2+1)x2-4k(k-1)x+2(k2-2k-1)=0,X1+ x2 =又x1 + x2 = 2,42"=2,解得k=2-i一，14I一一经检验，k=；满足题意.故此弦所在的直线方程为y-l=-2(x-1),即x+2y3=0.方法二易知此弦所在直线的斜率存在， 22xi yi ,A(xi, yi), b(x2, y2),则'+弓=1,.设斜率为k,弦所在的直线与椭圆相交于A, B两点,22x2,y2.十-z-=142_

6、得理±等1二5口什分1V)=0-x1+x2=2,y1+y2=2,x1 x2 ,12 -y1 y2= °,. k=3 =x1 x212.1-经检验，k=；满足题意.1，此弦所在的直线万程为y-1=-1(x-1),即x+2y3=0.思维升华(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，应用根与系数的关系，解决相关问题.涉及中点弦的问题时用“点差法”解决，往往会更简单.记住必须检验.(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1)，B(x2,y2),则|AB|="(1+k2Rx1+x?j4xx2=卜+k2(y1+y224yy2(k为直线

7、斜率).(3)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.22跟踪训练1设离心率为，的椭圆E:$+y2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P是E上一点，PFJPF2,PF1F2内切圆的半径为V2-1.(1)求E的方程；(2)矩形ABCD的两顶点C,D在直线y=x+2上，A,B在椭圆E上，若矩形ABCD的周长为11瓦求直线AB的方程.31解(1)RtPF1F2内切圆的半径r=2(|PF1|十|PF2|尸也|)=a-c,依题意有a-c=衣1.又°=坐，则a=W，c=1,从而b=1.a22故椭圆E的方程为+y2=1.(2)设直线AB

8、的方程为y=x+m,代入椭圆E的方程，整理得3x2+4mx+2m2-2=0,由60得73<m<艰.设A(X1,y1)，B(x2,y2),则 X1+ X2=一竿, 3X1X2 =2m2- 23|AB|=也|X2 x1|=43 m23易知|BC|=|2m|,则由一,<m<艰知|BC|=1,所以由已知可得|AB|+|BC|=11-2,643-m22m1123 也=6，整理得41m2+30m71=0,解得m=1或m=一1(均满足V3<m<峋.所以直线AB的方程为y=x+1或y=x77.41题型三椭圆与向量等知识的综合一师生共研2212,直线l与椭例3已知椭圆C:$+

9、，=1(a>b>0),e=1,其中F是椭圆的右焦点，焦距为圆C交于点A,B,线段AB的中点横坐标为4,且AF=箱(其中Q1).求椭圆C的标准方程；(2)求实数入的值.1解(1)由椭圆的焦距为2,知c=1,又e=2，a=2,故b2=a2c2=3,.椭圆C的标准方程为+匕=1.43(2)由aF=正B,可知A,B,F三点共线,设点A（xi,y1），点B（x2,y2）.若直线ABx轴，则Xi=X2=1,不符合题意;当AB所在直线l的斜率k存在时，设l的方程为y=k（x1）.'y=k(xT>由3y2_消去y得U+3=1'(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.的

10、判别式A=64k44(4k2+3)(4k212)=144(k2+1)>0.8k2x1+x2=42T3'"4k2-12x1x2=k2Z3.2工8k2”1121x1+x2=4?=2*4=2，*=7c1将k2=1代入万程，得4x2-2x-11=0,4解得x=与仁4又AF=（1x1，一y1），FB=（x2-1,y*AF=就，1x135即1x1=Xx21）,X=又41,入=-/.x212思维升华一般地，在椭圆与向量等知识的综合问题中，平面向量只起“背景”或“结论”的作用，几乎都不会在向量的知识上设置障碍，所考查的核心内容仍然是解析几何的基本方法和基本思想.跟踪训练2已知椭圆C的两

11、个焦点分别为F1（-1,0）,F2（1,0）,短轴的两个端点分别为B1,B2.若F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的短轴长为2,过点F2的直线l与椭圆C相交于P,Q两点，且F?P，命，求直线l的方程.解（1）4FiBiB2为等边三角形，c= 3b,a22 a-b2=3b2,-b2= 13y2c椭圆C的方程为T+3yj.2(2)易知椭圆C的方程为2+y2=1,当直线l的斜率不存在时，其方程为x=1,不符合题意;当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x1),得(2k2+1)x2-4k2x+2(k21)=0,由已知得Z>0,设 P(x1, y1), Q(x2L r

12、4 k2则 X1+x2=2k干F1P=(x+1, y1),FQ=(x2+1, y),因为FP，F1Q,所以F1PF1Q=0,即(x1+1)(x2+1)+y1y2=x1x2+(x+x2)+1+k2(x1-1)仅21)=(k2+1)x1x2(k21)(x+x2)+k2+17k21许=0解得k2=7,即k=等,故直线l的方程为x+47y1=0或x/y1=0.课时作业b基础保分练1.若直线mx+ny=4与。O:x2+y2=4没有交点，则过点P(m,n)的直线与椭圆3+y=1的94交点个数是()A.至多为1B.2C.1D.0答案B解析由题意知，/42>2,即寸m2+n2<2,m2n2点P(m

13、,n)在椭圆言+?=1的内部，故所求交点个数是2.942.过椭圆xr+y-=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点，O为坐标原点，54则4OAB的面积为()4A.3B.55C.410D.了答案B解析由题意知椭圆的右焦点F的坐标为（1,0）,则直线AB的方程为y=2x2.x-+y-=1,巧4、联立皆4解得交点坐标为（0,2）,号4；，33j=2x-2,不妨设A点的纵坐标yA=-2,B点的纵坐标yB=4,3,c1-Saoab=2|OF|yAyB|-I5I'故选B.3.已知椭圆上十 =1以及椭圆内一点36 9P（4,2）,则以P为中点的弦所在直线的斜率为11A.2 B.-2 C.

14、2 D.-2答案 B解析设弦的端点A(xn y1)，B(x2, y2),则 x1+ x2= 8, y + y2 = 4,x2-+y2=136 9'22嗑+y2两式相减，得(x1+ x2 (x1一 x2 L (y1+ y2 01 y2 J 0369所以2(x1一 x2 ) _ 4(y1 一 y2 )99，y1 一y21所以k= x-x2=- 2.故选B.4.已知F（一1,0）, F2（1,0）是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆 C交于A,B两点，且AB|= 3,则C的方程为（x , 2.A.2+y =122x y “c.4+3 = 1)BX122D.x + y = 154

15、答案 C解析设椭圆C的方程为与+与=i（a>b>0）,则c=1.因为过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交ab于A,B两点，且|AB|=3,所以9=3,b2=a2-c2,所以a2=4,b2=a2c2=41=3,椭圆a2的方程为x2+£=i.43,X225.（2018锦州质检）经过椭圆万+y2=1的一个焦点作倾斜角为45的直线1,交椭圆于A,B两点.设o为坐标原点，则5A而等于（）1A.3B.23C.-3或-3D.g33答案B解析依题意，当直线1经过椭圆的右焦点（1,0）时，其方程为y-0=tan45°（x-1）,即y=x1.代入椭圆方程,+丫2=1并整理得3x2-4x

16、=0,解得x=0或x=4.所以两个交点坐标为A（0,1）,23b§3；所以5AoB=（0，1）&1r3.同理,直线1经过椭圆的左焦点时,也可得OAOB=-1.36.设F1,F2分别是椭圆/+y2=1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P,使（OP+OF2）FT2=40（0为坐标原点）,则AF1PF2的面积是（）A.4B.3C.2D.1答案D解析（OP+C0F2）PF2=（<OP+n0）靛2=F1PPF2=0）PF1±PF2,ZF1pf2=90°.设1PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=4,m2+n2=12,2mn=4,mn=2,1SF1PF2=2mn=

17、1.7.直线y=kx+k+1与椭圆x9+1=1的位置关系是.94答案相交解析由于直线y=kx+k+1=k（x+1）+1过定点（一1,1）,而（1,1）在椭圆内，故直线与椭圆必相交.名校名师推荐1228.过点M(1,1)作斜率为2的直线与椭圆C:12+g=1(a>b>0)相交于A,B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于.答案-2222+1，解析设A(x1，Y1),B(X2,Y2),则22导法1两式相减，得凶X201+X2)(y1y2(y+y2)_a+b，2,.y一y2bX1+x2一=F'.X1X2ay1+y2.y1y21Y=-J,X1+X2=2,y1+y2=2,X

18、1X22,_b2_17=-2，.a2=2b2区b2=a2-c2,，a2=2(a2c2),，a2=2c2,，a=乎.9 .已知椭圆C:%+=1(a>b>0)的左焦点为F,椭圆C与过原点的直线相交于A,B两点，ab连接AF,BF,若|AB|=10,|AF|=6,cos/ABF=4,则椭圆C的离心率e=.55答案7解析设椭圆的右焦点为Fi,在4ABF中，由余弦定理可解得|BF|=8,所以4ABF为直角三角形，且ZAFB=90°,又因为斜边AB的中点为O,所以|OF|=c=5,连接AF1，因为A,B5关于原点对称，所以|BF|=|AFi|=8,所以2a=14,a=7,所以离心率e

19、=".X2210 .已知直线MN过椭圆2+y2=1的左焦点F,与椭圆交于M,N两点.直线PQ过原点。与MN平行，且PQ与椭圆交于P,Q两点，则就|=.答案2,221解析不妨取直线MNx轴，椭圆1+y2=1的左焦点F(1,0),令x=1,得y2=2，所以V=言,所以|MN|=，2,此时|PQ|=2b=2,2则瑞*=2倨11.如图，椭圆C:x2+%=1(a>b>0)的右焦点为F,右顶点，上顶点分别为A,B,且|AB|=ad2|BF|.14求椭圆C的离心率；(2)若斜率为2的直线l过点(0,2),且l交椭圆C于P,Q两点，OPLOQ,求直线l的方程及椭圆C的方程.解(1)由已知

20、|AB|=g5|BF|,即Ma2+b2=-5a,4a2+4b2=5a2,4a2+4(a2c2)=5a2,，e=C=理.aa222(2)由(1)知a2=4b2,，椭圆C:4bz+$=1.设P(x1，y1)，Q(x2,y2),即 2x-y+ 2=0.直线l的方程为y-2=2(x-0),<2x-y +由x22.4?十2=0,消去V,b2=1得x2+4(2x+2)2-4b2=0,即17x2+32x+16-4b2=0.A= 322+ 16X17(b2-4)>0,解得b”7,3216-4b2x1+x2=一万x1x2=17.OPXOQ,.-.OPoQ=0,即x1x2+V1y2=0,x1x2+(2

21、x1+2)(2x2+2)=0,5x1x2+4(x+x2)+4=0.516-4b2128工从而-方+4=0,解得b=1,满足b27.椭圆C的方程为E+y2=1.412 .设椭圆/+$=1(a>b>0)的左焦点为F,离心率为坐过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433(1)求椭圆的方程;(2)设A,B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点，若ACDB+ADCb=8,O为坐标原点，求OCD的面积.解(1)过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为4,33 ，因为椭圆的离心率为当，所以家兴又a2=b2+c2,可解得b=g,c=1,a=，3所以椭圆的方程

22、为Xr+=1.32(2)由(1)可知F(-1,0),则直线CD的方程为y=k(x+1).y=k(x+1)联立x2y21，消去y得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0.设C(Xi,y)，d(X2,y2),6k2所以X1+X2=一瓷二3k26 x1x2=2+3k2.又 A( 0), B(V3,0),2十3k所以ACDB+ADCb=(Xi+福，y1)(镜一x2,y2)+(x2+V3,y2)(V3Xi,-y1)=62x1x22y1y2=62x1x22k2(x1+1)(x2+1)=6(2+2k2)xix2-2k2(xi+x2)2k22k2+12=6+2=8,2+3k解得k=地.从而+x2=-3,

23、=32"2+3X22'2+3X2所以 |Xi X2| = y (X1 + X2 2 4X1X2|CD|=、1+k |OA|=|OF2|, .|OA|=2 |FiF2|, afaf2,.|AFi|_|OM|_1. |AF2|OF2|-2'又 |AFi|2+AF2|2=(2c)2, .54,5 |AF1|= 5 c, |AF2|= 5 c,又|AFi|+|AF2|=2a,655c=2a,即；=幸.故选D.|xiX2|xf=嘤而原点O到直线CD的距离为='=非d-Eg3，所以OCD的面积为S=2|CD|Xd=2*乎*当=芋.技能提升练2213 .（2018广州*II

24、拟）已知椭圆C:$+卜=1（a>b>0）的右焦点为F2,O为坐标原点，M为y轴上一点，点A是直线MF2与椭圆C的一个交点，且|OA|=|OF2|=2|OM|,则椭圆C的离心率为（）1 A" 32B.5答案D解析方法一,|OA|=|OF2|=2|OM|,M在椭圆C的短轴上，设椭圆C的左焦点为Fi,连接AF从而 AFF2s omf2,方法二|0A|=|OF2|=2|OM|,M在椭圆C的短轴上，在M0F2中，tan/舒?1=2,设椭圆C的左焦点为Fr连接AF1，1|OA|=|OF2|,|0A|=-|FiF2|,AFJAFz,tan/AFz"耨设|AFi|=x(x>0),则|AF2|=2x,z.|FiF2|=VBx,牙卷*故选.2X14.已知椭圆7+a2M, AB为经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦，若PA, PB的斜率之积等于-则点P到直线%=1(a>b>0)短轴的端点为P(0,b),Q(0,-b),长轴的一个端点为QM的距离为.解析答案串设A(x0,yo),则B点坐标为(一xo,Yo),则厘口Xo -Xo452.2即心X014,yg-b2 则It