立体几何存在性问题

1、立体几何存在性问题未命名一、解答题1.在多面体ABCDEF中，底面ABCD是梯开齐四边开条DEF是正方开久AB/DC CD丄AD， ffilABCD 丄面ADEF，AB = AD = 1CD = 2-(1) 求证：平面EBC丄平面EBD：(2) 设M为线段EC上一点，3EM = EC试问在线段BC上是否存在一点T，使得MT平 面BDE，假设存在，试指出点T的位置：假设不存在，说明理由？(3) 在(2)的条件下，求点A到平面MBC的距离.2 .如图，四棱锥R-ABCD中，底面ABCD是直角梯形， AB/CD AB 1 AD* AB = 2CD = 2AD = 4 侧JHpAB是等腰直角三角形，P

2、A = PB 平而 PAB丄平面ABCD点E,F分别是棱AB,PB上的点，平面CEF/平面PAD(I )确定点E,F的位置，并说明理由；(II)求三棱矗F-DCE的体积.3.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1 中，AB = AD = 6,AAi = 25，点E在棱BC上，CE = 2 点F为棱C1D】的中点，过E,F的平面a与棱A】Di交于G，与棱AB交于H，且四边形EFGH 为菱形.(1) 证明：平面A1G1E丄平面BDD1B1：(2) 确定点GH的貝体位置(不需说明理由)，并求四棱锥B-EFGH的体积.4.如图2,在四棱锥P-ABCD中，平面PAD丄平面ABCD，底面ABCD为矩形(

3、1)求证：平面PAB丄平面PAD；5.如图，三棱锥B-ACD的三条侧棱两两垂航 BC=BD = 2 E F分别是棱CD，AD的中 点(1)证明:平面ABE丄平ACD；假设四面体ABEF的体枳为止求线段AE的长6.如图，在四棱锥pABCD中，AD/BC* AB = AD = 2BC = 2* PB = PD PA =(1)求证：PA丄BD；假设PA丄AB，BD=2迈，E为PA的中点(i) 过点C作一直线I与BE平行，在图中画出直线I并说明理由：(ii) 求平面BEC将三棱锥P-ACD分成的两局部体枳的比.7.如图1所示，在梯形BCDE中，DEBC，且DE = ?BC, Zc = 90*分别延长两

4、腰交于点A，点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到A A1DE的位置使A1F丄CD，如图2所 示.1求证：AiF 丄 BE： 假设BC = 6，AC = 8四棱锥Ai-BCDE的体枳为12回 求四棱锥A1-BCDE的外表积.8.如图.在四棱锥p-ABCD求证：BC丄平面ACFE： 当EM为何值时，AM 平面BDF?证明你的结论.10. 10.如图,己知菱形AECD的对角线AC, DE交于点F，点E为的ABADE沿线段DE折起到 PDE的位置如图2所示. 求证：DE丄平面PCF： 证明：平面PBC丄平面PCF； 在线段PD,BC上足否分别存在点M,N，使得平fflcFM平面PEN?假设存在

5、，请指 出点M,N的位置并证明；假设不存在，请说明理由.!1*底面ABCD为矩形.平面PBC丄平面ABCD* PB丄PDP 证明：平面PAB丄平面PCD；2假设pg = PC* E为棱CD的中点，PEA = 90* BC= 2求四面体A-PED的体积.9.如图,在梯形ABCD中，AB W CDAD= DC = CB = a乙ABC = 6T，四边形ACFE是矩形, 且平面ACFE丄半面ABCD点M在线段EF上.参考答案1. (1)见解析(2)见解析氏【解析】分析：在梯形ABCD中，过点作B作BH丄8于H，可得厶DBC = 9CT，所以BC丄BD， 由面ABCD丄面ADEF，可得出ED丄BC，利

6、用线面垂直的判定定理得BC丄平面EBD，进而町得平 面EBC丄 卩面EBD；(2在线段BC上取点T，使得3BT= BE连接MT，先证明ACMT与ACEB相 似，于是得MT/EB，由线面平行的判定定理可得结果：(3)点A到平而MBC的距离就是点A到 平面EBC的距离，设A到平面EBC的距离为h，利用体积相等可得,討詁阪 解 得h母O详解：因为面ABCD丄面ADEF 面ABCD n面ADEF = AD，ED丄AD，所以ED丄面 ABCD ED 丄 BC故四边形ABHD亲正方形，所以Z.ADB = 45-在 ABCHP BH = CH = b ZBCH=45BC 二诅，乙BDC = 45， 乙DBC

7、 = 90BC 丄 BD因为BDn ED = D BDU平面EBD，ED u平面EBDBC丄平面EBD,BCc平面EBC，平面EBC丄平面EBD(2) 在线段BC上存在点T，使得MT平面BDE在纟戈段BC上取点T，使得3BT= BE连接MT在AEBC中,因为詐詈岭所以ACMT与ACEB相似,所以MT/EB又MTC平面BDEEBU平面BDE所以MT平面BDE(3) 点A到平面MBC的距离就是点A到平面EBC的距离，设A到平面EBC的距离为h，利用同角点睛：证明线面平行的常用方法：利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法 在平面内找到i条与直线平行的直线，町利用几何体的特征，合理利用中位线

8、定理、线 面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.利用面而平行的性质， 即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.2. ( I )见解析(II) Vf-dce = I【解析】试题分析：(1)根据而而平行的性质得到CEAD，EF/PA，根据平行关系和长度关 系得到点E是AB的中点，点F是PB的中点；(2： Vf-dce = Vp-dec*因为PA = PB,AE = EB*所以 PE丄AB，进而求得体积.详解：(I) 因为平面CEF/平面PAD，平面CEF n平面ABCD = CE 平面PAD n平面ABCD = AD所以CE/AD*又因为AB/DC， 所以四边形AEC

9、D是平行四边形，所以DC = AE = ；AB, 即点E是AB的中点.因为平面CEF/平面PAD，平fficEF H平面PAB = EF，平面PAD n平面PAB = PA所以EF/PA，又因为点E是AB的中点，所以点F是PB的中点，综上：e,F分别是AB,PB的中点：(II) 因为PA = PB.AE = EB所以PE丄AB，又因为平面PAB 1平面ABCD*所以PE丄平面ABCD；又因为AB/CD.AB丄AD，所以 Vf - DCE = ；Vp - DEC = fSdDEC xPE = xx2x2x2 = -.点睛:这个题目考査了面面平行的性质应用，空间儿何体的体积的求法，求椎体的体枳，一

10、 般直接应用公式底乘以高乘以三分Z,会涉及到点面距离的求法，点面距町以通过建立空 间直角坐标系來求得点面距离，或者寻找面面垂直，再直接过点做交线的垂线即町；当点面 距离不好求时，还可以等体枳转化.3. (1)见解析(2) G为棱AiDi.靠近A】的三等分点，H为棱AB中点，86【解析】分析:要证平面AiCiE丄平面BDD1B1，即证AiCi丄平面BDD1B1，即证A1C1丄BiDv AiCi丄BBi： (2)g为棱AiDi上靠近A】的三等分点，H为棱AB中点，利用等体积法 Vb-efgh = 2Vb- EFH = 2VF-BEH 即可求得结果.详解：在矩形A1B1C1D1 中,VAB = AD

11、, AA1B1 = A1D1.* AiCi 丄 BiDi.又BB1 丄平面AiBiCiDi， - BBi 丄 AiCi. BBi n BiDi = Bn A AiCi 丄平面BDDiBi又AiCi c 平面A1C1& 平面AiCiE 丄平面BDDiBi-(2)g为棱AiDi靠近A】的三等分点，H为棱AB点，HB = 3,BE = 4* 所以AHBE的面积Sahbe = xHBxBE = x4x3 = 6.于是四棱锥B-EFGH的体枳11厂 厂Vb EFGH = 2Vb EFH = 2Vf BEH = 2 X J X sahbe x BBi = 2 X J x 6 x 23 = 8V3.点睹：求

12、锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问 题求解，注意求体积的一些特姝方法分割法、补形法、等体枳法割补法：求一些不 规那么几何体的体积时，常用割补法转化成体枳公式的儿何体进行解决.等积法：等枳 法包括等面枳法和等体枳法.等枳法的前捉是几何图形或几何体的而积或体枳通过 条件可以得到，利用等积法可以用來求解几何图形的奇或几何体的高，特别是在求三角形的 高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形或三棱锥的高，而通过直接 计算得到高的数值.4. 1见解析；2卑【解析】分析：1由平面PAD丄平面ABCD，根据面面垂直的性质可得AB丄平面PAD，由面 面垂直的判

13、定定理可得结论；2取AD的中点0,那么po丄平面ABCD, PO = vW，由Vp.abcd = Sabcd PO # 4x 4二=竽=x = 1，从而利用棱锥的体积公式可得结果.=AB丄平面PAD AB U平面pab丿平而PAD丄平面ABCD.详解1证明平而PAD C平匝ABCD = AD.AB 丄 AD=平面PAB丄平面PAD-2解：取AD的中点0,那么PO丄平面ABCD,且PO = 4-x2,Vp. ABCD = Sabcd PO = p4x- 4 - x2 = 1 或舍去，那么 AD = 2 又易知PB = BD = 2返且 PD = 2=Sapbd = V7所以Vc PBD = A

14、P8D h = 7 h = Vp-BCD = Vp-ABCO = ,解出h =点睛：解答空间儿何体中垂直关系时，一般要根据条件把空间中的线线、线面、面面之 间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理：证明直线 和平面垂直的常用方1利用判定定理；2利用判定定理的推论a|b,aia=b丄a：3利用面面平行的性质a丄a,a|P=a丄B：心利用面而垂U的性质，肖两个平面垂直 时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.5. 1证明见解析；2尼.【解析】分析：1推导出BE丄CD, AB丄CD,从而CD丄平面ABE,由此能证明平面ABE丄 平面ACD：2取BD的中点G,连

15、接EG,那么EGBC.推导出BC丄平面ABD,从而EG丄平面ABD,由 此能求出线段AE的长.详解：1证明：因为BC = BD E是棱CD的中点，所以BE丄CD又三棱锥B-ACD的三条侧棱两两垂直，且BC n BD = B所以AB丄平面BCD，那么AB丄CD因为AB n BE = B*所以CD丄平面ABE，又CDU平面ACD，所以平IffiABE丄平面ACD.2解：取BD的中点G，连接EG，那么EG/BC易证BC丄平面ABD，从而EG丄平面ABD，所以四面体ABEF的体积为詁扌X ABxBDx EG = y=WJaB = 3在RtAABE中，BE 二迈AE = 32 + 2 =点时：垂直.平行

16、关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1) 证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2) 证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3) 证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.6. (1)见解析；(2)见解析，|【解析】分析:取BD中点0,连接A0,P0,先证明BD丄面PA0,再证明PA丄BD取PD中点 F，连接CF.EF,那么CF/BE，CF即为所作直线I,证明四边形BCFE为平行四边形即得证.()先分别 计算出两局部的体枳，再求它们的比.详解: 证明：取BD中点0,连接AOPO EF/BCHEF = BC，-四边形BCFE为平行四边形 A CF/BE(U) v PA 丄 AB，PA 丄

17、BD，AB n BD = B A PA 丄面ABD 又在 AABD 中AB = AD = 2BD = 22, AB2 + AD2 = BD2 A AB 丄 AD又PA 丄 AB.PA n AD = AaAB丄面PAD1 1U 2佰Vp. ACD = 3 x - X 2 X 2 X V3 =11, $ $Vcaefd = rx-x(l + 2)x-x2 = y23 |3 Y33 2 6Vc AUO点睛：(1)此题主要考査空间平行垂直位置关系的证明，考查空间几何体体积的计算，意 在考査学生对这些根底知识的拿握能力和空间想彖转化能力.(2)对于空间平行垂直位置关 系的证明有几何法和向量法两种方法，空

18、间几何体体枳的计算有公式法、割补法和体积变换 法三种方法.7. (1)见解析； 36 + 43 + 2V9【解析】分析：(1)先利用直角三角形和线线平行的性质得到线线垂直，再利用线面垂直的 判定定理和性质得到线面垂直和线线垂直：(2)分析四棱锥的各面的形状，利用相关面积公 式进行求解.详解：因为Z*90 ,即ACLBC,肚DEBC、所以 DE丄&C,那么 DE丄DC, DE.LDA1，又因为DCCDA、= D,所以丄平面因为AiFu平面AiDC,所以DE丄如F.又因为AZ CD, CDC DE= D、所以4F丄平面8宓，又因为3EU平而BCDE,所以&庐丄BE.1(2)由应；社DE=BC,得Q

19、, 分别为M的屮点,在中，AB = 62 + 82 = 10.那么 A、E=EB=5, A：D=DC=4,那么梯形 BCDE 的面积 5i=2x(G 43)x4 = 18,四核锥Ai-BCDE的体积为U= 3x18x4= 12.即十=2可，在RtAAZZF中，DF = V42 - (2V5)2 = 2,即尸是仞的中点,所以 AiC=AiD=4,风対DE/BC, DE丄平面所以BC丄平而AlDC,所以8C丄ZhC,所以AiB = 62 + 42 = 2V13, 在等腰TUBE中，底边A/匕的高为、1正匚面 =2命，所以四棱锥 AlBCDE 的外表枳为 S=Si + S ae + S “AiDc

20、+ S a AiBc+S AiBE= 18+Lc3x4+0x4x2帀+Ex6x4+Lc2Vx2 西=36+4可+2厢.点睛：此题考查空间中的垂直关系的转化、空间几何体的外表枳等知识，总在考查学生的空 间想象能力和数学转化能力.& (1)见解析；(2) y【解析】分析：(1)由面面垂直的性质定理得到CD丄平而PBC，即CD丄PB，进而得到平面PAB丄平面PCD，(2)由等体积法求解，Va-ped = Vp-aed详解：(1)证明：四边形ABCD是矩形，:CD丄BC平面PBC丄平面ABCD,平而PBCC平面ABCD=BC, Cu平面ABCD,CD丄平面PBC,:CD1PB.PB丄PD, CDCPD=D, CD、PDU平面PCD,.阳丄平面PCD.PBU平面PAB,:.平面刊B丄平面PCD(2)取BC的中点O,连接OP、OE.TPB 丄平面PCD，：PB 丄 PC， .*.OP = BC= 1,V PB = PC，：PO 丄 BC平iffiPBC丄平面 ABCD,平iffiPBCC 平而 ABCD=BC, POU 平面 PBC,:.PO丄平面 ABCD, :AEU 平面 ABCD, PO丄AE. V ZPEA=9Q, .PE丄AEPOCPEuP, :.AE丄平面 POE, :.AE-LOE.V ZC=ZD=90,