函数的求导法则

1、2022-3-271二二 反函数的导数反函数的导数三三 复合函数的导数复合函数的导数四四 双曲函数与反双曲函数的导数双曲函数与反双曲函数的导数五五 初等函数求导的小结初等函数求导的小结六六 思考判断题思考判断题第二节第二节 函数的求导法则函数的求导法则一一 和、差、积、商的求导法则和、差、积、商的求导法则2022-3-272一一 和、差、积、商的求导法则和、差、积、商的求导法则定理定理2并并且且处处也也可可导导们们的的和和在在点点则则它它处处可可导导在在点点如如果果函函数数,)(),(xxxvxu);()( )()(xvxuxvxu 并并且且处处也也可可导导们们的的差差在在点点则则它它处处可可

2、导导在在点点如如果果函函数数,)(),(xxxvxu);()( )()(xvxuxvxu 定理定理12022-3-273证证(1)(1)()()(xvxuxf 设设hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0 (2)(2)略略. .hxvhxvxuhxuh)()()()(lim0 )()(xvxu 2022-3-274推论推论)()()( )()()()1(2121xfxfxfxfxfxfmm 例例1 1.ln23的的导导数数求求xxxy 解解xxxy12322022-3-275定理定理3并并且且处处也也可可导导们们的的积积在在点点则则它它处处可可导

3、导在在点点如如果果函函数数,)(),(xxxvxu);()()()( )()(xvxuxvxuxvxu 推论推论);( )()2(xfCxCf wuvwvuvwuuvw )3(注意注意:);()( )()(xvxuxvxu 2022-3-276例例2 2.ln2sin的的导导数数求求xxy 解解xxxylncossin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2 .2sin1ln2cos2xxxx 并并且且处处也也可可导导在在点点分分母母不不为为零零们们的的商商则则它它处处可可导导在在点点如如果果函函数数,)(,)(),(xxxvxu).0)()()()

4、()()()()(2 xvxvxvxuxvxuxvxu定理定理42022-3-277证证),0)( ,)()()( xvxvxuxf设设hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxvhxvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0 hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0 2022-3-278hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 )()()()()()()()(lim0 xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh 2)()()()()(xvxvxuxvxu .)(处处可可导导在在xxf注意注意:.)()()()(xvxuxvx

5、u 2022-3-279例例3 3.tan的导数的导数求求xy 解解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 同理可得同理可得xxy2sec)(tan xxy2csc)(cot 2022-3-2710例例4 4.sec的的导导数数求求xy 解解)cos1()(sec xxyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin 同理可得同理可得例例5 5).(,0,0,sin)(xfxxxxxf 求求设设分段函数分段函数求导时求导时, 分界点导数用左右导数求分界点导数用左右导数求.xx

6、xycotcsc)(csc 2022-3-2711解解, 1)( xf,0时时当当 x,0时时当当 xxxfcos)( ,0时时当当 x10)0sin(lim)0(0 hhfh10lim)0(0 hhfh. 1)0( f.0, 10,cos)( xxxxf2022-3-2712二二 反函数的导数反函数的导数.)(1)(,)(,0)()(xxfIxfyyIyxxy 且有且有内也可导内也可导在对应区间在对应区间那末它的反函数那末它的反函数且且内单调、可导内单调、可导在某区间在某区间如果函数如果函数证证,xIx 任取任取xx 以以增增量量给给的单调性可知的单调性可知由由)(xfy , 0 y), 0

7、(xIxxx 法则法则2022-3-2713于是有于是有,1yxxy ,)(连连续续因因为为xf0,0yx必必有有时时所所以以当当)0)( yxyxfx0lim)( 故故yxy 1lim0)(1y .)(1)(yxf 即即即是即是反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数.2022-3-2714例例1 1.arcsinsin的导数的导数为直接函数，求为直接函数，求设函数设函数xyyx 解解,)2,2(sin内单调、可导内单调、可导在在 yIyx, 0cos)(sin yy且且内有内有在在所以所以)1 , 1( xI)(sin1)(arcsin yxycos1 y2si

8、n11 同理可得同理可得211x 211)(arccosxx 2022-3-2715例例2 2.arctantan的的导导数数为为直直接接函函数数，求求设设函函数数xyyx 解解,)2,2(tan内内单单调调、可可导导在在 yIyx, 0sec)(tan2 yy且且内内有有在在所所以以),( xI)(tan1)(arctan yxy2sec1 y2tan11 同理可得同理可得211x 211)cot(xxarc 2022-3-2716例例3 3, 0ln)( aaayy且且,), 0(内有内有在在故故 xI)(1)(log yaaxaayln1 .ln1ax 解解,),(内内单单调调、可可导导

9、在在 yyIax特别地特别地.1)(lnxx .log 的的导导数数为为直直接接函函数数，求求设设函函数数xayyax 2022-3-2717三 复合函数的求导法则链式法则链式法则（Chain Rules)：).()(,)(,)()(,)(0000000 xufdxdyxxfyxuufyxxuxx 且其导数为且其导数为可导可导在点在点则复合函数则复合函数可导可导在点在点而而可导可导在点在点如果函数如果函数证明证明,)(0可可导导在在点点由由uufy )(lim00ufuyu 所以所以)0lim()(00 uufuy故故uuufy )(0则则2022-3-2718xyx0lim故故)(lim00

10、 xuxuufx xuxuufxxx 0000limlimlim)().()(00 xuf 注注1：链式求导法则，即：链式求导法则，即因变量对自变量求导因变量对自变量求导, ,等于因变量对中间变量求导等于因变量对中间变量求导, ,乘以中间变量对自乘以中间变量对自变量求导变量求导. .2022-3-2719注注2 ),(),(),(xvvuufy 设设.)(dxdvdvdududydxdyxfy 的导数为的导数为则复合函数则复合函数 例例4 4.tanln的的导导数数求求函函数数xy 解解.tan,lnxuuy dxdududydxdy xu2sec1 xxcossin1 2022-3-2720

11、例例5 5.)cos(ln的的导导数数求求函函数数xey 解解xevvuuy ,cos,lndxdvdvdududydxdy )tan()sin(1xxxeeevu 注：熟练以后，可以不写出中间变量，此例可以注：熟练以后，可以不写出中间变量，此例可以这样写：这样写： )cos()cos(1)cos(ln xxxeeedxdy)tan( )()cos()sin(xxxxxeeeee 2022-3-2721例例6 6.)2(21ln32的的导导数数求求函函数数 xxxy练习：练习：.1sin的导数的导数求函数求函数xey 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos

12、11sin2xexx 2022-3-2722四、双曲函数与反双曲函数的导数四、双曲函数与反双曲函数的导数chxshx )(shxchx )(xchthx21)( 211)(xarthx 211)(xarshx 11)(2 xarchx2022-3-2723)11(1122xxxx 211x )1ln(sinh2xxx ar221)1()sinh(xxxxx ar只证明其中一个公式只证明其中一个公式2022-3-2724例例8 8.)arctan(的的导导数数求求函函数数shxy 解解)(112 shxxshychxxsh 211xshchx21 2022-3-2725xxxxxxxCtanse

13、c)(secsec)(tancos)(sin0)(2 1 常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的导数公式xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)( xxeexx1)(ln)( 五五 小结小结2022-3-27262211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)cot(11)(arccosxxxx arc2 函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则设设)(),(xvvxuu 可导，则可导，则（1） vuvu )(, （2）uccu )(（3）vuvuuv )(, （4）

14、)0()(2 vvvuvuvu.( ( 是常数是常数) )C 2022-3-27273 复合函数的求导法则复合函数的求导法则).()()()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或导导数数为为的的则则复复合合函函数数而而设设利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决决.2022-3-2728六六 思考判断题思考判断题1 幂函数在其定义域内一定可导。幂函数在其定义域内一定可导。 2 任何初等函数的导数都可以按常数和基本任何初等函数的导数都可以按常数和基本初等函数的求导公式和上述求导法则求出初等函数的求导公式和上述求导法则求出