第二章基本物理量和线性粘性流动

1、L o g oL o g o第二章第二章 基本物理量和线性粘性流动基本物理量和线性粘性流动L o g oL o g o2.1 2.1 流变学基本概念流变学基本概念 v在流变学中在流变学中讨论变形讨论变形时，要研究变形时时，要研究变形时应应力与应变力与应变的关系；而的关系；而讨论流动讨论流动时，要研究时，要研究应力与应变速率应力与应变速率的关系。的关系。v2.1.12.1.1简单实验简单实验( (理想化的实验理想化的实验) )v在简单实验中在简单实验中, ,材料是均匀的材料是均匀的, ,各向同性的各向同性的, ,而材料被施加的应力及发生的应变也是均而材料被施加的应力及发生的应变也是均匀和各向同性

2、的，匀和各向同性的，即应力、应变与坐标及即应力、应变与坐标及其方向无关。其方向无关。L o g oL o g o2.1.2 2.1.2 应变应变v2.1.2.1 2.1.2.1 各向同性的压缩和膨胀各向同性的压缩和膨胀v在各向同性膨胀中，任何形状的试样都变为几何形在各向同性膨胀中，任何形状的试样都变为几何形状相似但尺寸较大的试样。现讨论一个立方柱体，状相似但尺寸较大的试样。现讨论一个立方柱体，其边长为其边长为a a，b b，c c（如（如图图1.11.1所示所示) )。v膨胀后，立方柱体的各边长变为膨胀后，立方柱体的各边长变为a a，b b，c c。每条每条边增加的倍数相同边增加的倍数相同，即

3、，即 a a=a=a， b b=b=b ，c c=c=c =a=a/a=b/a=b/b=c/b=c/c/c v1 1，试样膨胀；，试样膨胀；1 1，试，试样被压缩样被压缩。称为称为伸缩比伸缩比，是，是描描述变形述变形的一个参数。的一个参数。3 3则表示体则表示体积的变化积的变化V/VV/V0 0 。L o g oL o g ov多数情况下，变形很小，即多数情况下，变形很小，即很接近很接近1 1：=1+=1+ = =-1=-1=（a-aa-a）/a=/a=（b-bb-b）/b=/b=（c-cc-c）/c /c 1 1 式中式中为为边长变化量与原始长度之比边长变化量与原始长度之比。0 0，试，试样

4、膨胀，样膨胀，0 0，试样被压缩，试样被压缩。v另一表示变形的方法是用体积的变化另一表示变形的方法是用体积的变化V/VV/V0 0(V(V0 0是是原始体积，原始体积，V V是体积变化量是体积变化量) )： V/VV/V0 0=3 3 -1= -1=（1+1+）3 3 -1=3+3-1=3+32 2+3 3L o g oL o g ov由于由于1 1 ，故，故V/VV/V0 033，即，即体积的分体积的分数改变数改变V/VV/V0 0是边长是边长的分数的分数变化变化的三倍。的三倍。v各向同性膨胀各向同性膨胀 是均匀的变形是均匀的变形。物体内任何体。物体内任何体积单元都变化积单元都变化3 3倍。

5、当然物体不一定是立方倍。当然物体不一定是立方柱体。柱体。L o g oL o g o2.1.2.2 2.1.2.2 拉伸和单向压缩拉伸和单向压缩v在拉伸实验中，试样在拉伸方向长度增加，而在另外在拉伸实验中，试样在拉伸方向长度增加，而在另外两个方向上的长度则缩短。如一个具有矩形断面的试两个方向上的长度则缩短。如一个具有矩形断面的试样，其边长分别为样，其边长分别为L L，b b，c c（图图1.21.2）。）。v拉伸后，在拉伸方向上伸长拉伸后，在拉伸方向上伸长，即长度，即长度L L增加，而增加，而另外另外两个方向上则收缩两个方向上则收缩，边长分别变为，边长分别变为LL，bb，c c ： L=LL=

6、L ，b=bb=b，c=cc=c 称为称为伸长比伸长比。体积变化为。体积变化为V/VV/V0 0 = =2L o g oL o g ov 如变形较小，则有如变形较小，则有=1+=1+，1 1，= =（L-LL-L）/L/L =1- =1-，1 1 ，= =（b-bb-b）/b=/b=（c- cc- c）/c /c v 为长度的分数增量，为长度的分数增量，为侧边长的分数减量为侧边长的分数减量。称为应称为应变变，用它来表示变形。体积的分数变化为，用它来表示变形。体积的分数变化为 v V/VV/V0 0=（1+1+）（）（1-1-）2 2-1-1v 由于由于1 1 ，1 1 ，故，故V/VV/V0

7、0- 2 - 2 v 拉伸时，拉伸时，1 1，1 1，0 0，0 0，即长度增大，截面，即长度增大，截面缩小。缩小。v 压缩时，压缩时，1 1，1 1，0 0，0 0，即长度缩短，截面，即长度缩短，截面增大增大。v 这种变形也是均匀的，即试样内任一体积单元都经历完全这种变形也是均匀的，即试样内任一体积单元都经历完全相同的变形。相同的变形。L o g oL o g o2.1.2.3 2.1.2.3 简单剪切和剪切流动简单剪切和剪切流动v在简单剪切实验中，试样的变形如在简单剪切实验中，试样的变形如图图1.31.3所示。所示。v顶面相对于底面发生位移顶面相对于底面发生位移w w，而高度，而高度L L

8、保持不变。原保持不变。原来与底面垂直的一边在变形后与其原来位置构成来与底面垂直的一边在变形后与其原来位置构成角。可用角。可用来表示变形来表示变形：=w/L=tan=w/L=tanv称为剪切应变称为剪切应变。变形也是均匀的。如应变很小，。变形也是均匀的。如应变很小，即即1 1，可近似认为，可近似认为。L o g oL o g ov对液体来说，变形随时间变化。很重要的对液体来说，变形随时间变化。很重要的例子是例子是简单剪切流动简单剪切流动，它与简单剪切类似。，它与简单剪切类似。但位移但位移w w是时间的函数。是时间的函数。其变形可用剪切速其变形可用剪切速率率 来表示：来表示： =d=d/dt/dt

9、。L o g oL o g o2.1.3 2.1.3 应力应力v在流变学中，外界作用在材料上的力称为在流变学中，外界作用在材料上的力称为表面力，表面力，即外力即外力f f。物体在外力或外力矩作用下会。物体在外力或外力矩作用下会产生流动产生流动或形变。或形变。物体内部物体内部产生相应的应力产生相应的应力= =df/dsdf/ds来来抵抗抵抗外力的作用外力的作用（流动或形变）。（流动或形变）。 dfdf为作用在表面上无限小面积为作用在表面上无限小面积dsds上的力。上的力。即材料即材料内部单位面积上所受的力内部单位面积上所受的力，单位为单位为PaPa（1Pa= 1N/m1Pa= 1N/m2 2）或

10、或MPaMPa (1MPa = 10 (1MPa = 106 6 Pa) Pa)。 在简单实验中由于力是均匀的，在简单实验中由于力是均匀的，=f/s=f/s。v在平衡状态下，物体所受的外应力与内应力数值在平衡状态下，物体所受的外应力与内应力数值相等相等。L o g oL o g o2.1.4 2.1.4 应力的分量表示法和应力张量应力的分量表示法和应力张量v在流变学中，应力的性质应包括三个方面在流变学中，应力的性质应包括三个方面:方向、大小、方向、大小、应力作用在材料的哪个表面应力作用在材料的哪个表面上上。因同样大小和方向的应力，作用在不。因同样大小和方向的应力，作用在不同的表面上，材料会发生

11、不同的变形。同的表面上，材料会发生不同的变形。v采用采用应力的分量应力的分量表示法就可完全描述一个表示法就可完全描述一个应力的性质，即应力的性质，即应力的方向、大小和作用应力的方向、大小和作用面面。应力的分量用两个下标表示：第一个。应力的分量用两个下标表示：第一个下标表示下标表示该应力的作用面该应力的作用面，第二个下标则，第二个下标则表示表示应力的方向应力的方向。L o g oL o g ov在直角坐标中，材料试样的作用面分为在直角坐标中，材料试样的作用面分为x x面、面、y y面和面和z z面。面。x x面为与面为与x x轴垂直的面，或者说轴垂直的面，或者说x x面上所有点的面上所有点的x

12、x坐标相同。坐标相同。Y Y面与面与z z面也一样，如面也一样，如图图1.41.4所示。所示。vt txxxx表示作用在表示作用在x x面上面上x x方向的应力。很明显，方向的应力。很明显，作用力作用力的方向与作用面垂直的方向与作用面垂直，被称为应力的，被称为应力的法向分量法向分量，即，即两个下标相同的分量为法向分量。两个下标相同的分量为法向分量。由这种应力产生由这种应力产生的应变为伸长或压缩的应变为伸长或压缩。vt tyxyx表示表示作用力的方向与作用面平作用力的方向与作用面平行行，即，即x x方向的应力作用在方向的应力作用在y y面上，面上，被称为应力的被称为应力的剪切分量（或切向分剪切分

13、量（或切向分量）量）。两个下标不同的应力分量。两个下标不同的应力分量被称为应力的剪切分量。被称为应力的剪切分量。L o g oL o g ov在直角坐标系中，要完整描述材料的受力情况，只在直角坐标系中，要完整描述材料的受力情况，只需了解在三个面上的应力分量，或需了解在三个面上的应力分量，或三个方向上的应三个方向上的应力矢量力矢量：v可用可用 这个数组来表示这三个方向上的应力矢量：这个数组来表示这三个方向上的应力矢量：tzzzyzxzyzyyyxyxzxyxxxttttttttt,tttzzzyzxyzyyyxxzxyxxtttttttttt L o g oL o g ov由式中由式中九个应力分

14、量组成的数组九个应力分量组成的数组称为笛卡称为笛卡尔坐标系的尔坐标系的应力张量应力张量。v上面的数组也可写成下面的张量式：上面的数组也可写成下面的张量式：v或者简单地写成：或者简单地写成：v 为三个正交独立坐标方向。为三个正交独立坐标方向。 321333231232221131211321nnntttTTTTTTTTT321321)(nnntttijT321,nnnL o g oL o g ov（T Tijij）中第一个下标）中第一个下标i i表表示力的作用面的法线方向，示力的作用面的法线方向，第二个下标第二个下标j j表示作用力表示作用力的分量序号。例如的分量序号。例如T T1212指指的是

15、作用力的是作用力t t1 1在第一个面在第一个面（x x面）上面）上n n2 2方向（方向（y y方向）方向）的分量。的分量。v图图2-22-2给出了各个给出了各个应力分量的位置关系。应力分量的位置关系。 L o g oL o g ov图中，所有图中，所有T Tijij（i ij j；i i，j =1j =1，2 2，3 3） 分量都作分量都作用在相应作用面的切线方向上，称为用在相应作用面的切线方向上，称为应力张量的剪应力张量的剪切分量切分量； 剪切力的物理实质是粘滞力或内摩擦力。剪切力的物理实质是粘滞力或内摩擦力。v而所有而所有T Tiiii（i =1i =1，2 2，3 3）分量都作用在相

16、应作用面）分量都作用在相应作用面的法线方向上，的法线方向上，称为称为应力张量的法向分量应力张量的法向分量。 法向力的物理实质是弹性力（拉力或压力）。法向力的物理实质是弹性力（拉力或压力）。v可见应力张量可完整描述粘弹性物体在流动过程中可见应力张量可完整描述粘弹性物体在流动过程中的复杂内应力状态。的复杂内应力状态。L o g oL o g ov按柯西（按柯西（CauchyCauchy）应力定律，）应力定律，在平衡时，物体所受在平衡时，物体所受的合外力与合外力矩均等于零的合外力与合外力矩均等于零。即。即平衡时，应力张平衡时，应力张量中量中沿主对角线沿主对角线对称的剪切分量应相等：对称的剪切分量应相

17、等： T Tijij= = T Tjiji（i i，j =1j =1，2 2，3 3） v这表明，这表明，平衡时应力张量为对称张量平衡时应力张量为对称张量，其中，其中只有六只有六个独立分量个独立分量。三个为法向应力分量：。三个为法向应力分量： T Tiiii （i =1i =1，2 2，3 3）；三个为剪切应力分量：三个为剪切应力分量： T T1212= = T T2121， T T1313= = T T3131， T T2323= = T T3232。只要知道这六个应力分量，就能完。只要知道这六个应力分量，就能完全描述材料的受力状态。全描述材料的受力状态。 L o g oL o g o2.1

18、.5 2.1.5 简单实验中的应力张量简单实验中的应力张量v1 1、拉伸实验、拉伸实验v拉伸实验中，在一个矩形试样的端面上施拉伸实验中，在一个矩形试样的端面上施加一个与端面垂直的力加一个与端面垂直的力f(f(图图1.21.2) )。采用笛。采用笛卡尔坐标系，很明显该应力为卡尔坐标系，很明显该应力为t txxxx： t txxxx =f/A =f/A 且且0,0,0,0,0,0,0,0,zzzyzxzyzyyyxyxzxyxxxttttttAfttttttL o g oL o g ov其应力张量为：其应力张量为：v即即 而而为常数。为常数。v此时体系处于沿此时体系处于沿x x1 1方向均匀拉伸或

19、压缩状态。方向均匀拉伸或压缩状态。0 0为拉伸，为拉伸，0 0为压缩为压缩。材料在单轴拉。材料在单轴拉伸流变场中（如纺丝过程）处于这种应力状伸流变场中（如纺丝过程）处于这种应力状态。态。00000000 xxtt0,312312332211TTTTTTL o g oL o g o2 2、各向同性的压缩、各向同性的压缩v若应力矢量若应力矢量t t无论在无论在任何方向任何方向上总是上总是与分隔与分隔面垂直面垂直，且在某给定点上的，且在某给定点上的大小与大小与分隔面分隔面的的方向无关方向无关，则说它是，则说它是各向同性各向同性的。的。v设设n n是与分隔面垂直且方向是是与分隔面垂直且方向是向外的一个

20、单向外的一个单位矢量位矢量，这种各向同性的应力可表达为，这种各向同性的应力可表达为 t tn n=-=-n np p式中，式中，p p为压力，它是正的，所以在式前加上为压力，它是正的，所以在式前加上负号，表示负号，表示t tn n的方向与的方向与n n相反，是内向的。相反，是内向的。L o g oL o g ov流体静止时内部的接触力就是这种性质。所以各流体静止时内部的接触力就是这种性质。所以各向同性的应力也称向同性的应力也称静水压应力静水压应力。固体被流体包围。固体被流体包围并处于平衡时其内部的应力也是各向同性的。并处于平衡时其内部的应力也是各向同性的。v物体在各向同性压力下能处于平衡状态物

21、体在各向同性压力下能处于平衡状态。如一个。如一个无限小的体积单元（无限小的体积单元（图图1.51.5）在）在x x轴上的力。作用轴上的力。作用在右侧面上的力在右侧面上的力fxrxr = -= -n nr rp pA A 式中，式中，n nr r为单位矢量，方向与右侧面垂直。为单位矢量，方向与右侧面垂直。v作用在左侧面上的力作用在左侧面上的力fxlxl = -= -n nl lp pA A 式中，式中，n nl l为单位矢量，为单位矢量，方向与左侧面垂直。方向与左侧面垂直。L o g oL o g ov由于由于n nl l= -= -n nr r，同时在，同时在x x轴方向上没有其他力的作用，轴

22、方向上没有其他力的作用，所以所以x x轴上的合力：轴上的合力： fxrxr + + fxlxl = 0 = 0 即该物体在即该物体在x x轴上所受的力是处于平衡状态。同样轴上所受的力是处于平衡状态。同样可证明在可证明在y y轴和轴和z z轴方向也是如此。轴方向也是如此。v在各向同性压缩实验中，应力在任何方向都与作在各向同性压缩实验中，应力在任何方向都与作用面垂直且大小相同用面垂直且大小相同，即在笛卡尔坐标中：，即在笛卡尔坐标中： t txxxx= =t tyyyy= =t tzzzz=p=p式中，式中，p p为压力。为压力。L o g oL o g ov其他切应力分量均为零，其他切应力分量均为

23、零，T Tijij=0=0（ijij）。 因此，应力张量为：因此，应力张量为： v任何静止的平衡液体，或静止或流动的无任何静止的平衡液体，或静止或流动的无粘流体都处于这种应力状态粘流体都处于这种应力状态。zzyyxxtttt000000L o g oL o g o3 3、简单剪切、简单剪切v简单剪切实验中，应力与作用面平行简单剪切实验中，应力与作用面平行。如。如图图1.61.6中，力中，力f f是作用在是作用在y y面上，方向为面上，方向为x x方向。方向。因此，该应力分量为：因此，该应力分量为：t tyxyx=f/A=f/A，式中，式中，A A为为面面ABCDABCD的面积。的面积。L o

24、g oL o g ov考察物体是否处于平衡态。设物体内一个无限小的考察物体是否处于平衡态。设物体内一个无限小的体积单元，边长分别为体积单元，边长分别为dxdx，dydy，dzdz（图图1.71.7) )。作用。作用在顶面（在顶面（y y面）上的力为面）上的力为t tyxyxdxdzdxdz，作用在底面上的，作用在底面上的力则为力则为- t- tyxyxdxdzdxdz，所以在，所以在x x方向上力是平衡的。方向上力是平衡的。但但这两个力产生一个顺时针方向的力矩这两个力产生一个顺时针方向的力矩t tyxyxdxdydzdxdydz，如，如不加以平衡，这体积单元就会向顺时针方向旋转不加以平衡，这体

25、积单元就会向顺时针方向旋转。故必须施加一个反时针方向的力矩，即在故必须施加一个反时针方向的力矩，即在x x面上施面上施加一个垂直的应力加一个垂直的应力t txyxy= =0， t txyxy ，0L o g oL o g ov这时在下面的这时在下面的x x面上有一个向上（面上有一个向上（y y轴方向）的力轴方向）的力 t txyxydydzdydz作用着（作用着（图图1.81.8) )。在。在y y轴方向上它们是平衡的轴方向上它们是平衡的但它们还产生一个反时针方向的力矩但它们还产生一个反时针方向的力矩t txyxydxdydzdxdydz。这。这时顺时针方向的总力矩时顺时针方向的总力矩dL=t

26、dL=tyxyxdxdydz- tdxdydz- txyxydxdydzdxdydzv要使该体积单元平衡，要使该体积单元平衡，总力矩总力矩dLdL必须为必须为0 0，即，即t tyxyx=t=txyxyv换句话说，换句话说，在在y y面上施加一个剪应力面上施加一个剪应力t tyxyx时，必定随之时，必定随之施加一个作用于施加一个作用于x x面上的大小相同的剪应力面上的大小相同的剪应力t txyxy，才能，才能使试样保持平衡使试样保持平衡。L o g oL o g ov因此，在简单剪切实验中，应力张量为：因此，在简单剪切实验中，应力张量为：v由上可见，在分层流动的简单剪切流场中，可能发由上可见，

27、在分层流动的简单剪切流场中，可能发生均匀剪应力（生均匀剪应力（图图2-32-3），流体的应力状态为：），流体的应力状态为：只只有剪切分量有剪切分量T T1212=T=T2121= =，= =常数，而所有其他剪切常数，而所有其他剪切分量为零。分量为零。v简单剪切流场发生在许多仪器、设备、模具内的材简单剪切流场发生在许多仪器、设备、模具内的材料流动中，是流变学研究的最重要的流动形式。料流动中，是流变学研究的最重要的流动形式。0000000yxxyttt L o g oL o g o2.1.6 2.1.6 应变张量应变张量v形变形变物体在平衡外力或外力矩作用下物体在平衡外力或外力矩作用下发生形状和尺

28、寸的变化。发生形状和尺寸的变化。v按宏观表现来分类，形变可分为简单剪切、按宏观表现来分类，形变可分为简单剪切、均匀拉伸和压缩、纯剪切、纯扭转、纯弯均匀拉伸和压缩、纯剪切、纯扭转、纯弯曲、膨胀和收缩等。实际物体的形变往往曲、膨胀和收缩等。实际物体的形变往往是这些简单形变的复杂组合。是这些简单形变的复杂组合。v高分子液体流动中发生的主要形变方式有高分子液体流动中发生的主要形变方式有剪切、拉伸、压缩及其组合剪切、拉伸、压缩及其组合。L o g oL o g ov在张量场中的速度梯度在张量场中的速度梯度, ,有九个偏导数分量，可定有九个偏导数分量，可定义如下：义如下：)4()3()2() 1 (,yU

29、zUxUzUxUyUzUyUxUzyzyyzzxzxxzyxyxxyzzzyyyxxxL o g oL o g ov其中其中: :xxxx表示表示x x方向的位移对方向的位移对x x坐标的变化率坐标的变化率，即在，即在x x方向上的伸长或压缩应变分量，方向上的伸长或压缩应变分量，yyyy与与zzzz也一样。也一样。v而而yxyx表示表示x x方向的位移相对于方向的位移相对于y y坐标的变化率，即发坐标的变化率，即发生切应变生切应变，所以，所以，yxyx称为切应变分量称为切应变分量。其他下标不。其他下标不同的分量也是切应变分量。同的分量也是切应变分量。v在这九个分量中，主对角在这九个分量中，主对

30、角三个为线应变速率三个为线应变速率( (或纵向或纵向速度梯度速度梯度) )，其余，其余六个分量为切应变速率六个分量为切应变速率( (或横向速或横向速度梯度度梯度) )。v对任意的应变，可用对任意的应变，可用xxxx，yyyy，zzzz，xyxy，yzyz ，xzxz六个应变分量（六个应变分量（偏导数分量）偏导数分量）来描述。来描述。L o g oL o g ov例：对例：对各向同性压缩各向同性压缩的试样，设直角坐标的原点在的试样，设直角坐标的原点在试样的角上，试样的各边与坐标轴一致。设物体内试样的角上，试样的各边与坐标轴一致。设物体内有任意一点，坐标为（有任意一点，坐标为（x x，y y，z

31、z），压缩后坐标变），压缩后坐标变为（为（x x，y y，z z），则），则 x x=x=x（1+1+），），yy=y=y（1+1+），），zz=z=z（1+1+）v用式（用式（1 1）（）（4 4），可发现：），可发现：v为变形的量度为变形的量度。v因此上式完全描述了在此情况下材料的变形。因此上式完全描述了在此情况下材料的变形。0 xzyzxyzzyyxxL o g oL o g ov对于对于简单拉伸实验简单拉伸实验，设笛卡尔坐标的原点在物体，设笛卡尔坐标的原点在物体的中心，物体的各边与坐标轴平行，的中心，物体的各边与坐标轴平行，x x轴为拉伸方轴为拉伸方向。物体内一个质点在拉伸前的坐标为（

32、向。物体内一个质点在拉伸前的坐标为（x x，y y，z z），拉伸后坐标变为（），拉伸后坐标变为（x x，y y，z z）。）。v从前面讨论知道：从前面讨论知道： x x=x=x（1+1+），），yy=y=y（1-1-），），zz=z=z（1-1-）v因此因此xyxy=yzyz =xzxz=0 =0 xxxx= yyyy=zzzz=-=-L o g oL o g ov对于对于简单剪切实验简单剪切实验： x x=x+=x+y y， yy=y=y， zz=z=zv不等于不等于0 0的应变分量为的应变分量为xyxy=yxyx =v以上是简单的例子，应变与质点的位置无关，即以上是简单的例子，应变与质点

33、的位置无关，即变形是均匀的。由上述例子可见，在一般情况下，变形是均匀的。由上述例子可见，在一般情况下，应变分量应变分量xxxx，yyyy，zzzz 表示长度的分数变化表示长度的分数变化（分别沿（分别沿x x，y y，z z轴的方向）。轴的方向）。v体积的分数变化可用膨胀分数体积的分数变化可用膨胀分数表示表示： = = xxxx+ + yyyy+ + zzzzv如对如对各向同性膨胀，各向同性膨胀，=3=3。L o g oL o g o2.1.7 2.1.7 均质性和各向同性均质性和各向同性v如果材料的性质是均匀的，即其性质与采试样的部如果材料的性质是均匀的，即其性质与采试样的部位无关，它是均质的

34、；反之则是非均质的。位无关，它是均质的；反之则是非均质的。v一种材料是否均质取决于实验的规模一种材料是否均质取决于实验的规模。如与碳黑混。如与碳黑混炼而成的橡胶在电子显微镜下观察，它是非均质的，炼而成的橡胶在电子显微镜下观察，它是非均质的，但在宏观实验中的橡胶试片则完全可认为是均质的。但在宏观实验中的橡胶试片则完全可认为是均质的。v从原子、分子的规模来看，任何材料都是非均质的。从原子、分子的规模来看，任何材料都是非均质的。但在许多宏观的实验中，这种非均质性可忽略，因但在许多宏观的实验中，这种非均质性可忽略，因物体的尺寸和仪器的测量精度都不是在原子或分子物体的尺寸和仪器的测量精度都不是在原子或分

35、子规模上。规模上。L o g oL o g ov如果材料的性质与方向无关，称之为各向同如果材料的性质与方向无关，称之为各向同性性。从一块橡胶板上截取试样，如果从不同。从一块橡胶板上截取试样，如果从不同方向截取拉伸试验的试样，其性质相同，它方向截取拉伸试验的试样，其性质相同，它就是各向同性的，反之则是各向异性的。就是各向同性的，反之则是各向异性的。v流体在静止时是各向同性流体在静止时是各向同性的。固体可以是各的。固体可以是各向同性的，也可以是各向异性的。例如单晶，向同性的，也可以是各向异性的。例如单晶，其力学性能取决于所施加的力与晶轴所成的其力学性能取决于所施加的力与晶轴所成的角度。但角度。但多

36、晶体通常被认为是各向同性的。多晶体通常被认为是各向同性的。L o g oL o g o2.2 2.2 线性弹性线性弹性 v2.2.12.2.1虎克定律与弹性常数虎克定律与弹性常数v虎克定律表示材料在受力时应力虎克定律表示材料在受力时应力与应变与应变之间存在之间存在线性关系式线性关系式: :=K=K 式中，式中，K K称为弹性常数。因此，称为弹性常数。因此，线性弹性也称为虎克线性弹性也称为虎克弹性弹性。上式是。上式是线性弹性的本征方程线性弹性的本征方程。v1 1、拉伸或单轴压缩拉伸或单轴压缩v在拉伸实验中，材料在受拉应力在拉伸实验中，材料在受拉应力作用下产生长度方作用下产生长度方向（向（纵向纵向

37、）的应变）的应变，根据虎克定律：，根据虎克定律：=E=Ev式中式中，E E为常数，称为为常数，称为杨氏模量杨氏模量或拉伸弹性模量。简或拉伸弹性模量。简称称拉伸模量拉伸模量。L o g oL o g ovE E表示材料的刚性表示材料的刚性。E E越大，产生相同的应变越大，产生相同的应变需要需要的应力的应力越大，即材料不易变形，刚性高越大，即材料不易变形，刚性高。vE E的倒数的倒数D D称为称为拉伸柔量拉伸柔量： D=1/E D=1/E =D=D D D越大表示材料越易变形，刚性低越大表示材料越易变形，刚性低。v在拉伸实验中，两侧边长度（在拉伸实验中，两侧边长度（横向横向）变小，其变化）变小，其

38、变化分数为分数为-，也与所加应力也与所加应力正比。正比。v在流变学中采用另一个弹性常数在流变学中采用另一个弹性常数( (泊松比泊松比) )来表示来表示侧边变形的大小：侧边变形的大小： = =（横向应变（横向应变/ /纵向应变）纵向应变）=/=/ 它也是由材料性质决定的。它也是由材料性质决定的。v可见，在拉伸实验中，要描述材料的流变行为需要可见，在拉伸实验中，要描述材料的流变行为需要两个常数，即两个常数，即E E和和。L o g oL o g o常见材料的泊松比常见材料的泊松比泊松比数值泊松比数值解解 释释0.5不可压缩或拉伸中无体积变化不可压缩或拉伸中无体积变化0.0没有横向收缩没有横向收缩0

39、.490.499橡胶的典型数值橡胶的典型数值0.200.40塑料的典型数值塑料的典型数值L o g oL o g o2 2、各向同性压缩、各向同性压缩v在各向同性压缩实验中，材料的在各向同性压缩实验中，材料的应变应变为其体为其体积的变化分数积的变化分数V/VV/V。所加。所加应力应力用压力用压力P P来表来表示，则示，则P=-KP=-KV/VV/V 式中，式中，K K为弹性常数，称为为弹性常数，称为体积模量体积模量。 其倒数其倒数B B称为称为体积柔量体积柔量：B=1/K B=1/K V/V=-BPV/V=-BPv由于由于V/V=3V/V=3，故，故P=-3KP=-3K 式中，式中，为各边边长

40、的应变。为各边边长的应变。L o g oL o g o3 3、简单剪切实验、简单剪切实验v简单剪切实验中，材料发生简单剪切实验中，材料发生切应变切应变： =G=G 式中，式中，G G为弹性常数，称为剪切模量为弹性常数，称为剪切模量。 其倒数其倒数J J称为剪切柔量称为剪切柔量：J=1/G J=1/G =J=JL o g oL o g o2.2.2 2.2.2 线性弹性变形的特点线性弹性变形的特点v假定在材料试样上瞬间施加一个应力假定在材料试样上瞬间施加一个应力0 0，然后保持不变，再在某时刻然后保持不变，再在某时刻移除应力。移除应力。现来看线性弹性的特点（现来看线性弹性的特点（图图2.12.1

41、) )。L o g oL o g ov1 1、变形小变形小v在线性弹性变形中，在线性弹性变形中，只涉及聚合物分子中只涉及聚合物分子中化学键的拉伸、键角变化和键的旋转化学键的拉伸、键角变化和键的旋转。因。因此，其变形量很小，变形时不涉及链段的此，其变形量很小，变形时不涉及链段的运动或整个分子链的位移。运动或整个分子链的位移。v2 2、变形无时间依赖性变形无时间依赖性v变形是瞬间发生变形是瞬间发生的，且不随时间而变化。的，且不随时间而变化。L o g oL o g ov3 3、变形在外力移除后完全回复变形在外力移除后完全回复v变形能完全回复，且也是变形能完全回复，且也是瞬时完成瞬时完成的，无时的，

42、无时间依赖性。间依赖性。v4 4、无能量损失无能量损失v外力在变形时转化成材料的内能贮存起来。外力在变形时转化成材料的内能贮存起来。外力释放后，内能释放使材料完全回复。在外力释放后，内能释放使材料完全回复。在整个变形和回复过程中无能量损失。因此，整个变形和回复过程中无能量损失。因此，线性弹性也称为能弹性线性弹性也称为能弹性。v5 5、应力与应变成线性关系应力与应变成线性关系：=E=EL o g oL o g o2.2.3 2.2.3 弹性常数之间的关系弹性常数之间的关系v前面定义的四个弹性常数：前面定义的四个弹性常数：杨氏模量杨氏模量E E，体积模量，体积模量K K，剪切模量，剪切模量G G，

43、泊松比，泊松比，并不是相互独立的，并不是相互独立的，而是相互有一定的关系。事实上而是相互有一定的关系。事实上只有两个是独立只有两个是独立的的，要表征一个材料的线性弹性只需其中两个就，要表征一个材料的线性弹性只需其中两个就足够了。足够了。vK K，E E，G G和和必须大于必须大于0 0 0 00.50.5， 2 2E/GE/G3 3v=0.5=0.5时，时，E=3GE=3G，K=K=，材料为理想不可压缩体，材料为理想不可压缩体v应变没有量纲，是纯数。模量与应力有相同的量应变没有量纲，是纯数。模量与应力有相同的量纲，即单位面积上的力。纲，即单位面积上的力。L o g oL o g o四种弹性模量

44、间的关系四种弹性模量间的关系各向同性材料各向同性材料:泊松比泊松比 : 在拉伸实验中，材料横在拉伸实验中，材料横向应变与纵向应变之比值的负数向应变与纵向应变之比值的负数00Tmmvll )21 (3)1 (2KGE只有两个弹性常数是独立的只有两个弹性常数是独立的L o g oL o g o2.2.4 2.2.4 聚合物的弹性模量聚合物的弹性模量v1 1、弹性模量谱弹性模量谱v聚合物与其他材料相比，很明显的特点：是在室温时聚合物与其他材料相比，很明显的特点：是在室温时它们的它们的弹性模量范围很宽，弹性模量范围很宽，因此用途广泛。因此用途广泛。图图2.22.2为为弹性模量谱弹性模量谱, ,可见聚合

45、物的模量可相差可见聚合物的模量可相差3 34 4个数量级。个数量级。L o g oL o g ov玻璃态高聚物的弹性为玻璃态高聚物的弹性为10103 31010PaPa数量数量级，如酚醛塑料：级，如酚醛塑料：E= 10E= 104 4PaPa 密胺塑料：密胺塑料：E=1.4E=1.4 1010PaPa 聚氯乙烯聚氯乙烯( (硬质硬质): E=4.9): E=4.9 10103 3PaPav橡胶和弹性体的模量为橡胶和弹性体的模量为E=0.1E=0.1 1 1Pa,Pa,比玻比玻璃态聚合物低璃态聚合物低3 34 4个数量级。个数量级。L o g oL o g o2 2、聚合物弹性模量与温度的关系、

46、聚合物弹性模量与温度的关系v温度对体积模量的影温度对体积模量的影响较小响较小，低于玻璃化，低于玻璃化温度和高于玻璃化温温度和高于玻璃化温度的度的K K相差仅两倍左右，相差仅两倍左右，在同一数量级。在同一数量级。v拉伸和剪切模量的温拉伸和剪切模量的温度依赖性则很大度依赖性则很大。图图2.32.3为无定形线性聚合为无定形线性聚合物的拉伸模量与温度物的拉伸模量与温度的关系。的关系。L o g oL o g ov由图可见，在温度低于由图可见，在温度低于T Tg g时聚合物处于玻时聚合物处于玻璃态，其模量的数量级为璃态，其模量的数量级为10103 3PaPa。在玻璃。在玻璃化转变区，模量从化转变区，模量

47、从10103 3PaPa降低到降低到1 1PaPa，变，变化了近化了近10001000倍。倍。v在在T Tg g与与T Tf f（粘流温度）之间出现一个（粘流温度）之间出现一个橡胶坪橡胶坪台台，模量的数量级为，模量的数量级为10100 0PaPa。坪台随温度坪台随温度升高略有下降升高略有下降。在。在T Tf f以上的温度，模量急剧以上的温度，模量急剧下降。下降。L o g oL o g o交联聚合物的拉伸模量与温度的关系交联聚合物的拉伸模量与温度的关系v如如图图2.42.4所示。由于所示。由于交联结构，它不发交联结构，它不发生流动生流动。温度超过。温度超过其分解温度其分解温度T Td d时，时

48、，它发生分解。在坪它发生分解。在坪台区其拉伸模量为台区其拉伸模量为10100 0PaPa数量级，并数量级，并随温度升高略有增随温度升高略有增大，这正是大，这正是橡胶弹橡胶弹性的特征性的特征。L o g oL o g o结晶性线性聚合物的拉伸模量与温度的关系结晶性线性聚合物的拉伸模量与温度的关系v如如图图2.52.5所示。所示。其形状与无定其形状与无定型聚合物类似，型聚合物类似，其区别是其区别是橡胶橡胶坪台区较宽，坪台区较宽，模量较高模量较高，这，这是由于微晶的是由于微晶的存在起物理交存在起物理交联作用。联作用。L o g oL o g o3 3、模量的分子量依赖性、模量的分子量依赖性v如如图图

49、2.62.6所示，无定型所示，无定型线性高聚物的线性高聚物的分子量分子量越高越高（图中分子量高（图中分子量高低的次序为低的次序为A AB BC C），），橡胶坪台区越宽橡胶坪台区越宽。但。但坪台区的模量及玻璃坪台区的模量及玻璃化温度不因分子量增化温度不因分子量增大而变化。大而变化。L o g oL o g o4 4、交联度对拉伸模量的影响、交联度对拉伸模量的影响v如如图图2.72.7所示，所示，交联交联度增加，橡胶坪台度增加，橡胶坪台的模量和玻璃化温的模量和玻璃化温度随着上升度随着上升，且，且玻玻璃化转变区加宽璃化转变区加宽。v交联度增加时，橡交联度增加时，橡胶坪台的宽度和分胶坪台的宽度和分解

50、温度保持不变。解温度保持不变。L o g oL o g o5 5、结晶度的影响、结晶度的影响vT Tg g和和T Tm m不受结晶不受结晶度影响；结晶度影响；结晶度的提高，度的提高，橡橡胶坪台升高，胶坪台升高，结晶起物理交结晶起物理交联作用，见联作用，见 （图图2.82.8) )。L o g oL o g o2.2.5 2.2.5 线弹性的适用范围线弹性的适用范围v只有在变形很小时，下列材料才符合线弹只有在变形很小时，下列材料才符合线弹性理论。性理论。v1 1）陶瓷陶瓷：绝大部分适用，只要应力小于破：绝大部分适用，只要应力小于破坏极限值。坏极限值。v2 2）金属金属：在低于熔点温度时或应变较大

51、时，：在低于熔点温度时或应变较大时，出现非线性弹性，应变很大时出现塑性和出现非线性弹性，应变很大时出现塑性和断裂；在精确的实验中有些金属出现蠕变，断裂；在精确的实验中有些金属出现蠕变，即与时间有关的变形；在动态试验中，可即与时间有关的变形；在动态试验中，可观察到阻尼衰减。观察到阻尼衰减。v3 3）结晶体结晶体：原子、离子或分子晶体。：原子、离子或分子晶体。L o g oL o g ov4 4）玻璃态材料玻璃态材料：低于玻璃化温度时的聚合物低于玻璃化温度时的聚合物；在；在动态试验中可能出现粘弹性（线性或非线性）；应动态试验中可能出现粘弹性（线性或非线性）；应力很高时出现塑性或断裂。力很高时出现塑

52、性或断裂。v交联聚合物即使在温度比玻璃化温度高许多时仍符交联聚合物即使在温度比玻璃化温度高许多时仍符合线弹性合线弹性。在时间较长的试验中出现粘弹性，应变。在时间较长的试验中出现粘弹性，应变较大时出现非线性弹性，应力很高时可能断裂。较大时出现非线性弹性，应力很高时可能断裂。v线型的支链聚合物在温度比线型的支链聚合物在温度比T Tg g高许多时在各向同性高许多时在各向同性压缩实验中仍符合线弹性压缩实验中仍符合线弹性。在其他实验（拉伸，剪。在其他实验（拉伸，剪切）中，会出现线性粘性、非线性稳定流动、粘弹切）中，会出现线性粘性、非线性稳定流动、粘弹性等，如压力很大，可能出现非线性弹性。性等，如压力很大

53、，可能出现非线性弹性。L o g oL o g o v几乎所有聚合物在受瞬间应力作用时都符几乎所有聚合物在受瞬间应力作用时都符合线弹性合线弹性。v浓的悬浮体在受较小的切应力时也符合线浓的悬浮体在受较小的切应力时也符合线弹性，应力较大时出现非牛顿流动及其他弹性，应力较大时出现非牛顿流动及其他复杂的性状。复杂的性状。L o g oL o g o2.2.6 2.2.6 线弹性变形的热力学分析线弹性变形的热力学分析v讨论弹性力与内能的关系讨论弹性力与内能的关系。弹性力的产生是弹性力的产生是由于外力作功而产生由于外力作功而产生。v弹性力为弹性力为t txxxx主要由两部分组成：主要由两部分组成： t t

54、xxxx= t= txxxxU U + t + txxxxS Sv其中：第一项表示内能变化对弹性力的贡献，其中：第一项表示内能变化对弹性力的贡献，第二项表示熵变化对弹性力的贡献。第二项表示熵变化对弹性力的贡献。L o g oL o g ov实验证明，在线弹性范围内，实验证明，在线弹性范围内，保持不变时，保持不变时，t txxxx随温度几乎不变，随温度几乎不变，t txxxxS S很小。所以，很小。所以，线弹线弹性变形时产生的弹性力主要是由于内能的变性变形时产生的弹性力主要是由于内能的变化化，也即由于键角的改变、键的拉伸和旋转，也即由于键角的改变、键的拉伸和旋转而引起内能的变化而产生，而不是熵变

55、产生而引起内能的变化而产生，而不是熵变产生的。线弹性也称为的。线弹性也称为能弹性能弹性。L o g oL o g o2.2.7 2.2.7 聚合物的体积模量聚合物的体积模量v1 1、在高于、在高于T Tg g和和T Tm m时的体积模量时的体积模量v表表2.62.6为某些材料为某些材料的体积模量。由的体积模量。由表可见表可见K K的数量级的数量级为为10103 3PaPa。在某。在某些加工设备中，些加工设备中，如注塑机中，压如注塑机中，压力可引起高达力可引起高达10%10%的体积变化。注的体积变化。注塑机可用来测量塑机可用来测量体积模量。体积模量。L o g oL o g o2 2、玻璃态无定

56、形聚合物的体积模量、玻璃态无定形聚合物的体积模量v表表2.72.7为某些聚合物在玻璃态时的为某些聚合物在玻璃态时的K K值。由表值。由表可见，可见，低于低于T Tg g时的时的K K比高于比高于T Tg g时的时的K K大。大。L o g oL o g ov3 3、结晶聚合物的体积模量、结晶聚合物的体积模量K Kv结晶聚合物的结晶聚合物的K K与无定形聚合物接近，数量与无定形聚合物接近，数量级也是级也是10103 3Pa Pa 。结晶度越高，结晶度越高，K K越大越大。v4 4、偏离线弹性的情况、偏离线弹性的情况v当压力很高时会出现非线性弹性当压力很高时会出现非线性弹性，在用各，在用各种加压速

57、度或频率时也会出现粘弹性，即种加压速度或频率时也会出现粘弹性，即时间依赖性。时间依赖性。L o g oL o g o2.2.8 2.2.8 结晶聚合物结晶聚合物v某些聚合物能部分结晶，结晶度取决于聚某些聚合物能部分结晶，结晶度取决于聚合物的分子结构以及结晶条件等因素。结晶合物的分子结构以及结晶条件等因素。结晶聚合物是由无定形区和结晶区构成。聚合物是由无定形区和结晶区构成。v结晶区又由无数很小的微晶组成，这些微结晶区又由无数很小的微晶组成，这些微晶是由规整排列的分子形成的，因此，晶是由规整排列的分子形成的，因此，微晶微晶具有方向性，是各向异性的具有方向性，是各向异性的。但整个结晶聚。但整个结晶聚

58、合物是由合物是由具有各种方向具有各种方向的微晶及无定形部分的微晶及无定形部分构成，所以是构成，所以是各向同性各向同性的。的。L o g oL o g o1 1、聚合物微晶的弹性模量的测定、聚合物微晶的弹性模量的测定v聚合物微晶具有方向性，所以，在链的方向及聚合物微晶具有方向性，所以，在链的方向及链垂直的方向上的抗拉弹性模量不同。链垂直的方向上的抗拉弹性模量不同。v当应力的方向与链的方向一致时，形变是由于当应力的方向与链的方向一致时，形变是由于键的拉直产生的，这时的抗拉弹性模量较高，键的拉直产生的，这时的抗拉弹性模量较高，用用E E1 1表示表示。v当应力方向与链垂直，形变是由于当应力方向与链垂

59、直，形变是由于分子链之间分子链之间距离拉长距离拉长产生，分子间力小于化学键力，所以，产生，分子间力小于化学键力，所以，抗拉弹性模量抗拉弹性模量E E2 2要比要比E E1 1小得多。小得多。L o g oL o g ov对高度定向的聚乙烯纤维其对高度定向的聚乙烯纤维其E E1 1值在值在24024010103 3MPaMPa，已，已接近钢材的接近钢材的E E值，比各向同性的聚乙烯大值，比各向同性的聚乙烯大100100倍。而其倍。而其他聚合物微晶他聚合物微晶E E1 1在在3.63.610103 34.14.110103 3MPaMPa之间。具有之间。具有锯齿形结构的微晶具有更高的模量。锯齿形结

60、构的微晶具有更高的模量。v聚乙烯的聚乙烯的E E2 2值则在值则在2 210103 39 910103 3MPaMPa范围范围内。内。分子间力越大，分子间力越大，E E2 2越高越高，图图2.152.15说明这一说明这一点。点。L o g oL o g o2 2、结晶聚合物的弹性模量、结晶聚合物的弹性模量v1 1）与结晶度的关系与结晶度的关系 同一聚合物的同一聚合物的E E随结晶随结晶度增大而升高。不同的聚合物，度增大而升高。不同的聚合物，E E对结晶度对结晶度的依赖性不同，则的依赖性不同，则E E随结晶度增大的倍数不随结晶度增大的倍数不同。同。L o g oL o g o2 2）温度依赖性）