相似三角形的性质(高-中-角-周-面)

1、1. 相似三角形的判定方法：相似三角形的判定方法： 对应角相等，对应角相等， 对应边成比例对应边成比例相似三角形还有哪些性质？相似三角形还有哪些性质？2. 相似三角形的性质：相似三角形的性质：3.如图如图,P是是AB上一点上一点,补充下列条件补充下列条件: (1) ACP=B; (2)APC=ACB;其中一定能使其中一定能使 ACP ABC的是的是( ) (A) (1) (2) (3) (4) (B) (1) (2) (3) (C) (3) (D) (1) (2) (4) ;3BCPCACAP .4ABACACAPABCPD高高角平分线角平分线中线中线思思考考？ABCABCDD探究探究1 如图

2、，如图，ABCABC，相似比为，相似比为k，它们对，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？如图，分别作如图，分别作ABC和和ABC的对应高的对应高AD和和ADBBkBAABDAAD 则则ADB =ADB.ABCABCABDABD相似三角形对应高的比等于相似比相似三角形对应高的比等于相似比. . 如图，如图，ABCABC，相似比为，相似比为k，它们对，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？探究探究1ABCEABCE如图，分别作如图，分别作ABC和和 ABC的对应中线的对应中线AE和和AE， k

3、EAAE 猜猜想想你能类比前你能类比前面的方法证面的方法证明吗？明吗？相似三角形对应中线的比等于相似比相似三角形对应中线的比等于相似比. . 如图，如图，ABCABC，相似比为，相似比为k，它们对，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？探究探究1ABCFABCF如图，分别作如图，分别作ABC和和 ABC的对应角平分线的对应角平分线AF和和AFkFAAF 猜猜想想你能类比前你能类比前面的方法证面的方法证明吗？明吗？相似三角形对应角平分线的比等于相似比相似三角形对应角平分线的比等于相似比. .ABCABC相似三角形相似三角形的周长有什的周长有什么

4、关系？么关系？相似三角形对应线段的比等于相似比相似三角形对应线段的比等于相似比. .相似三角形对应高的比，对应中线的相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比比，对应角平分线的比都等于相似比. .知识要点知识要点kCCCBAABC 猜想猜想探究探究2 1、如图，、如图，ABCABC ，相似比为，相似比为k，求它，求它们周长的比们周长的比.ABCABC相似三角形周长的比等于相似比相似三角形周长的比等于相似比. .kACCACBBCBAAB , , ACkCACBkBCBAkAB kACCBBAAkCCkBBkAACCBBACABAABllCBAABC ABCABC2、如图，

5、、如图，ABCA1B1C1，相似比为，相似比为k，它们，它们面积的比与相似比有什么关系？面积的比与相似比有什么关系？思思考考？1111BCADkBCADA1B1C1ABC相似三角形面积的比等于相似比的平方相似三角形面积的比等于相似比的平方.DD1SABCSA1B1C1=12BC AD111112BCAD=kk= k21111DAADCBBC 如图，分别作如图，分别作ABC和和 A1B1C1的的对应高对应高AD和和A1D1 通过前面的思考、探索、推理，我们得到通过前面的思考、探索、推理，我们得到相似三角形有如下性质；相似三角形有如下性质； 相似三角形对应高的比、对应中线的比、相似三角形对应高的比

6、、对应中线的比、对应角平分线的比、周长的比等于相似比。对应角平分线的比、周长的比等于相似比。相似三角形面积的比等于相似比的平方。相似三角形面积的比等于相似比的平方。1.判断判断（1）一个三角形的各边长扩大为原来的）一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个倍，这个三角形的周长也扩大为原来的三角形的周长也扩大为原来的5倍；（倍；（ ）（2）一个四边形的各边长扩大为原来的）一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个倍，这个四边形的面积也扩大为原来的四边形的面积也扩大为原来的9倍（倍（ ）练习练习（1）一个三角形各边扩大为原来）一个三角形各边扩大为原来5倍，相似比为倍，相似比为1：51 55原周长扩大

7、倍周长扩大扩大5倍周长倍周长5原周长原周长解：解：一个四边形各边扩大为原来一个四边形各边扩大为原来9倍，相似比为倍，相似比为1：92199SS原四边形扩大 倍四边形边长扩大边长扩大9倍四边形倍四边形81倍原四边形的的面积倍原四边形的的面积（2）一个四边形的各边长扩大为原来的）一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个四边倍，这个四边形的面积也扩大为原来的形的面积也扩大为原来的9倍倍例例1.如图，在如图，在ABC和和DEF中，中，AB2DE，AC2DF，AD，若，若ABC的边的边BC上的高为上的高为6，面积为，面积为 ，求求DEF的边的边EF上的高和面积上的高和面积解：在解：在ABC和和DEF中，

8、中， AB2DE，AC2DF21 ACDFABDE又又 DA DEFABC，相似比为，相似比为21ABCDEF512ABC的边的边BC上的高为上的高为6，面积为，面积为512DEF的边的边EF上的高为上的高为 ，面积为面积为53512212 ）（3621 例例2：如图，：如图，ABCABC，它们的周长分别是，它们的周长分别是60厘厘米和米和72厘米，且厘米，且AB=15厘米，厘米，BC=24厘米。求：厘米。求：BC、AC、AB、AC。CBACBA解：因为解：因为ABCABC所以所以ABBCABBC6072又又 AB=15厘米厘米 BC=24厘米厘米 所以所以 AB=18厘米厘米 BC=20厘米

9、厘米 故故 AC=601520=25（厘米）（厘米）AC=721824=30（厘米）（厘米） 1. 1.已知已知ABCABC与与AAB BC C的相似比为的相似比为2 2：3 3，则，则周长比为周长比为 ，对应边上中线之比，对应边上中线之比 ，面积，面积之比为之比为 。 2. 2. 如果两个相似三角形的面积之比为如果两个相似三角形的面积之比为1:91:9，则，则它们对应边的比为它们对应边的比为_，对应角平分线的比，对应角平分线的比为为_ _ ，周长的比为，周长的比为_ _ 。 3. 3. 如果两个相似三角形的面积之比为如果两个相似三角形的面积之比为2:72:7，较，较大三角形一边上的高为大三角

10、形一边上的高为7 7，则较小三角形对应边，则较小三角形对应边上的高为上的高为_ _ 。1:31:31:3142:32:34:94、已知、已知ABCA B C ，AD、A D 分别分别是对应边是对应边BC、B C 上的高，若上的高，若BC8cm,B C 6cm,AD4cm,则则A D 等于（等于（ ）A 16cm B 12 cm C 3 cm D 6 cm 5、两个相似三角形对应高的比为、两个相似三角形对应高的比为3 7，它们的，它们的对应角平分线的比为（对应角平分线的比为（ ）A 7 3 B 49 9 C 9 49 D 3 7CD6.把一个三角形变成和它相似的三角形，把一个三角形变成和它相似的

11、三角形，（1）如果边长扩大为原来的）如果边长扩大为原来的5倍，那么面积扩大为原来的倍，那么面积扩大为原来的_倍。倍。（2）如果面积扩大为原来的）如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为原来的倍，那么边长扩大为原来的_倍。倍。7.两个相似三角形的一对对应边分别是两个相似三角形的一对对应边分别是35厘米和厘米和14 厘米，厘米，（1）它们的周长差）它们的周长差60厘米，这两个三角形的周长分别是厘米，这两个三角形的周长分别是。（2）它们的面积之和是）它们的面积之和是58平方厘米，这两个三角形的面积分平方厘米，这两个三角形的面积分别是别是_。8.如图，如图，ABC是一块锐角三角形余料，边是一块锐角

12、三角形余料，边BC=120毫米，高毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？上，这个正方形零件的边长是多少？NMQPEDCBA解：解：设正方形设正方形PQMN是符合要求的零件，是符合要求的零件，边长为边长为x毫米。毫米。 ABC的高的高AD与与PN相交于相交于点点E。因为因为PNBC，所以，所以APN ABC所以所以AEAD=PNBC因此因此 ，得，得 x=48（毫米）。答：（毫米）。答：-。80 x80=x120 9.已知梯形已知梯形A

13、BCD中，中， ADBCBC，对角线，对角线ACAC、BDBD交于点交于点O O，若若AODAOD的面积为的面积为4cm4cm2 2, , BOCBOC的面积为的面积为9cm9cm2 2, , 则梯形则梯形ABCDABCD的面积为的面积为_cm_cm2 2ABCDO解解:AODAODCOB SCOB SAOD:SAOD:SCOB=4:9COB=4:9OD:OB=2:3OD:OB=2:3SSAOD:SAOD:SAOB=2:3AOB=2:3SSAOB=6cmAOB=6cm2 2梯形的面积为梯形的面积为25cm25cm2 2ADBCADBC2531516181BAEDCFB小结：小结：一、相似三角形的性质一、相似三角形的性质相似三角形的对应角相等相似三角形的对应角相等, ,对应边成比例对应边成比例. .相似三角形对应中线的比相似三角形对应中线的比, ,对应角平分线的对应角平分线的 比，对应高的比比，对应高的比, ,对应周长的比都等于相似比对应周长的比都等于相似比. .相似三角形面积的比等于相似比的平方相似三角形面积的比等于相似比的平方. . 二二.相似三角形的判定方法相似三角形的判定方法定理定理1 1 两角对应相等的两个三角形相似两角对应相等的两个三角形相似. .推论推论1 1 平行于三角形