辽宁石油化工大学化工自动化及仪表第3章 被控对象特性及数学模型

1、第第3 3章章 被控对象特性与数学模型被控对象特性与数学模型3.1 石油加工对象的特点及其描述方法3.2 对象数学模型的建立3.3 描述对象特性的参数3.1 石油加工对象的特点及其描述方法 在化工自动化中，常见的对象有各类换热器、精馏塔、流体输送设备和化学反应器等，此外，在一些辅助系统中，气源、热源及动力设备（如空压机、辅助锅炉、电动机等）也可能是需要控制的对象。本章着重研究连续生产过程中各种对象的特性，因此有时也称研究过程的特性。 所谓研究对象的特性对象的特性，就是用数学的方法来描述出对象输入量与输出量之间的关系，这种对象特性的数学描述就称为对象的数学模型数学模型。 在建立对象数学模型（建模

2、）时，一般将被控变量看作对象的输出量，也叫输出变量输出变量，而将干扰作用和控制作用看作对象的输入量，也叫输入变量输入变量。干扰作用和控制作用都是引起被控变量变化的因素，从控制的角度看，输入变量就是操纵变量（控制变量）和扰动变量，输出变量就是被控变量，如图3-1所示。由对象的输入变量至输出变量的信号联系称为通道通道，控制作用至被控变量的信号联系称为控制通道控制通道；干扰作用至被控变量的信号联系称为干扰通道干扰通道。在研究对象特性时，应预先指明对象的输入量是什么，输出量是什么，因为对于同一个对象，不同通道的特性可能是不同的。 干扰变量控制变量被控变量图3-1 对象的输入输出量示意图 工业过程的数学

3、模型可分为动态数学模型和静态数学模型。动态数学动态数学模型模型是表示输出变量与输入变量之间随时间而变化的动态关系的数学描述。动态数学模型在对动态过程的分析和控制中起着举足轻重的作用，可用于各类自动控制系统的设计和分析，以及工艺设计和操作条件的分析和确定。静态数学模型静态数学模型是描述输出变量与输入变量之间不随时间而变化的数学关系。 数学模型的表达形式主要有两大类：一类是非参量形式，称为非参量模型；另一类是参量形式，称为参量模型。 1. 非参量模型 当数学模型是采用曲线或数据表格等来表示时，称为非非参量模型参量模型。 非参量模型可以通过记录实验结果来得到，有时也可以通过计算来得到，它的特点是形象

4、、清晰，比较容易看出其定性的特征。但是，由于它们缺乏数学方程的解析性质，要直接利用它们来进行系统的分析和设计往往比较困难，必要时，可以对它们进行一定的数学处理来得到参量模型的形式。 2. 参量模型 当数学模型是采用数学方程式来描述时，称为参量模型参量模型。 对象的参量模型可以用描述对象输入、输出关系的微分方程式、偏微分方程式、状态方程、差分方程等形式来表示。 )t ( x)t ( y 对于线性的集中参数对象，通常可用常系数线性微分方程来描述，如果以 表示输入量，特性可用下列微分方程式来描述 表示输出量，则对象)t ( x)t ( ya)t (ya)t (ya)t (ya)n(n)n(n0111

5、（3-1） 一个对象如果可以用一个一阶微分方程式来描述其特性（通常称一阶对象），则可表示为 )t ( x)t ( ya)t (ya01 （3-2） 或表示成 )t (Kx)t ( y)t (yT（3-3） 式中 01aaT 01aK ，称为时间常数； ，称为放大系数。 以上方程式中的系数以及T、K等都可以认为是相应的参量模型中的参量，他们与对象的特性有关，一般需要通过对象的内部机理分析或大量的实验数据处理才能得到。 3.2 对象数学模型的建立 在工业控制过程中，建立被控对象的数学模型的目的主要有以下几种。（1）进行工业过程优化操作。（2）控制系统方案的设计和仿真研究。（3）控制系统的调试和控制

6、器参数的整定。（4）工业过程的故障检测与诊断。（5）制订大型设备启动和停车操作方案。（6）设计工业过程操作人员的培训系统。（7）作为模型预测控制等先进控制方法的数学模型。 3.2.1 机理分析法建模 机理建模机理建模是根据对象或生产过程的内部机理，列写出各种有关的平衡方程，如物料平衡方程、能量平衡方程、动量平衡方程、相平衡方程以及某些物性方程、设备的特性方程、化学反应定律、电路基本定律等，从而获取对象（或过程）的数学模型，这类模型通常称为机理模型。机理法建模的具体步骤如下：（1）根据实际情况确定系统的输入、输出以及中间变量，搞清各变量之间的关系；（2）做出合乎实际的假设，以便忽略一些次要因素，

7、使问题简化；（ 3）根据支配运动特性的基本规律，列出各部分的原始方程；（4）消去中间变量，写出只有输入变量和输出变量的微分方程；（5）对微分方程进行标准化处理。 1. 一阶对象的数学模型 下面通过一些简单的例子来讨论一阶对象及积分对象机理建模的方法。 1）水槽对象 图3-2是一个水槽，水经过阀门1不断地流入水槽，水槽内的水又通过阀门2不断流出。工艺上要求水槽的液位h保持一定数值。hA1Q2Q12图3-2 水槽对象示意图 水槽就是被控对象，液位h就是被控变量。如果阀门2的开度保持不变，而阀门1的开度变化是引起液位变化的干扰因素，那么，这里所指的对象特性，就是指当阀门1的开度变化时，液位h是如何变

8、化的。在这种情况下，对象的输入量是流入水槽的流量Q1，对象的输出量是液位h。下面推导表征h与Q1之间的关系的数学表达式。 1Q2Q以图3-2的水槽对象为例，截面积为A的水槽，当流入等于流出水槽的流量状态,即静态，这时液位h保持不变。 水槽的流量时，系统处于平衡、1Q2Q在用微分方程式来描述对象特性时，往往着眼于、h都代表他们偏离初始一些量的变化，而不注重这些量的初始值，所以下面在推导方程的过程中，假定平衡状态的变化值。 1Q2Q 如果在很短一段时间dt内，由于不等于变化了dh，此时，流入和流出水槽的水量之差为 ，引起液位dtdhAQQ21（3-4） 2Q2R假定是允许的），可以近似认为阻力系数

9、成反比，用式子表示为 如果考虑变化量很微小（由于在自动控制系统中，各个变量都是在它们的额定值附近做微小的波动，因此做这样的与h成正比，与出水阀的22RhQ (3-5) 将此关系式代入式（3-4），移项整理后可得 122QRhdtdhAR(3-6) 2ART 2RK 令，代入式（3-6），便有 1KQhdtdhT (3-7) 这就是用来描述简单的水槽对象特性的微分方程式。它是一阶常系数微分方程式，式中T称时间常数，K称放大系数。 2）直接蒸汽加热器 图3-3 直接蒸汽加热器示意图热流体冷流体TC、GCTa蒸汽WTa图3-3所示为直接蒸汽加热器，它是cT的冷流体用 将温度为蒸汽直接加热，以获得温度

10、为 的热流体的简单换热对象。 aTcG。W其中冷流体的流量为，蒸汽流量为确定输出变量（被控变量）为 ;aT输入变量为蒸汽流量 、W冷流体的流量 、cG冷流体温度 、cT环境温度等，它们的变化都会引起 aT的变化。 W、cG选择变量，其余量如、环境温度等作为操纵cT均作为干扰变量。 、cGcT 假设加热器内温度是均匀的；加热器的散热量很小，可忽略不计；蒸汽喷管和加热器的热容很小，忽略不计； 变化不大，近似为常数。 作为一个加热过程，遵循能量守恒定律即单位时间内进入加热器的能量=单位时间带出加热器的能量+ 单位时间加热器内能量的变化量 可以分为如下两种情况： （1）当加热器内单位时间能量变化为零时

11、，即所谓静态情况下， 这时 aT保持不变，有下式： 1QQQQasc (3-8) 式中 单位时间冷流体带入的热量； 单位时间蒸汽带入的热量； 单位时间热流体带出的热量； 单位时间加热器散失的热量。 cQsQaQ1Q根据假设，可令 01Q，于是有： ascQQQ（3-9） 可以得到系统输入输出变量在稳态时的关系式：aaacccTcGWHTcG式中 蒸汽热焓，为常数； H液体比热容，近似为常数，下面统一用、ccac c表示。 由于热流体的流量 WGGca，一般所用 W较小，可近似为 caGG ，由此可得 WcGHTTaca （3-11） 该式描述了在静态情况下被控对象加热器的工艺参数 、aT、cT

12、、WaG之间的关系，它是系统的静态（稳态）数学模型。 （2）一般从控制角度来说，静态是相对的，我们更多的是要研究系统的动态数学模型，即加热器内单位时间能量变化量不为零，有下式： 1ascQQQdtdU (3-12) 式中 加热器中聚集的热量， U；acTVU加热器的有效容积； V流体的密度； 一常数，用C表示，即 cVdtdTCdtdTcVdtdUaa (3-13) 因为 ,ccccTGQ ,WHQsaaacTGQ ，代入式（3-12）有 aaccacTGWHcTGdtdTT（3-14） 令 ,1RcGc,RCT HRK ，则有 KWTTdtdTTcaa（3-15） 令 0cT，得控制通道的数

13、学模型； W=0，得调节通道的数学模型。 2. 积分对象的数学模型 当对象的输出参数与输入参数对时间的积分成比例关系时，称为积分对象。 图3-4所示的液体贮槽，就具有积分特性。因为贮槽中的液体由正位移泵抽出，因而从贮槽中流出的液体流量Q2将是常数，它的变化量为零。因此，液位h的变化就只与流入量的变化有关，如果以h、Q1分别表示液位和流入量的变化量，那么就有 A1Q2Qh图3-4 积分对象示意图1QdtdhA（3-16） 式中 A贮槽横截面积。 对式（3-16）积分，可得 dtQAh11 (3-17) 这说明图3-4所示贮槽具有积分特性。 3.2.2 实验法建模 所谓对象特性的实验测取法实验测取

14、法，就是在所要研究的对象上，加上一个人为的输入作用（输入量），然后，用仪表测取并记录表征对象特性的物理量（输出量）随时间变化的规律，得到一系列实验数据（或曲线）。这些数据或曲线就可以用来表示对象的特性。这种应用对象的输入输出的实测数据来决定其模型的结构和参数，通常称为系统辨识系统辨识。它的主要特点就把被研究的对象视为一个黑匣子，完全从外部特性上来测试和描述它的动态特性，因此不需要深入了解其内部机理，特别是对于一些复杂的对象，实验建模比机理建模要简单和省力。 对象特性的实验测取法有很多种，这些方法往往是以所加输入形式的不同来区分的 。1. 阶跃响应曲线法 所谓测取对象的阶跃响应曲线，就是用实验的

15、方法测取对象在阶跃输入作用下，输出量y随时间的变化规律。 图3-5 水槽的阶跃响曲线举例举例简单水槽的动态特性简单水槽的动态特性优点优点简单缺点缺点稳定时间长测试精度受限2. 矩形脉冲法 当对象处于稳定工况下，在时间t0突然加一阶跃干扰，幅值为C，到t1时突然除去阶跃干扰，这时测得的输出量y随时间的变化规律，称为对象的矩形脉冲特性，而这种形式的干扰称为矩形脉冲干扰。如图3-6所示 图3-6 矩形脉冲特性曲线0t0tttxCy1t 矩形脉冲波信号 正弦信号 机理建模与实验建模各有其特点，目前一种比较实用的方法是将两者结合起来，称为混合建模（也称半测试建模）。这种建模的途径是先由机理分析的方法提供

16、数学模型的结构形式，然后对其中某些未知的或不确定的参数利用实测的方法给予确定。这种在已知模型结构的基础上，通过实测数据来确定其中的某些参数，称为参数估计。 3.2.3 混合法建模3.3描述对象特性的参数 当对象的输入量变化后，输出量究竟是如何变化的呢？这就是要研究的问题。显然，对象输出量的变化情况与输入量的形式有关。为了使问题比较简单起见，下面假定对象的输入量是具有一定幅值的阶跃作用。 前面已经讲过，对象的特性可以通过其数学模型来描述，但是为了研究问题方便起见，在实际工作中，常用下面三个物理量来表示对象的特性。这些物理量，称为对象的特性参数对象的特性参数。3.3.1放大系数K 对于如图3-2所

17、示的简单水槽对象，当流入流量Q1有一定的阶跃变化后，液位h也会有相应的变化，但最后会稳定在某一数值上。如果我们将流量Q1的变化看作对象的输入，而液位h的变化看作对象的输出，那么在稳定状态时，对象一定的输入就对应着一定的输出，这种特性称为对象的对象的静态特性静态特性。 假定Q1的变化量用Q1表示，h的变化量用h表示。在一定的Q1下，h的变化情况如图3-7所示。在重新达到稳定状态后，一定的Q1对应着一定的h值。令K等于h与Q1之比，用数学关系式表示，即 1QhK (3-18) K在数值上等于对象重新稳定后的输出变化量与输入变化量之比。它的意义也可以这样来理解：如果有一定的输入变化量Q1，通过对象就

18、被放大了K倍变为输出变化量h，则称K为对象的放大系数。 对象的放大系数K越大，就表示对象的输入量有一定变化时，对输出量的影响越大。 3.3.2 时间常数T 从大量的生产实践中发现，有的对象受到干扰后，被控变量变化很快，较迅速的达到了稳定值；有的对象在受到干扰后，惯性很大，被控变量要经过很长时间才能达到新的稳态值。 hhtt 时间常数越大，表示对象受到干扰作用后，被控变量变化得越慢，到达新的稳态值所需的时间越长。图3-7 不同时间常数对象的阶跃响应曲线 为了进一步理解放大系数K与时间常数T的物理意义，下面结合图3-2所示的水槽例子，来进一步加以说明。水槽对象阶跃响应曲线如图3-8所示。 tt1Q

19、Ch)( h (a)(b)图3-8 水槽对象阶跃响应曲线举例举例简单水槽为例 由前面的推导可知，简单水槽的对象特性可由式（3-7）来表示，现重新写出1KQhdtdhT 假定Q1为阶跃作用，t0时Q1=0；t0时Q1=C，如图3-8（a）所示，为了求得在Q1作用下h的变化规律，可以对上述微分方程式求解，得 )e(KC)t ( hT/t1 (3-19) 上式就是对象在受到阶跃作用Q1=C后，被控变量h随时间变化的规律，称为被控变量过渡过程的函数表达式。根据式（3-19）可以画出ht曲线，称为阶跃响应曲线，如图3-8（b）所示。 (3-20)KC)(h 从图3-8响应曲线可以看出，对象受到阶跃作用后

20、，被控变量就发生变化，当t时，被控变量不再变化而达到了新的稳态值h（），这时由式（3-19）可得 这就是说，K是对象受到阶跃输入作用后，被控变量新的稳定值与所加的输入量之比，故是对象的放大系数，它表示对象受到输入作用后，重新达到平衡状态时的性能，是不随时间而变的，所以表示对象的静态性能。 下面再来讨论时间常数T的物理意义。将t=T代入式（3-19），就可以求得KC.)T(h6320 (3-21) 将式（3-20）代入式（3-21）得 )(h.)T(h6320 (3-22) 这就是说，当对象受到阶跃输入作用后，被控变量达到新的稳态值的63.2%所需的时间，就是时间常数T。 在输入作用加入的瞬间，

21、液位h的变化速度是多大呢？将式（3-19） 对时间t求导得 T/teTKCdtdh (3-23) 由上式可以看出，在过渡过程中，被控变量变化速度是越来越慢的，当t=0时，有 T)(hTKCdtdht0（3-24） )e(KC)t ( hT/t1当t时，由式（3-23）可得0tdtdh（3-25） 式（3-24）所表示的是t=0时液位变化的初始速度。从图3-9所示的反应曲线来看， 0tdtdh就等于曲线在起始点时切线的斜率。 由于切线的斜率为 ( )/hT，从图3-9可以看出， 。T这条切线在新的稳定值h（）上截得一段时间正好等于 图3-9时间常数T的求法 因此，时间常数T的物理意义可以这样来理解：当对象受到阶跃输入作用后，被控变量如果保持初始速度变化，达到新的稳态值所需的时间就是时间常数。 当 t=3T时，代入式（3-19）得 hKAeKATh95. 095. 0133加入输入作用后，经过3T时间，液位已经变化了全部变化范围的95，这时，可以近似地认为动态过程基本结束。所以，时间常数T是表示在输入作用下，被控变量完成其变化过程所需要的时间的一个重要参数。3.3.3滞后时间 有的对象，在受到输入作用后，被控变量却不能立即而迅速的变化，这种现象称为滞后现象滞后现象。根据滞后性质