常微分方程答案一二章

1、习题1.24.给定一阶微分方程dy 2x ,dx(1) .求出它的通解；(2) .求通过点1,4的特解；(3) .求出与直线y 2x 3相切的解； i(4) .求出满足条件0 ydx 2的解；(5) .绘出(2),(3),(4)中的解得图形。解：(1).通解显然为y x2 c,c ?;(2) .把x 1,y 4代入y x2 c得c 3,故通过点1,4的特解为y x2 3 ;2(3) .因为所求直线与直线 y 2x 3相切，所以y x C只有唯一解，即y 2x 3x2 c 2x 3只有唯一实根，从而c 4,故与直线y 2x 3相切的解是2y x 4 ; c11(4) .把y x c代入°

2、; ydx 2即得c 5/3 ,故满足条件° ydx 2的解是y x2 5/3;(5) .图形如下：765432-1.5-1-0.5y=x2+4y=x 2+3y=x 2+5/300.51.55.求下列两个微分方程的公共解:2 c4-242y y 2xx,y 2xx x yy解：由 y2 2x x4 2x x2 x4 y y2 可得y x2 2x2 2y 10所以y x2或yx2 1/2, y x2代入原微分方程满足，而yx2 1/2代入原微分方程不满足，故所求公共解是代入原微分方程不满足。6.求微分方程y xy 2 y 0的直线积分曲线。解：设所求直线积分曲线是y kx b,则将其代

3、入原微分方程可得2k b 0一k xk kx b 02k b 0 或 k b 1k2 k 0所以所求直线积分曲线是y 0或y x 1。8.试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程：(2).曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分等于定长l ;(5).曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方。解：因为过点x,y的切线的横截距和纵截距分别为x3和y xy ,故 y2y2, 2(2). x y xy l ;y2(5) . y xy x 。习题2.11 .求下列方程的解：(2). y2dx x 1 dy 0,并求满足初值条件x 0, y 1的特解；解：当y 0,分离变量，得4dy ydx x

4、 1欢迎下载25两边同时积分，得lnln |x 1 c又y 0也是原方程的解，故y2dxx 1 dy 0的通解是(4). (1 x)ydx(1 y)xdy 01In 1 x 11,cy ln x 1 c0由初值条件x 0,y 1可得c 1,故所求特解是y令u?，则x两边同时积分，得arctanu21n(1 u2)ln x c解：当y 0,分离变量，得1 y .1 xdy dxy x两边同时积分，得ln x x ln y y c ln xy x y c又y 0也是原方程的解，故所求通解是y 0 和 ln xy x y c, c(5) . (y x)dy (x y)dx 0 解：原方程可化为H11

5、dy y xxdx y x _y 1 xdu u 1 u 1 ,1 ,u x du - dxdx u 1 u 1 x将u 丫代入，得所求通解是 x2yxdu 2 dux u 1 u dxdxxy2) c,c ?,y 1 , , 2arctan ln(xx 2(6) . xdy y、x2 y2 0 dx解：原方程可化为dydx令u 、，则xu当Ji u2 0 ,分离变量，：两边同时积分，得又由u20,即u2 1arctanu In x c的解，故(1)的通解是u21 和 arctanu In x c。将u '代入，得原方程的通解是 xy2 x2 和 arctan In x c,c ?x.

6、tan ydx cot xdy 0解：当tany 0 ,分离变量，得cot ydy tan xdx两边同时积分，得ln sin y In cosx qsin y cosx c,cec10又tany 0,即sin y 0也是原方程的解，而该解可在 sin y cosx c中令c 0得到，故所求通解是sin ycosx c, c ?y2 3x.dy - dx y解：分离变量，y2ye dy3x edx两边同时积分，得所求通解是123x-e y c1 IP 2e3x 3e y c,c 6c1 ?23(9) . x(ln x In y)dy ydx 0解：原方程可化为dyy乂 1nlydx x(1n

7、x In y) x x(2)du u du u lnu 1u x - -dx ln u dx xln udxx当u Inu 10 ,分离变量，得In ududxInud Inuu ln u 1x In u 1两边同时积分，得InuIn u 1In x c1In u 1 cxu,c e c101也是(2)的解，而由原方程可得y 0 ,从而u 0。又u Inu 1该解可在(3)中令c 0得到，故(2)的通解是In u 1 cxu,c ?。将u支代入，得 x原方程的通解是In - 1 cy, c ?x(10) .出 ex ydx解：分离变量，得eydy exdx两边同时积分，得所求通解是y xe e

8、 c,c2.作适当的变量变换求解下列方程：(1). dy x y 1 u u2Xdx解：令u x y,则原方程化为du1 u2du . dy .2dx11 udx dx两边同时积分，得arctan u x c,c将u x y代入，得原方程的通解是arctan x yx c,c ?即 y tan x cx,c(3). dy”山dx x 2y 1解：因为2x y 1 011x , yx 2y 1 033.11一.令X x 1,Y y 1 ,则原方程化为33dY 2X YdX X 2YY再令u Y ,得Xdu2 uu X dX1 2u1 2u dudX两边同时积分，得ln u2 u 1 2ln X2

9、 2.C1X u u 1C2,C2 e 011一、， -一1,Y y 1代入，得原方程的通解是3313x2 y2 xy x y c,c c2 13.3dy 2x 3xy xdx 3x2 y 2y3解：原方程可化为dy2dx22x2 3y 1_ 2_ 23x 2y令 Xx2 1,Y则原方程化为dY 2X 3YdX 3X 2YXdX2 3udu3 2udX2 1 u2X 3 2u用分离变量法求解,1 X4 1 u将 u Y,X x2 1,Y y2 X1代入,得原方程的通解是22_ 5x y 2 ,c习题2.21.求下列方程的解:dy 1 2x d(5).- y 1dx x解：原方程可化为：0；dy

10、 2x 1,dx Ty 1对应的齐次方程为dy dx-2汉y,用变量分离法求得其解为y cx2e1x。令(4)的 x解为y c x x2e1x,则将其代入(4)可得dc x 2 1x 彳x e 1 dx所以原方程的通解为2 1 xcx e ,c ?.dy dx x y解：当y 0时，原方程可化为:dy y y这是未知函数为x的非齐次线性方程，对应的齐次方程为=-,用变量分离法 dy y求得其解为x cy o令(5)的解为xy,则将其代入(5)可得dc ydy y所以(5)的通解为c ,c又y 0也是原方程的解，故原方程的通解为1 2 x y -yc ,c(12) . (ylnx 2)ydx x

11、dy ;解：原方程可化为:这是n2 的 Bernoulli 方程。dy _ln x 2dx x2 _y x(6)0时，(6)两边同时除以2 /日y ，行2 dyy dx=dz dx=-y2 1 ln x_ y x x其对应的齐次方程dz = 2z的解为z dx xcx2,令的解为zc x x2 ,则将其代入可得dc x 2xln xdx2 , c 2x In x所以的通解为z cx2 21n x 14, c ?将z y1代入，得ycx2 2ln x 14。又y 0也是原方程的解，故原方程的通解为y 0 和 y cx2 21n x 14,c ?(13) . 2xydy (2 y2 x)dx;解：

12、原方程可化为：2dy 2y_x y _1dx 2xyx 2y这是n 1的Bernoulli方程，(8)两边同时乘以y ,得dy y2 1y -dx x 2令z y2,则中=2ydy3 1其对应的齐次方程可得dz = 2z的解为z dx xdx dx xcx2,令(9)的解为z c x x2 ,则将其代入dc x21x 1 c x c dxx所以(9)的通解为1220z c x cx x, c ? x将z y2代入，得原方程的通解为2 cxx, c ?在原方程中，当x 0时，y 1。故原方程等价于Cauchy问题(10)1可得dydxy 0由常数变易法易得 dy ed y(4y dy y的通解为

13、y ex x c ,c ?,再由y 0 dxc 1,故Cauchy问题(10)的解为y ex x 1 ,这也是原方程的解。习题2.31.验证下列方程是恰当方程，并求出方程的解：2 一一一一 一(2). (y 3x )dx (4y x)dy 0;解：因为M y 3x2, N(4yx),所以M / N1,一可得故原方程是恰当方程。令函数u满足 xy 3x2 dxxy再由 yN可得x)y 2y2所以u xy2y2,故原方程的通解是xy x3 2y2c,c ?2(2). 2(3xy解：因为M故原方程是恰当方程。令函数u满足-u M , N ,则由-u M可得 x yxu 2 3xy2 2x3 dx y

14、3x2y2 x4yc 2 d y226x y3 2x y ydy所以 u 3x2y2 x4y3,故原方程的通解是2 2433x y x y c, c2.求下列方程的解：22_(4). ydx xdy x y dx ；解：原方程两边同时除以x2 y2,得ydxxdy,x.2-dxdarctan-dxxyy所以原方程的通解是c, c ?,xarctan 一y(6). y 1 xy dx xdy 0;解：因为My 1 xy , N x,- y1 x, 1,所以原方程不是恰当的。由 xxxxye dx e dx xye dxxe xdy所以故原方程的通解是(8). x 2y dx解：因为M x2y,

15、Nx,可得积分因子所以yd xe xxyexydex xe xdy 0xce ,c ?2, 1xx,原方程两边同时乘以x2dx-dx3 3所以原方程不是恰当的。由1dx e x x此即为原方程的通解。5.试证齐次微分方程M x, y dx-0 xM yN证明：齐次微分方程 M x, y dx NM x, y所以2xydxydx2x2dy 0x2dy 0c,c ?N x, y dy 0当xM yN 0时有积分因子x, y dy 0两边同时乘以得dx N x, y dy 0MM NxM yN Mx N y yyyy xM yN2xM yNyN MNyxM yNyM -N y1x xM yNNxM

16、MNxxN上 xNMxM yN N M x xx原方程可化为dydxM x, yN x,yO因为原方程是齐次方程，故可设dy dxM x, y N x,yg - xgdg duydggdgdu1dgxdu dx2 xdu ,ydu dyxdugMx, y1N -MMN2xx Nx, yN2xM yN xM yNxxgMx, y1N -MMN 2yy Nx,yNyy_y_dg91N上M -NNMMNn29x duN2xxxxx du1 dg1 N2nM 一NNMMNN2四x duyyyyx du,则又因为所以从而MNyN MN yM y xM2 yNNxM MN xNx2-xM yN2 yNM上

17、 yxM2 1 dg y N - x du2xM yN故1 2xM yN是齐次微分方程M x, y dx N x, y dy 0 当 xM yN 0 时的积分因子。习题2.4i.求解下列方程:.xy27解：当y0时,原方程可化为两边对y求导,dydpdpdy又y 0时，原方程包不成立,所以原方程的参数形式的通解是1x -3 p3y 力 2p(3) . y y 2ey ;解：令p y ,则y p2ep,两边对x求导，得p 2 PdpP 2pep pep dx所以p 0 y 0代入原方程y 0或1 2 p epdp x 1 p ep cdx所以原方程的通解是x 1 p ep c .,.y 0和 2

18、 P , p为参数,c ? y y ep习题2.5i.求解下列方程：.dy 4e ysinx 1 ；dx解：原方程两边同时乘以ey,得eydy dx4sin x eydeydx4sin x eydudx4sin x u用常数变易法易得其解为u2 sinx cosx e y 1x y 3* 、由 x y 11, 1可得，这是一个恰当方程，即 ce x ,故原方程的通解为ey 2 sinx cosx ex cex,cdy x y 1(11). - 2；dx x y 3解：原方程可化为2x y 1 dx x y 3 dy 02 .xdx ydx dx xdy y dy 3dy1 dx2 dxy dx3dy3 3dy所以原方程通解为1 2 x xy21 3y3y c,c ?2(19). x 曳 dx2ydydx4x 0解：令p则由原方程可得0,故原方程可化为2xp 4x2Px2P2x(11)两边对x求导,p x dpp -2 2 dx2x dpdx2 d