导数的概念、导数公式与应用

1、导数的概念及运算知识点一：函数的平均变化率(1)概念：函数1y=/(力中，如果自变量K在/处有增量,那么函数值y也相应的有增量4y=f(x o+Ax)-f(x 0),其比值小：叫做函数A= ,从飞到工o +4x的平均变化率，即 生二代瓦+小布丁(演)Av _若用=%产=" +工，则平均变化率可表示为M /一事,称为函数八幻从看 到三的平均变化率。注意：事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量 与体积增量的比值；函数的平均变化率表现函数的变化趋势，当荒取值越小，越能准确体现函数的变化情况。6是自变量x在勺处的改变量，加;而功 是函数值的改变量，可以是

2、0。函数 的平均变化率是0,并不一定说明函数,(力没有变化，应取工更小考虑。(2)平均变化率的几何意义W一/(再)函数* ='的平均变化率最占一石的几何意义是表示连接函数'='图像 上两点割线的斜率的二/5）一-如图所示，函数/0）的平均变化率 队通一司的几何意义是：直线AB的斜率作用：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率知识点二：导数的概念：1 .导数的定义：对函数尸=/（力，在点工二飞处给自变量x以增量&工，函数y相应有增量hm 丝=lim .殉+一）-勺=/（马+晨）-/乂）。若极限x 依存在，则此极限称为,在点而处的导数，记作,D 或Vlf

3、 ,此时也称J5）在点飞处可导。川、Z r /（o +Aa）-/U） f/）-/（%）f （xn）2项白烟 J lAoJ _ H阳即：皿侬*口 / （或 式 ）注意：增量A汇可以是正数，也可以是负数；导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。2 .导函数：如果函数* = *或）在开区间（内的每点处都有导数，此时对于每一个五（讯切，都对应着一个确定的导数琦,从而构成了一个新的函数，琦,称这个函数,'（X）为函数 幻在开区间内的导函数，简称导数。注意：函数的导数与在点而处的导数不是同一概念，,'（玷）是常数，是函数了口）在汇=/ 处的函数值，反映函数 丁在。/附近

4、的变化情况。3 .导数几何意义：（1）曲线的切线曲线上一点P（x。，yo）及其附近一点Q（xo+Ax,y o+Ay）,经过点P、Q作曲线的割线PQ 目,则有心库户=生一其倾斜角为柢 当点Q（xo+4x,y o+y）沿曲线无限接近于点P（xo, yo）,即Ax-O时，割线PQ的极限位置直线PT叫做曲线在点P处的切线。若切线的倾斜角为胃，则当x-O时，割线PQ斜率的极限，就是切线的斜率。hm =益兽 幺5,JU日口. htMk 比toAm（2）导数的几何意义：函数二六外在点xo的导数/（飞）是曲线沙=/（工）上点（%,/（/）处的切线的斜率注意：若曲线V = /（X）在点处的导数不存在，但有切线，

5、则切线与内轴垂直。切线与正轴正向夹角为锐角；,切线与北轴正向夹角为钝角；/（/）=0,切线与x轴平行。（3）曲线的切线方程如果="功在点/可导，则曲线A = /（外在点处的切线方程为：川一,（工。）=/'（通）8-%）。4 .瞬时速度:物体运动的速度等于位移与时间的比， 而非匀速直线运动中这个比值是变化的，如何了解非匀速直线运动中每一时刻的运动快慢程度，我们采用瞬时速度这一概念。如果物体的运动规律满足s=s（t）（位移公式），那么物体在时刻t的瞬时速度v,就是物 体t 到t+ t 这段时间内，当 t 0时平均速度的极限，即A 占 5（£+&）-5（£

6、;）V 二 比 = hm =IU91&工10如果把函数看作是物体的位移公式），导数“的）表示运动物体在时刻片的瞬时速 度。规律方法指导1 .如何求函数的平均变化率求函数的平均变化率通常用“两步”法：作差：求出切=/（引和ki-W作商：对所求得的差作商，即改 m-田 。注意：咐 _ /两）一/（马）_ 了0】+ 反）丁（亚）（1） 心一'L"工 ,式子中工、M的值可正、可负，但人的值不能为零，切的值可以为零。若函数为常数函数时，加=Q。Ar _（2）在式子及修F中，小与的是相对应的“增量”，即在8 二4时，2=/（通）-/值）。Ay _ y（x1 +Ax）-/M（3）在

7、式子工卜工 中，当药取定值，取不同的数值时，函数的平均变化率不同；当8左取定值，为取不同的数值时，函数的平均变化率也不一样。2 .如何求函数在一点处的导数（1）利用导数定义求函数在一点处的导数，通常用“三步法”。计算函数的增量：=/（鼎；a _汽为+如一/）求平均变化率：工 工 ；尸（%）=Hm 包=lim ”飞十 “2 取极限得导数：3口及 X 工 。（2）利用基本初等函数的导数公式求初等函数的导数。3 .导数的几何意义设函数* =在点面的导数是尸国），则尸区）表示曲线”八口在点 心人仆）处的切线的斜率。设M=虱£）是位移关于时间的函数，则 式幻表示物体在 时刻的瞬时速度；设&qu

8、ot;二以/）是速度关于时间的函数，则 山储）表示物体在* =4时刻的加速度；4 .利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤求出A=/C）在而处的导数/'（"）;利用直线方程的点斜式得切线方程为丁-M 二15)缶-%)。类型一：求函数的平均变化率C1、求在F到/+及之间的平均变化率，并求5=1严2时平均变化率的值.Ay _ f(xo +&c)一丁 (%)思路点拨：求函数的平均变化率，要紧扣定义式 Ah进行操作.【变式1】求函数y=5x2+6在区间2 , 2再荒内的平均变化率。【变式2】已知函数/='，分别计算/(力在下列区间上的平均变化率:(D 1,3;(2)

9、 1,2;(3) 1 ,;(4) 1 ,.=1/【变式3】自由落体运动的运动方程为 '回,计算t从3s至L ,各段内的平均速度（位移s的单位为m）【变式4】过曲线（工）=上两点"1）和01 + Ml+b）作曲线的割线，求出当人二口 时割线的斜率.类型二：利用定义求导数p = _/（X） = T2、用导数的定义，求函数，1忑在x=1处的导数。举一反三:.、，_ ，一，y =【变式1已知函数 工(1)求函数在x=4处的导数.17¥ 二6产(4二)、(2)求曲线工上一点 4处的切线方程。【变式2】利用导数的定义求下列函数的导数：(1)，5)=人;/三/ ；(4)工。C3、

10、求曲线y=x3+2x在x=1处的切线方程.思路点拨：从函数在一点处的导数定义可求得函数 y=x3+2x在x=1处的导数值，再 由导数的几何意义，得所求切线的斜率，将x=1代入函数可得切点坐标，从而建立切线方程举一反三：【变式】在曲线y=x2上过哪一点的切线:(1)平行于直线y=4x5;(2)垂直于直线2x6y+5=0;(3)与x轴成135°的倾斜角。知识点三：常见基本函数的导数公式(1)/(C为常数)，尸=口了二犬（n为有理数），*工）=四/=叫广”工（4） /3工/（工）nx（5）八,（6） /三*/=lnx，工（8） /=1%，尸知识点四：函数四则运算求导法则设/，g均可导（1）

11、和差的导数：/土以初1f土丁积的导数："国道人尸（英斗人力才，叫,=-'）以公一一）宫D（3）商的导数：或工）国了（式人”0）知识点五：复合函数的求导法则或"次切=/3研力即复合函数,二真网耳对自变量H的导数了二，等于已知函数T对中间变量”二双外的导 数乘以中间变量比对自变量K的导数"。注意：选择中间变量是复合函数求导的关键。求导时需要记住中间变量，逐层求导，不 遗漏。求导后，要把中间变量转换成自变量的函数。规律方法指导1.求复合函数的导数的一般步骤适当选定中间变量，正确分解复合关系；分步求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导）；把中间变量代回原自变

12、量（一般是 x）的函数。整个过程可简记为分解一一求导一一回代，熟练以后，可以省略中间过程。若遇多重复 合，可以相应地多次用中间变量 类型一：利用公式及运算法则求导数。1、的导数:(3)"二 1呜7Tog”；(4) y=2x33x2+5x+4【变式】求下列函数的导数:厂= -2 sdn (1- 2cos3 )(1) WZ戈；(2)24(3) y=6x-4x?+9x 62、求下列各函数的导函数(1)+1)(2工-引；(2) y=x2sinx;*2 - I犬十匚口5齐(3) y=F -1 ；(4) y=H +如1 工举一反三：【变式11函数尸=3:1尸炽7在耳=1处的导数等于()A. 1B

13、. 2C. 3D. 4【变式2】下列函数的导数(1)?=(克 + 1)(2/ + 泰-1)【变式3】求下列函数的导数类型四：复合函数的求导、求下列函数导数.(2)歹=皿工+ 2).1V =(1)' (E;(4)y = cos(2 + l)举一反三:【变式11求下列函数的导数:（1）4。+ 2出；(3) y=ln (x+一)；(4)f (k) = e"r(cos x + sin x)类型五：求曲线的切线方程C4、求曲线y=x3+2x在x=1处的切线方程.举一反三:y= (1,2)【变式11求曲线工在点2 '处的切线的斜率，并写出切线方程.【变式2】已知尸(TD,。34)是曲线，三上的两点，则与直线产Q平行的曲线，=/的 切线方程是【变式3】已知曲线" .(1)求曲线。上横坐标为1的点处的切线的方程；(2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点?【变式4】如果曲线