高等数学下册期末总复习1

1、目录 上页 下页 返回 结束 总复习总复习 第八章第八章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何, ),(zyxM),(zyx记记 kzjyixOMr),(111zyxA则),(121212zzyyxx两点与, ),(222zyxBOAOBBA(1)向量的坐标表示向量的坐标表示目录 上页 下页 返回 结束 则),(zzyyxxbababa),(zyxaaa，为实数设),(zyxaaaa , ),(zyxbbbb baa(2) 利用坐标进行向量运算利用坐标进行向量运算例例1. 已知两点),3, 1 ,7()5,0,4(BA和解解:141)2,1,3(142,141,143BABA求与AB同

2、方向的单位向量 e .e目录 上页 下页 返回 结束 (4) 两向量的数量积两向量的数量积1. 定义定义设向量的夹角为 , 记作数量积 (点积) .bacosba的与为baba,babaaj rPabj rPbba0baba 目录 上页 下页 返回 结束 2. 数量积的坐标表示数量积的坐标表示设则,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba.zzyyxxbababa3. 向量积的行列式计算方法向量积的行列式计算方法kjibaibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)(xayazaxbybzb;aba. bba目录 上页 下页 返回 结束 （5 5）平面方程（点法式、截

3、距式）平面方程（点法式、截距式）0)()()(000zzCyyBxxA),(0000zyxM设一平面通过已知点且垂直于非零向求该平面的方程.量, ),(CBAn 为平面的点法式方程点法式方程.当平面与三坐标轴的交点分别为此式称为平面的截距式方程截距式方程. ), 0 , 0(, )0 , 0(, )0 , 0 ,(cRbQaP1czbyax)0,(cba平面方程为 目录 上页 下页 返回 结束 （6）空间直线方程（点向式）空间直线方程（点向式）有mxx0设直线上的动点为 nyy0pzz0此式称为直线的对称式方程对称式方程(也称为点向式方程点向式方程)已知直线上一点一点),(0000zyxM和它

4、的方向向量方向向量 , ),(pnms 目录 上页 下页 返回 结束 2L1L（7） 线、面之间的位置关系线、面之间的位置关系 则两直线夹角 满足设直线 L1, L2 的方向向量分别为 两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角)212121ppnnmm212121pnm222222pnm),(, ),(22221111pnmspnms2121cosssss 1s2s目录 上页 下页 返回 结束 例例2. .求直线13411:1zyxL1222:2zyxL和的夹角.解解: 直线L1的方向向量为) 1,4, 1 (1s直线L2的方向向量为) 1, 2, 2(2s夹角的余弦 cos) 1(1)2

5、()4(21222221)4(1222) 1()2(2从而.4目录 上页 下页 返回 结束 直线与平面的夹角直线与平面的夹角L设直线 L 的方向向量为 平面 的法向量为则直线与平面夹角 满足222222CBApnmpCnBmA),(pnms ),(CBAn | ),cos(|sinnsnsns 目录 上页 下页 返回 结束 球面2202020)()()(Rzzyyxx 旋转曲面如, 曲线00),(xzyf绕 z 轴的旋转曲面:0),(22zyxf 柱面如,曲面0),(yxF表示母线平行 z 轴的柱面.又如, 圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .（8） 空间曲面空间曲面221xy221xy目录

6、上页 下页 返回 结束 (9)(9)空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组0),(0),(zyxGzyxF2SL0),(zyxF0),(zyxG1S例如例如,方程组632122zxyx表示圆柱面与平面的交线 C. xzy1OC2目录 上页 下页 返回 结束 （1010）空间曲线的参数方程）空间曲线的参数方程将曲线C上的动点坐标 x, y, z表示成参数 t 的函数: 称它为空间曲线的参数方程.)(txx )(tyy )(tzz 空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线C的一般方程为消去 z 得投影柱面则C在xOy 面上的投影曲线

7、C为0),(0),(zyxGzyxF,0),(yxH00),(zyxH目录 上页 下页 返回 结束 0,00,),(222222yxyxyxyxyxf在点(0 , 0) 极限不存在, 又如又如, 函数11),(22yxyxf上间断.122 yx 故 ( 0, 0 )为其间断点.在圆周结论结论: 一切多元初等函数在定义区域内连续.第九章第九章 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用(1) 多元函数的极限与连续性多元函数的极限与连续性目录 上页 下页 返回 结束 （2）偏导数、全微分概念及其计算）偏导数、全微分概念及其计算定义定义1.),(yxfx lim0 x),(),(yxfyxxfx)

8、,(yxfy lim0y),(),(yxfyyxfy例如例如, ,0,00,1sin)(),(22222222yxyxyxyxyxfzyx,yfxx,yfyxfzyx)d()d(),(dd目录 上页 下页 返回 结束 )(),(ttfz(3)多元复合函数求导的链式法则多元复合函数求导的链式法则定理定理. 若函数,)(, )(可导在点ttvtu),(vufz 处偏导连续, ),(vu在点在点 t 可导, tvvztuuztzddddddz则复合函数且有链式法则vutt目录 上页 下页 返回 结束 推广推广:1) 中间变量多于两个的情形. , ),(wvufz 设下面所涉及的函数都可微 .tzdd

9、321fff2) 中间变量是多元函数的情形.),(, ),(, ),(yxvyxuvufzxz1211ff2221ffyzzzwvuvuyxttttuuzddtvvzddtwwzddxuuzxvvzyuuzyvvz)(, )(, )(twtvtu例如,例如,yx目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 设设,sineyxvyxuvzu.,yzxz求解解:xzvusine)cos()sin(eyxyxyyxyz)cos()sin(eyxyxxyxvusinexuuzxvvzvucoseyuuzyvvzvucosey1 x1 zvuyxyx目录 上页 下页 返回 结束 （4）方程所确定的隐函数）方程

10、所确定的隐函数 及其导数及其导数zyzxFFyzFFxz,方程0),(zyxF在点),(00yx并有连续偏导数, ),(000yxfz 定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足某一邻域内可唯一确zzyxzyxF4),(222则,2xFxzxFFxz2zxzx242 zFz目录 上页 下页 返回 结束 0),(),(,(0),(),(,(yxvyxuyxGyxvyxuyxF,的线性方程组这是关于xvxu0),(0),(vuyxGvuyxF有隐函数组则两边对 x 求导得,),(),(yxvvyxuu设方程组,0vuvuGGFFJxuxvxuxvxFuFvF0 xGuGvG0解的公式

11、 故得系数行列式xuvuvuGGFFvxvxGGFF目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 设, 1,0vxuyvyux.,yvxvyuxu解解:xyyxJJxu122yxvxuyyu方程组两边对 x 求导，并移项得求vxvxxuyxvyu22yxvyuxvyuxJxv122yxuyvx练习练习: 求yvyu,uxvyxux022yx22yxvyuxyv答案答案:由题设故有目录 上页 下页 返回 结束 )( ),(0000 xxzyxFx曲面 在点 M 的法向量法向量:)( ),(0000yyzyxFy0)(,(0000zzzyxFz 切平面方程切平面方程),(, ),(, ),(000000

12、000zyxFzyxFzyxFnzyxMTn（5）曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线 0),(:zyxF设 有光滑曲面目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 求球面14222zyx在点(1 , 2 , 3) 处的切平面及法线方程. 解解: 令14),(222zyxzyxF所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有:切平面方程切平面方程 ) 1(2x01432zyx即法线方程法线方程321zyx)2(4y0)3(6z123法向量)2,2,2(zyxn )6,4,2()3, 2, 1(n即321zyx(可见法线经过原点，即球心)目录 上页 下页 返回 结束 ,),(),(000处可微在点若函数y

13、xPyxf在该点沿方向沿方向 l 的方向导数存在 ,cos),(cos),(|0000),(00yxfyxflfyxyx.,的方向角为其中l且有定理定理:则函数（6）方向导数与梯度方向导数与梯度 P105, P105, 例例1 1、例、例2 21、梯度的定义、梯度的定义jyxfiyxfyx),(),(0000向量为函数),(yxf).,(),(.),(0000000yxfyxfyxP或记作处的梯度在点grad目录 上页 下页 返回 结束 2. 梯度的意义梯度的意义.cos| ),(|),(|0000),(00yxfeyxflflyxgradgrad(i) 当, 0即le与梯度,),(00同向时

14、yxfgrad.),(,|),(00沿梯度方向增加最快即达到最大值yxflfyx(ii) 当,即le与梯度,),(00反向时yxfgrad.),(,|),(00沿梯度反方向减少最快即达到最小值yxflfyx. | ),(grad|00),(00yxflfyx. | ),(grad|00),(00yxflfyx目录 上页 下页 返回 结束 （7）多元函数的条件极值）多元函数的条件极值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.,0),(下在条件yx.),(的极值求函数yxfz 引入辅助函数0 xxxfF0yyyfF0F则极值点满足:),(),(yxyxfF目录 上页 下页 返回 结束 例例.要设计一个容量为0

15、V则问题为求x , y ,令解方程组解解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高,下水箱表面积最小.z 使在条件xF02zyyzyF02zxxzzF0)(2yxyxF00Vzyx水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱, 0VzyxyxzyzxS)(2)()(20VzyxyxzyzxFxyz试问得唯一驻点,2230Vzyx目录 上页 下页 返回 结束 .d),(yxfVD引例1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板的质量:如果 在D上可积,),(yxf元素d也常记作,ddyx二重积分记作.dd),(Dyxyxf,kkkyx 这时分区域 D , 因此面积 可用平行坐标轴的直线来划

16、yxO.d),(DyxM第十章第十章 重积分重积分目录 上页 下页 返回 结束 则Dyxfd),(Dyxd),(性质. 若在D上),(yxf, ),(yx2、二重积分的计算、二重积分的计算（1）利用直角坐标计算二重积分）利用直角坐标计算二重积分bxaxyxD)()(:21Dyxyxfdd),(yyxfxxd),()()(21baxd若D为 X - 型区域 则O)(1xy)(2xyxbyDa目录 上页 下页 返回 结束 Oy)(1yx)(2yxxdc若D为Y - 型区域dycyxyD)()(:21xyxfyyd),()()(21dcydDyxyxfdd),(则目录 上页 下页 返回 结束 （2）

17、利用极坐标计算二重积分）利用极坐标计算二重积分D)(1r)(2rOx)()(,),(21rrDDDrrfyxf)sin,cos(d),(则)()(21d)sin,cos(drrrrfddrr目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 计算,dde22Dyxyx其中.:222ayxD解解: 在极坐标系下,200:arD原式Drrarde02ar02e212)e1(2a2erddrr20d故目录 上页 下页 返回 结束 zxyxyDxyDyxdd 方法方法. 投影法投影法 (“先一重后二重先一重后二重” ) xyDyxyxzzyxz),(),(),(:21zyxzyxfvzyxfddd),(d),()

18、,(),(21d),(yxzyxzzzyxfxyDyxzyxzzzyxfyx),(),(21d),(dd),(2yxzz ),(1yxzz 记作),(yxO),(zyx目录 上页 下页 返回 结束 其中 为三个坐标例例1. 计算三重积分,dddzyxx12zyx所围成的闭区域 .解解:zyxxddd)1(01021d)21 (dxyyxxxyxz210d1032d)2(41xxxxyxz210)1(021xy10 x )1(021dxy10d xx481面及平面1xyz121O目录 上页 下页 返回 结束 xyz2. 利用柱坐标计算三重积分利用柱坐标计算三重积分 ,),(3RzyxM设),z（

19、则z200sinyzz cosx直角坐标与柱面坐标的关系:常数坐标面分别为圆柱面常数半平面常数z平面z),(zyxM),(PO称为点M 的柱面坐标.目录 上页 下页 返回 结束 如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为zvdddd因此zyxzyxfddd),(),(zF其中),sin,cos(),(zfzF1) 积分域表面积分域表面用柱面坐标表示时曲面方程简单曲面方程简单 ;2)zdddzzddddxyzddO积分域在坐标面上的的投影区域为圆域投影区域为圆域(半圆、半圆、圆环等）圆环等）.目录 上页 下页 返回 结束 OOxyz例例4. 计算三重积分解解: 在柱面坐标系下h:hz42dhh2022

20、d)4(124)41ln()41(4hhhhz h2020h202d120d,1ddd22yxzyxzyx422)0( hhz所围成 .与平面其中 由抛物面42zvdddd原式 =目录 上页 下页 返回 结束 tttttfsyxfLd)()()(, )(d),(22第十一章第十一章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分1、对弧长的曲线积分、对弧长的曲线积分:定理定理:),(yxf设且)()(tty上的连续函数,是定义在光滑曲线弧则曲线积分),(:txL,d),(存在LsyxfxyO证明证明: 22)(d)(ddyxstttd)()(22xdydsdx目录 上页 下页 返回 结束 如果曲线 L

21、的方程为),()(bxaxy则有Lsyxfd),(xx d)(12baxxf) )(,(说明说明2:如果曲线方程为极坐标形式:),()(: rrL则syxfLd),()sin)(,cos)(rrfd)()(22rr说明说明3:目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 计算,dLsy其中 L 是抛物线2xy 与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解解:)10(:2xxyLLsyd10 xxxd)2(12xxxd4110210232)41 (121x)155(121上点 O (0,0)O1Lxy2xy ) 1 , 1 (B目录 上页 下页 返回 结束 2. 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分定理定理

22、:),(, ),(yxQyxP设在有向光滑弧 L 上有定义且L 的参数方程为)()(tytx,:t则曲线积分LyyxQxyxPd),(d),( )(),(ttP)(t)(ttd)(),(ttQ连续,存在, 且有特别是, 如果 L 的方程为,:),(baxxy则xxxQxxPbad )(,)(,LyyxQxyxPd),(d),()(x目录 上页 下页 返回 结束 3. 格林公式格林公式定理定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,则有, ),(yxP),(yxQ函数在 D 上具有连续一阶偏导数,区域 D 边界L 的正向正向: 区域的内部靠左边域的内部靠左边.LDyxyPxQyQxPD

23、Ldddd( 格林公式格林公式 )目录 上页 下页 返回 结束 4. 格林公式不成立的例子格林公式不成立的例子例例. 计算dd,Ly xx yxy22其中L为原点位于内部的正向圆周。,22yxyP22yxxQ22222)(yxxyxQyP在原点没有定义。yxyPxQyQxPDLdddd( 格林公式格林公式 )目录 上页 下页 返回 结束 5. 格林公式的应用格林公式的应用平面曲线积分与路径无关的条件平面曲线积分与路径无关的条件.xQyP设G 是单连通域, 曲线积分LyQxPdd在G 内与路径无关的充分必要条件是在 G 内恒成立.说明说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为 BAyQxPddA

24、ByQxPdd目录 上页 下页 返回 结束 6. 对面积的曲面积分的计算方法对面积的曲面积分的计算方法定理定理: 设有光滑曲面yxDyxyxzz),(),(:yxDyxf),(Szyxfd),(yxyxzyxzyxdd),(),(122),(yxz目录 上页 下页 返回 结束 yxD例例1. 计算曲面积分,dzS其中 是球面222zyx被平面)0(ahhz截出的顶部.解解: :yxDyxyxaz),( ,:2222222:hayxDyx221yxzz 222yxaazSd20da0)ln(2122222haraahaaln2yxDyxayxa222dd22022dhararr2axzyhaO目

25、录 上页 下页 返回 结束 第十二章第十二章 无穷级数无穷级数1. 正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法若,0nu1nnu则称为正项级数 .定理定理2 (比较审敛法比较审敛法)设,1nnu1nnv且存在,NN对一切,Nn 有(1) 若级数1nnv则级数(2) 若级数1nnu则级数1nnv收敛 ,也收敛 ;发散 ,也发散 .nnvku 是两个正项级数, (常数 k 0 ),1nnu目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 讨论 p 级数pppn131211(常数 p 0)的敛散性. 解解: 1) 若, 1p因为对一切,Nn而调和级数11nn由比较审敛法可知 p 级数11npnn1发散 .发散 ,pn1, 1p2) 若11npn收敛。目录 上页 下页 返回 结束 证明级数1) 1(1nnn发散 . 证证: 因为2) 1(1) 1(1nnn),2, 1(11nn而级数111nn21kk发散根据比较审敛法可知, 所给级数发散 .例例2.2.目录 上页 下页 返回 结束 2. 交错级数及