第五章 定积分及其应用

1、第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用v定积分是积分学中最重要的概念之一，同导定积分是积分学中最重要的概念之一，同导数概念一样，也是在解决一系列实际问题的数概念一样，也是在解决一系列实际问题的过程中逐渐形成的。用定积分的方法能解决过程中逐渐形成的。用定积分的方法能解决大量的科学技术及经济管理中的计算问题。大量的科学技术及经济管理中的计算问题。 v本章将学习定积分的概念、性质、计算及其本章将学习定积分的概念、性质、计算及其在几何、物理等方面的应用。在几何、物理等方面的应用。 内容提要内容提要第一节定积分的概念第一节定积分的概念 第二节微积分基本公式第二节微积分基本公式第三节定积分的换元法第三

2、节定积分的换元法第四节定积分的分部积分法第四节定积分的分部积分法第五节无穷区间上的广义积分第五节无穷区间上的广义积分第六节定积分的应用举例第六节定积分的应用举例第一节第一节 定积分的概念定积分的概念v重点：定积分的概念和性质重点：定积分的概念和性质v难点：定积分概念的理解难点：定积分概念的理解abxyo? A实例实例1 1 （求曲边梯形的面（求曲边梯形的面 积）积）)(xfy )0)( xf、x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成.)(xfy 一、两个实例一、两个实例 在初等数学中，以矩形面积为基础，解决了在初等数学中，以矩形面积为基础，解决了较复杂的直边图形的面积问题较复杂的直

3、边图形的面积问题.现在的曲边梯形有现在的曲边梯形有一条边是曲线，所以其面积就不能按照初等数学一条边是曲线，所以其面积就不能按照初等数学的方法来计算的方法来计算.困难就在于曲边梯形底边（区间）困难就在于曲边梯形底边（区间）上的高是变化的，而且这种变化规律不是线性的上的高是变化的，而且这种变化规律不是线性的.但由于曲线是连续的，所以当在上的变化很小时，但由于曲线是连续的，所以当在上的变化很小时，相应的高的变化也很小相应的高的变化也很小.由于这个想法，可以用一由于这个想法，可以用一组平行于轴的直线把曲边梯形分割成若干个小曲组平行于轴的直线把曲边梯形分割成若干个小曲边梯形，只要分割的充分细，每个小曲边

4、梯形就边梯形，只要分割的充分细，每个小曲边梯形就很窄，则其高的变化就很小，很窄，则其高的变化就很小， abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积曲边梯形面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）曲边梯形如图所示，曲边梯形如图所示，,1210bxxxxxabann 个分点，个分点，内插入若干内插入若干在区间在区间abxyoi ix1x1 ix1 nx;,11 iiiiixxxxxnba长度为长度为，个小区间个小区间分成分成把区间把区间，上任取一点上任取一点在每个

5、小区间在每个小区间iiixx ,1 iiixfA )( 为为高高的的小小矩矩形形面面积积为为为为底底，以以)(,1iiifxx iniixfA )(1 曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的近似值为iniixfA )(lim10 时，时，趋近于零趋近于零即小区间的最大长度即小区间的最大长度当分割无限加细当分割无限加细)0(,max,21 nxxx曲边梯形面积为曲边梯形面积为 设某物体作直线运动，已知速度设某物体作直线运动，已知速度)(tvv 是是时间间隔时间间隔,21TT上上t的一个连续函数，且的一个连续函数，且0)( tv，求物体在这段时间内所经过的路程，求物体在这段时间内所经过的路程. 实例

6、二、求变速直线运动的路程实例二、求变速直线运动的路程 思路：把整段时间分割成若干个小段，每思路：把整段时间分割成若干个小段，每小段上速度看作不变。求出各小段的路程小段上速度看作不变。求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值。最后通过再相加，便得到路程的近似值。最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值。对时间的无限细分过程求得路程的精确值。（1）分割）分割212101TtttttTnn 1 iiitttiiitvs )( 部分路程值部分路程值某时刻的速度某时刻的速度（2）求和）求和iinitvs )(1 （3）取极限）取极限,max21nttt iniitvs )(lim10 路程的精确值

7、路程的精确值设设函函数数)(xf在在,ba上上有有界界，记记,max21nxxx ，如如果果不不论论对对,ba在在,ba中任意插入中任意插入若若干干个个分分点点bxxxxxann 1210把把区区间间,ba分分成成n个个小小区区间间，各各小小区区间间的的长长度度依依次次为为1 iiixxx，), 2 , 1( i，在在各各小小区区间间上上任任取取一点一点i （iix ），），作作乘乘积积iixf )( ), 2 , 1( i并作和并作和iinixfS )(1 ，二、定积分的定义二、定积分的定义定义定义怎怎样样的的分分法法， baIdxxf)(iinixf )(lim10 被积函数被积函数被积表

8、达式被积表达式积分变量积分变量积分区间积分区间,ba也也不不论论在在小小区区间间,1iixx 上上点点i 怎样的取法，怎样的取法，只只要要当当0 时时，和和S总趋于总趋于确定的极限确定的极限I，在在区区间间,ba上上的的定定积积分分，记为记为积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和注意：注意：（1） 定定积积分分值值仅仅与与被被积积函函数数及及积积分分区区间间有有关关， badxxf)( badttf)( baduuf)(（3 3）当函数）当函数)(xf在区间在区间,ba上的定积分存在时，上的定积分存在时，而而与与积积分分变变量量的的字字母母无无关关.称称)(xf在区间在区间,ba上上可积

9、可积. 当当函函数数)(xf在在区区间间,ba上上连连续续时时，定理定理1 1定理定理2 2 设函数设函数)(xf在区间在区间,ba上有界，上有界， 称称)(xf在在区区间间,ba上上可可积积. .且最多只有有限个间段点，且最多只有有限个间段点， 则则)(xf在在三、存在定理三、存在定理区区间间,ba上上可可积积. .,( )0,ab f x baAdxxf)(,( )0,ab f x baAdxxf)(1A2A3A4A4321)(AAAAdxxfba 四、定积分的几何意义四、定积分的几何意义12340几何意义：几何意义：积取负号轴下方的面在轴上方的面积取正号；在数和所围的各部分面积的代直线的

10、图形及两条轴、函数它是由xxbxaxxfx ,)( ab 例例1、用定积分表示下列图中阴影部分的面积、用定积分表示下列图中阴影部分的面积解：根据定积分的几何意义，解题如下：解：根据定积分的几何意义，解题如下：对定积分的对定积分的补充规定补充规定:（1）当）当ba 时，时，0)( badxxf；（2）当当ba 时时， abbadxxfdxxf)()(.说明说明 在下面的性质中，假定定积分都存在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小在，且不考虑积分上下限的大小五五 定积分的性质定积分的性质证证 badxxgxf)()(iiinixgf )()(lim10 iinixf )(lim

11、10 iinixg )(lim10 badxxf)(.)( badxxg badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(.性质性质1 1 babadxxfkdxxkf)()( (k为为常常数数).证证 badxxkf)(iinixkf )(lim10 iinixfk )(lim10 iinixfk )(lim10 .)( badxxfk性质性质2 2 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(.例例 若若, cba cadxxf)( cbbadxxfdxxf)()( badxxf)( cbcadxxfdxxf)()(.)()( bccadxxfdxxf（定积分对于积分区间

12、具有可加性）（定积分对于积分区间具有可加性）则则假设假设bca 性质性质3 3则则0)( dxxfba. . )(ba 证证, 0)( xf, 0)( if), 2 , 1(ni , 0 ix, 0)(1 iinixf,max21nxxx iinixf )(lim10 . 0)( badxxf性质性质4 4如如果果在在区区间间,ba上上0)( xf，如如果果函函数数)(xf在在闭闭区区间间,ba上上连连续续，证证Mdxxfabmba )(1)()()(abMdxxfabmba 由闭区间上连续函数的介值定理知由闭区间上连续函数的介值定理知则则在在积积分分区区间间,ba上上至至少少存存在在一一个个

13、点点 ，使使dxxfba )()(abf . . )(ba 性质性质5 5（定积分中值定理）（定积分中值定理）积分中值公式积分中值公式在区间在区间,ba上至少存在一个点上至少存在一个点 ，使使,)(1)( badxxfabfdxxfba )()(abf .)(ba 在区间在区间,ba上至少存在一上至少存在一个点个点 ，即即积分中值公式的几何解释：积分中值公式的几何解释：xyoab )( f使使得得以以区区间间,ba为为以以曲曲线线)(xfy 底底边边，为曲边的曲边梯形的面积为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为等于同一底边而高为)( f的的一一个个矩矩形形的的面面积积。 第二节第二节 微积分

14、基本公式微积分基本公式 重点：牛顿重点：牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式 难点：难点： 积分上限的函数积分上限的函数变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中路程为变速直线运动中路程为 21)(TTdttv 设某物体作直线运动，已知速度设某物体作直线运动，已知速度)(tvv 是时是时间间隔间间隔,21TT上上t的一个连续函数，且的一个连续函数，且0)( tv，求物体在这段时间内所经过的路程求物体在这段时间内所经过的路程.另一方面这段路程可表示为另一方面这段路程可表示为)()(12TsTs ).()()(1221TsTsdttvTT ).()(tvts

15、 其中其中一、问题的提出一、问题的提出 设函数设函数)(xf在区间在区间,ba上连续，并且设上连续，并且设x为为,ba上的一点，上的一点， xadxxf)(考察定积分考察定积分 xadttf)(记记.)()( xadttfx积分上限函数积分上限函数 如如果果上上限限x在在区区间间,ba上上任任意意变变动动，则则对对于于每每一一个个取取定定的的x值值，定定积积分分有有一一个个对对应应值值，所所以以它它在在,ba上上定定义义了了一一个个函函数数，二、积分上限函数及其导数二、积分上限函数及其导数abxyo定定理理 如如果果)(xf在在,ba上上连连续续，则则积积分分上上限限的的函函数数dttfxxa

16、 )()(在在,ba上上具具有有导导数数，且且它它的的导导数数是是)()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 积分上限函数的性质积分上限函数的性质xx 证证dttfxxxxa )()()()(xxx dttfdttfxaxxa )()()(x x dttfdttfdttfxaxxxxa )()()(,)( xxxdttf由积分中值定理得由积分中值定理得xf )( ,xxx xx , 0),( fx )(limlim00 fxxx ).()(xfx abxyoxx )( x x 21sinxdduddxxd21sinxudxdudduduxxxxxxuusin22sin2sin22 （2）

17、exxexdtexxxtx212sinlimlim22cos021cos0 x2分母的导数为分母的导数为所以有所以有定理定理 3 3（微积分基本公式）（微积分基本公式）如如果果)(xF是是连连续续函函数数)(xf在在区区间间,ba上上的的一一个个原原函函数数，则则)()()(aFbFdxxfba . .又又 dttfxxa )()(也也是是)(xf的的一一个个原原函函数数, 已知已知)(xF是是)(xf的一个原函数，的一个原函数，CxxF )()(,bax 证证三、牛顿三、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式令令ax ,)()(CaaF 0)()( dttfaaa,)(CaF ),()()(aFxFd

18、ttfxa ,)()(CdttfxFxa 令令 bx).()()(aFbFdxxfba 牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式)()()(aFbFdxxfba 微积分基本公式表明：微积分基本公式表明： baxF)( 一个连续函数在区间一个连续函数在区间,ba上的定积分等于上的定积分等于它的任意一个原函数在区间它的任意一个原函数在区间,ba上的增量上的增量.注意注意当当ba 时，时，)()()(aFbFdxxfba 仍成立仍成立.求定积分问题转化为求原函数的问题求定积分问题转化为求原函数的问题.dxx10dxx312dxx31211dxxsindxxx194例计算下列定积分例计算下列定积分（1）(2)

19、(3)(4)(5) 第三节第三节 积分的换元法积分的换元法 重点与难点：重点与难点： 掌握定积分的换元积分公式掌握定积分的换元积分公式 牛顿莱布尼茨公式把定积分的计算问转牛顿莱布尼茨公式把定积分的计算问转化为求原函数（不定积分）的问题，因而求不化为求原函数（不定积分）的问题，因而求不定积分的各种具体方法经过适当的变化，都可定积分的各种具体方法经过适当的变化，都可用于求定积分，本节我们来学习定积分的换元用于求定积分，本节我们来学习定积分的换元法法. 121ln2tt23ln12 解法解法2要比解法要比解法1简便些，因为它省去了变量回简便些，因为它省去了变量回代这一步。代这一步。 一般的，定积分的

20、换元法可表述为：一般的，定积分的换元法可表述为： ttf定积分的换元法有两个特点：定积分的换元法有两个特点：tt换成新变量换成新变量时，积分限也要换成相应于新变量时，积分限也要换成相应于新变量的积分限的积分限.即所谓的即所谓的“换元必换限换元必换限.”（）求（）求出出的一个原函数后，不必象不定积分那样再把原变量的一个原函数后，不必象不定积分那样再把原变量t回代，而直接代入新变量回代，而直接代入新变量的上下限，然后相减就的上下限，然后相减就txx把原变量把原变量（1）用）用可以了。可以了。 第四节第四节 定积分的分部积分法定积分的分部积分法重点与难点：重点与难点： 熟练掌握定积分的分部积分公式熟

21、练掌握定积分的分部积分公式vduuvudvbabavduabuvdvu把不定积分的分部积分公式把不定积分的分部积分公式添加上积分限，就得到定积添加上积分限，就得到定积 分的分部积分公式：分的分部积分公式：2020cossinxdxdxxnn2200dxI10cossin2201xxdx2200sincosnnnxdxxdxnN 例例 求求 解：由例解：由例4的结果知的结果知0n当当时时，1n当当时，时，203cos2cos24tdtt12214364cos640204 tdt,sin2txtdtdxcos2令令则则0 x；0t当当时，时，2x2t当当时时代入到代入到中得：中得： 第五节第五节

22、无穷区间上的广义积分无穷区间上的广义积分 重点与难点：重点与难点： 广义积分的概念与计算广义积分的概念与计算111lim11lim1lim12bbxdxxbbbbb, 1显然，当显然，当在在内变化时，内变化时，曲边体形的面积曲边体形的面积也随着也随着b的变化而变化的变化而变化b 时，这个曲边梯形面积的极限就应该是时，这个曲边梯形面积的极限就应该是“开口曲边梯形开口曲边梯形” ” 的面积，即的面积，即当当 adxxf)( babdxxf)(lim当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散时，称广义积分发散. .二、二、 广义积分的定义广

23、义积分的定义类似地，设函数类似地，设函数)(xf在区间在区间,(b上连续，取上连续，取ba ，如果极限，如果极限 baadxxf)(lim存在，则称此极存在，则称此极限为函数限为函数)(xf在无穷区间在无穷区间,(b上的广义积上的广义积分，记作分，记作 bdxxf)(. . bdxxf)( baadxxf)(lim当当极极限限存存在在时时，称称广广义义积积分分收收敛敛；当当极极限限不不存存在在时时，称称广广义义积积分分发发散散. . 设函数设函数)(xf在区间在区间),(上连续上连续, ,如果如果广义积分广义积分 0)(dxxf和和 0)(dxxf都收敛，则都收敛，则称上述两广义积分之和为函数

24、称上述两广义积分之和为函数)(xf在无穷区间在无穷区间),(上的广义积分，记作上的广义积分，记作 dxxf)(. . dxxf)( 0)(dxxf 0)(dxxf 0)(limaadxxf bbdxxf0)(lim极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散. . abxFalim bxF abxFblimaxF为了书写方便起见，我们规定：为了书写方便起见，我们规定：记为记为写为写为第六节第六节 定积分应用举例定积分应用举例重点与难点：重点与难点：正确理解定积分的元素法；正确理解定积分的元素法；熟练掌握用元素法求平面图形的面积和旋熟练掌握用元素法求平面图

25、形的面积和旋转体的体积；转体的体积；会求平面曲线的弧长、变力作功和函数的会求平面曲线的弧长、变力作功和函数的平均值。平均值。 回顾回顾 曲边梯形求面积的问题曲边梯形求面积的问题 badxxfA)(一、问题的提出一、问题的提出曲曲 边边 梯梯 形形 由由 连连 续续 曲曲 线线)(xfy )0)( xf、x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成。ab xyo)(xfy （1） 分分割割 把把区区间间,ba分分成成n个个长长度度为为ix 的的小小区区间间， 相相应应的的曲曲边边梯梯形形被被分分为为n个个窄窄曲曲边边梯梯形形，第第i个个窄窄曲曲边边梯梯形形的的面面积积为为iA ，则则 n

26、iiAA1. （2）近似代替近似代替 计算计算iA 的近似值的近似值 iiixfA)(iiixx ,1（3）求和求和 得得A的近似值的近似值.)(1iinixfA 面积表示为定积分的步骤是：面积表示为定积分的步骤是：ab xyo)(xfy （4） 求极限求极限 得得A的精确值的精确值iinixfA)(lim10 badxxf)(提示提示 若用若用A 表示任一小区间表示任一小区间,xxx 上的窄曲边梯形的面积，上的窄曲边梯形的面积，则则 AA，并取，并取dxxfA)( ，于是于是 dxxfA)( dxxfA)(lim.)( badxxfxdxx dA面积元素面积元素（3）部部分分量量iU 的的近

27、近似似值值可可表表示示为为iixf )( . 微元法的一般步骤：微元法的一般步骤：1）根根据据问问题题的的具具体体情情况况，选选取取一一个个变变量量例例如如x为为积积分分变变量量，并并确确定定它它的的变变化化区区间间,ba； 2）设设想想把把区区间间,ba分分成成n个个小小区区间间，取取其其中中任任一一小小区区间间并并记记为为,dxxx ，求求出出相相应应于于这这小小区区间间的的部部分分量量U 的的近近似似值值.如如果果U 能能近近似似地地表表示示为为,ba上上的的一一个个连连续续函函数数在在x处处的的值值)(xf与与dx的的乘乘积积，就就把把dxxf)(称称为为量量U的的元元素素(微微元元)

28、且且记记作作dU，即即dxxfdU)( ； 3）以以所所求求量量U的的元元素素dxxf)(为为被被积积表表达达式式，在在区区间间,ba上上作作定定积积分分，得得 badxxfU)(，即即为为所所求求量量U的的积积分分表表达达式式.这个方法通常叫做这个方法通常叫做微元法微元法应用方向：应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等功；水压力；引力和平均值等xyo)(xfy abxyo)(1xfy )(2xfy ab曲边梯形的面积曲边梯形的面积 badxxfA)(平面图形的面积平面图形的面积 badxxfxfA)()(12xxxx

29、x 二、平面图形的面积二、平面图形的面积例例 1 1 计计算算由由两两条条抛抛物物线线xy 2和和2xy 所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解 两曲线的交点为两曲线的交点为) 1 , 1 ()0 , 0(面积元素面积元素dxxxdA)(2选选 为积分变量为积分变量x1 , 0 xdxxxA)(21010333223 xx.31 2xy 2yx 旋转体旋转体就是由一个就是由一个平面图形平面图形饶这平面内饶这平面内一条一条直线直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台三、旋转体的体积三、旋转体的体积一一般般地地，如如果果旋旋转转体体是是由

30、由连连续续曲曲线线)(xfy 、直直线线ax 、bx 及及x轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转一一周周而而成成的的立立体体，体体积积为为多多少少？取取积积分分变变量量为为x，,bax 在在,ba上上任任取取一一小小区区间间,dxxx ， 取取以以dx为为高高，f(x)为为半半径径的的扁扁圆圆柱柱体体的的体体积积为为体体积积元元素素， dxxfdV2)( xdxx xyo旋转体的体积为旋转体的体积为dxxfVba2)( )(xfy y例例 1 1 连接坐标原点连接坐标原点O及点及点),(rhP的直线、直线的直线、直线hx 及及x轴围成一个直角三角形将它绕轴围成一个直角三角形将它绕x轴旋轴旋转构成一个底半径为转构成一个底半径为r、高为、高为h的圆锥体，计算的圆锥体，计算圆锥体的体积圆锥体的体积r解解hPxhry 取取积积分分变变量量为为x，, 0hx 在在, 0h