高等数学(下)期末复习自测题(一)

1、一一 填空题填空题1. 曲线曲线32,2xtytzt在在1t 处切线方程为处切线方程为 .2 点点(1,2,1)到平面到平面2210 xyz的距离为的距离为 .切点切点(1,1,2),切向切向2(3 ,t2 , t 2)1t (3,2,2), 112xyz323|12 22 110|d 22212213. 已知已知(),xzxfy 则则zx .xz fx f 1y()()xxxffyyy 4 交换积分交换积分10( , )yydyf x y dx的次序为的次序为 .Oxyyx xy xy 2yx 11D( , )f x y dy dx 2xx015. 21,1yxyx所围的平面图形面积为所围的

2、平面图形面积为 .Oxyyx 21yx 1x16S 2( +1(1)xxdx）10 6 设设()xazf ybz确定的隐函数为确定的隐函数为( , ),zz x y 则则zx .1xaz f xbz 1abf 二二 选择填空题选择填空题1 直线直线2132xyz 与直线与直线0580 xyzxyz 的关的关系是系是( ).(A) 垂直垂直; (B) 平行平行; (C) 相交相交; (D) 异面但不垂直异面但不垂直.B直线一的方向向量为直线一的方向向量为1(3, 2,1),s 直线二的方向向量为直线二的方向向量为2s (1,1, 1) (1, 1, 5) ( 6,4, 2), 2 设设(,)uf

3、 xy xz有二阶连续偏导数有二阶连续偏导数,则则2ux z ( ).1222(A);xfxzf 21222(B);fxfxzf22(C);xzf22122(D).fzfxzfBxu 1f2f zxzu 1f2x2f z 2f2x3 设设22:14,Dxy则二重积分则二重积分22()Df xydxdy 在极坐标下的表示式是在极坐标下的表示式是( ).21(A)2( );fd 221(B)2();fd 21(C)2( );fd 221(D)2().fd BxyO1 2 D 2()f d d 2()fd d 1202 4 在下列级数中在下列级数中,绝对收敛的级数是绝对收敛的级数是( ).2111(

4、A)( 1) (cos);nnnn 11(B)( 1);nnn 21!(C)( 1);(2 )!nnnn 21ln(D)( 1).nnnn C211(cos)nn limn1, (A)发散发散.1n1n 发散发散, (B)不是绝对不是绝对收敛的收敛的.2ln nn1,n (D)不是绝对收敛的不是绝对收敛的.2!(2 )!nn2(1)!22)!nn （ 12(21)nn limnlimn14 1, (C)是绝对收敛的是绝对收敛的.5 由曲线由曲线,yx yx围成的平面图形绕围成的平面图形绕x轴旋转一轴旋转一周所得的旋转体体积是周所得的旋转体体积是( ).11(A);(B);(C);(D).663

5、030AOxyyx yx x1V 22()xx 10 dx2x 10 dx3 三三 求函数求函数22( , )(2 )xf x yexyy的极值的极值,并指出是并指出是极大值极大值,还是极小值还是极小值.解解xf 222(2 )xexyy2xe 22(2241)xexyyyf 2(22)xey 0 0 得驻点得驻点12( , 1). xxf 22(44+84),xexyyxyf 24(1)xey yyf 22,xe在驻点处在驻点处12( , 1)xxAf 2,e 12( , 1)xyBf 0, 12( , 1)yyCf 2 . e 2BAC 24e 0, 0,A 函数在点函数在点处取极小值处取

6、极小值12( , 1) 12( , 1)f .2e 四四 求级数求级数21121nnxn 的收敛域和和函数的收敛域和和函数.解解1|( )|( )|nnuxux 2121|nxn 2121|nxn 22121nxn limnlimnlimn2x 当当21x 时，时， 即即| 1x 时，时， 原级数绝对收敛，原级数绝对收敛，当当21x 时，时， 即即| 1x 时，时， 原级数发散，原级数发散， 收敛区间为收敛区间为( 1,1). 令令211( )21nnxS xn ( 1,1),x 则则11.x ( )S x 211()21nnxn 2111()21nnxn 221nnx 211x ( )( )

7、(0)S xS xS2011xdxx 11ln21xx 五五 已知平面图形是由曲线已知平面图形是由曲线,0,10 xyexxy围成围成,1 求该图形的面积求该图形的面积; 2 求该图形绕求该图形绕y轴旋转一周所得立体轴旋转一周所得立体的体积的体积.Oxyxye 1x 1e1lnxy 解解S xe dxx10 1eV e y2ln y 1e dy21lneydy 21lneyy1ey ln2ydyye 12 lneyy 12ey 1dyye (2)e 2 或或V 2x xe dx10 2 10 xxe10 xe dx 2 e (1)e2 六六 计算二重积分计算二重积分.Dydxdy 其中其中D是

8、由曲线是由曲线,yx 2yx 围成的平面区域围成的平面区域.Oxy14yx yx 2yx ,yx 解解 原式原式 1Dydxdy 2Dydxdy dxydy dxydy 2xx012xx1410dx 238x41dx 21()24xx 18 98 54 七七 求方程求方程xyyxe 的通解的通解.解解 对应齐次方程的特征方程为对应齐次方程的特征方程为210,r 其根为其根为, i 因此齐次部分的通解为因此齐次部分的通解为Y cossin .cxdx 设非齐次方程的特解为设非齐次方程的特解为*y 0 x ()axb xe(),xaxb e*y (),xaxab e*y (2)xaxab e代入方

9、程并消去代入方程并消去xe得得2ax22ab,x 因此因此1,2a 1,2b 1*(1).2xyxe非齐次方程的通解为非齐次方程的通解为*yYycossincxdx1(1).2xxe八八 设经过直线设经过直线L212524xyz且垂直于平面且垂直于平面1 4370 xyz的平面方程的平面方程.解解 已知直线已知直线L过点过点(2, 1,2),M 方向向量为方向向量为s (5,2,4).已知平面已知平面的法向量的法向量1 1n (1,4, 3). 由于所求平面过直线由于所求平面过直线垂直于平面垂直于平面1, 所以所求平面过点所以所求平面过点M， 法向量为法向量为1nsn524143ijk ( 22, 19,18)所求平面方程为所求平面方程为22(2)19(1)18(2)0,xyz或或22191827xyz由于所求平面过直线由于所求平面过直线L，九九 设设( )f t连续