用二分法求方程的近似解

1、授课老师：张晴问题问题1.1.能否求解以下几个方程能否求解以下几个方程(1)(1)x x2 2-2-2x x-1=0 -1=0 (2) 2(2) 2x x=4-=4-x x(3)(3)x x3 3+3+3x x-1=0 (4)lgx=3-x -1=0 (4)lgx=3-x 问题问题2. 2. 不解方程不解方程, ,能否求出方程（能否求出方程（2 2）的近似解？）的近似解？ 指出：指出：用配方法可求得方程用配方法可求得方程x x2 2-2-2x x-1=0-1=0的解，但的解，但此法不能运用于解另外两个方程。此法不能运用于解另外两个方程。学生活动学生活动与讨论与讨论问题问题3 3不解方程，如何求

2、方程不解方程，如何求方程x x2 2-2x-1=0-2x-1=0的一个的一个正的近似解（精确到正的近似解（精确到0.10.1）? ? xy1 203y=x2-2x-1-1 由此可知：借助函数由此可知：借助函数f(x)= x2-2x-1的图象及其单的图象及其单调性，我们发现调性，我们发现f(2)=-10，这表明此函数，这表明此函数图象在区间图象在区间(2,3)上穿过上穿过x轴一次，可得出方程在区间轴一次，可得出方程在区间(2,3)上有惟一解上有惟一解.画出画出y=x2-2x-1的图象，如图的图象，如图由于由于2.375与与2.4375的近似值都为的近似值都为2.4,停止操作停止操作,所求近似解为

3、所求近似解为2.4。数离形时少直观，形离数时难入微！数离形时少直观，形离数时难入微！ 2-3+xy1203y=x2-2x-1-12-3+2.5+2.25-2.375-2-3+2.25-2.5+2.375-2.4375+2-2.5+3+232.52-3+2.5+2.25-22.52.25解：设解：设f f (x)=x(x)=x2 2-2x-1-2x-1，设，设x x1 1为其正的零点为其正的零点1 1简述上述求方程近似解的过程简述上述求方程近似解的过程x x1 1(2,3)(2,3) f f(2)0, (2)0(3)0 x x1 1(2,2.5)(2,2.5)f f(2)0, (2)0(2.5)

4、0 x x1 1(2.25,2.5)(2.25,2.5) f f(2.25)0, (2.25)0(2.5)0 x x1 1(2.375,2.5)(2.375,2.5) f f(2.375)0, (2.375)0(2.5)0 x x1 1(2.375,2.4375)(2.375,2.4375) f f(2.375)0, (2.375)0(2.4375)0f f(2.5)=0.250(2.5)=0.250 f f(2.25)= -0.43750(2.25)= -0.43750 f f(2.375)= -0.23510(2.375)= -0.23510(2.4375)= 0.1050 2.3752.

5、375与与2.43752.4375的近似值都是的近似值都是2.42.4xx1 12.42.4 对于在区间对于在区间 a,ba,b 上连续不断，且上连续不断，且f f (a) (a)f f (b)0 (b)0的的函数函数y y= =f f ( (x x) )，通过不断地把函数，通过不断地把函数f f( (x x) )的零点所在的区的零点所在的区间一分为二，使区间的两端点逐步逼近零点，进而得间一分为二，使区间的两端点逐步逼近零点，进而得到零点到零点( (或对应方程的根或对应方程的根) )近似解的方法叫做二分法。近似解的方法叫做二分法。问题问题5 5：二分法实质是什么？：二分法实质是什么？ 用二分法

6、求方程的近似解，实质上就是通过用二分法求方程的近似解，实质上就是通过“取取中点中点”的方法，运用的方法，运用“逼近思想逐步缩小零点所在的逼近思想逐步缩小零点所在的区间。区间。 1 1 2 2x xy y4 40 04 4y y=2=2x xy y=4-=4-x x1 1怎样找到它的解所在的区间呢？怎样找到它的解所在的区间呢？在同一坐标系内画函数在同一坐标系内画函数y=2y=2x x与与y=4-xy=4-x的图象，如图：的图象，如图：提问：能否不画图确定根所在的区间？提问：能否不画图确定根所在的区间？得得: :方程有一个解方程有一个解x x0 0 (0,4)(0,4)如果画得很准确，可得如果画得

7、很准确，可得x x0 0 (1,2)(1,2)解：设函数解：设函数f f (x)=2(x)=2x x+ +x x-4-4则则f f (x)(x)在在R R上是增函数上是增函数f f (0)= -30, (0)= -30(2)=20 f f (x)(x)在在(0,2)(0,2)内有惟一零点，内有惟一零点， 方程方程2 2x x+x-4 =0+x-4 =0在在(0,2)(0,2)内有惟一解内有惟一解x x0 0。由由f f (1)= -10, (1)= -10(2)=20得：得：x x0 0(1,2)(1,2)由由f f (1.5)= 0.330, (1.5)= 0.330, f f (1)=-1

8、0(1)=-10得：得：x x0 0(1,1.5)(1,1.5)由由f f (1.25)= -0.370, (1.25)= -0.370(1.5)0得：得：x x0 0(1.25,1.5)(1.25,1.5)由由f f (1.375)= -0.0310, (1.375)= -0.0310(1.5)0得：得：x x0 0(1.375,1.5)(1.375,1.5)由由f f (1.4375)= 0.1460, (1.4375)= 0.1460, f f (1.375)0(1.375)0得：得：x x0 0(1.375,1.4375)(1.375,1.4375) 1.3751.375与与1.437

9、51.4375的近似值都是的近似值都是1.41.4 xx0 01.41.4 问题问题6 6：能否给出二分法求解方程：能否给出二分法求解方程f f( (x x)=0 )=0 或或g g( (x x)=)=h h( (x)x)近似解的基本步骤？近似解的基本步骤？给定精确度给定精确度 ，用二分法求函数，用二分法求函数f f（x x）零点近）零点近似值的步骤如下：似值的步骤如下：1 1 确定区间确定区间aa，bb，验证，验证f f（a a）ff（b b）00，给定精，给定精确度确度 。2 2 求区间（求区间（a a，b b）的中点）的中点c c。3 3 计算计算f f（c c）：）：（1 1）若）若f

10、 f（c c）=0=0，则，则c c就是函数的零点。就是函数的零点。（2 2）若）若f f（a a）ff（c c）00，则令，则令b=cb=c。（此时零点（此时零点x x0 0（a,ca,c）（3 3）若）若f f（c c）ff（b b）00，则令，则令a=ca=c。（此时零点（此时零点x x0 0 （c,bc,b）4 4 判断是否达到精确度判断是否达到精确度 ：即若：即若|a-b|a-b|，则得到零，则得到零点的近似值点的近似值a a（或（或b b）；否则重复）；否则重复2424步。步。 为什么由为什么由|a-b|a-b|，就可以判断零点的近似值为，就可以判断零点的近似值为a a（或（或b

11、b）？）？设函数的零点为设函数的零点为x x0 0 ，所以所以0 x0 x0 0 a b a , a b a , 由于由于| a b | a b |，所以所以| x| x0 0 a | b a , a | b a , 作出数轴作出数轴,在数轴上标上在数轴上标上a，b，x0对应的点：对应的点：则则ax0b，a b x0- b0 x0 b | | a b | 即即a或或b作为函作为函数的零点数的零点x0的近似值都达到给定的精确度的近似值都达到给定的精确度。ax0b练习练习1： 求方程求方程x3+3x-1=0的一个近似解的一个近似解(精确到精确到 0.01)画画y=x3+3x-1的图象比较困难，的图象比较困难，变形为变形为x3=1-3x，画两个函数的图象如何？，画两个函数的图象如何？练习练习2：求方程：求方程lgx=3-x的一个的一个近似解近似解(精确到精确到 0.1)xy10y=1-3xy=x31有惟一解有惟一解x0(0,1)思考题思考题 从上海到美国旧金山的海底电缆有从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查几个接