热传导方程 (2013-2014)

1、二、二、 分离变量法分离变量法三、柯西问题三、柯西问题一、一、 方程的导出、定解条件方程的导出、定解条件第二章第二章热传导方程热传导方程 第二二章 四、极值原理和解的渐进形态四、极值原理和解的渐进形态所要研究的物理量：温度 ),(tzyxu根据热学中的傅里叶实验定律在dt时间内从dS流入V的热量为：从时刻t1到t2通过S流入V的热量为 211ddttSQk uSt 高斯公式（矢量散度的体积分等于该矢量的沿着该体积的面积分） 211d dttVQk u V t dd duQkS tn d dku nS t d dk uS t 热传导现象：当导热介质中各点的温度分布不均匀时，有热量从高温处流向低温

2、处。热场MSSVn高斯公式（矢量散度的体积分等于该矢量的沿着该体积的面积分） dcoscoscosSSSSuuuuuSdSu ndSdSxyzn Suuudydzdzdxdxdyxyz222222()VVuuudxdydzudxdydzxyz(,),(cos ,cos,cos )uuuunxyz 222222uuuuuuxyz coscoscosuuuuunxyxnn211d dttVQk u V t ),(1tzyxu),(2tzyxuVtzyxutzyxucQVd),(),(12221QQ 流入的热量导致V内的温度发生变化 2211d dd dttttVVuk u V tcV tt uk

3、uct ukutc0u 2uauft 流入的热量：温度发生变化需要的热量为(热量守恒公式)：VttucVttdd21 21ddttVtVtuc2au热传导方程热场MSSVn稳恒温度场：有热源：扩散现象：所要研究的物理量：扩散物质的浓度 ( , , , )N x y z t根据热学中的扩散定律定律在dt时间内从dS流入V的质量为：d dDN nS t dd dNmDS tn d dDN nS t d dD NS t 从时刻t1到t2通过S流入V的质量为 211ddttSMD NSt 高斯公式（矢量散度的体积分等于该矢量的沿着该体积的面积分） 211()+()+() d dttVNNNMDDDV

4、txxyyzz 1( , , , )N x y z t2( , , , )N x y z t221( , , , )( , , , )dVMN x y z tN x y z tV12MM散入的质量导致V内的浓度发生变化 22111()+()+() d dd dttttVVNNNNMDDDV tV txxyyzzt 散入的质量：浓度发生变化需要的质量为(质量守恒公式)：21d dttVNt Vt21d dttVNV tt NNNNDDDtxxyyzz与热传导方程形式相同211()+()+() d dttVNNNMDDDV txxyyzz 热传导方程的边界条件(1) 给定温度在边界上的值|sufS

5、给定区域 v 的边界(2) 绝热状态0sun(3)热交换状态牛顿冷却定律：单位时间内从物体通过边界上单位面积流到周围介质的热量跟物体表面和外面的温差成正比。11()d dd dudQk uuS tkS tn 热交换系数； 周围介质的温度1k1u1SSuuun1kk第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件热传导方程的初始条件(1)如果所考虑得物体体积很大,而所需知道的只是较短时间和较小范围内温度的变化情况,边界条件所产生的影响可以忽略,这时不妨把所考察的物体视为充满整个空间0|( , , ),(, ,)tux y zx y z 需要指出:和波动方程不一样的是,初始条件只能给一个均匀细杆：侧面绝

6、热222uuatx柯西问题均匀薄片：侧面绝热22222uuuatxy作业作业P51:21.1解答:取杆柱为 轴,考察位于 微段的热量平衡.单位时间从侧面流入的热量x ,x xx111();dQk uul x 单位时间从 处, 处流入的热量为xxx22( )( , );4uldQk xx tx 23()(, );4uldQk xxxx tx故单位时间 处流入的热量为 ,x xx212311( )().4xuldQdQdQdQk xxk uul xxx 综上,从时刻 到时刻 流入 的热量为 ,x xx1t2t2211211( )().4txtxulk xk uul dxdtxx 而在这段时间内 各

7、点温度从 变到 吸收的热量为 ,x xx1( , )u x t2( , )u x t2221112212( ( , )( ,).44xtxxtxllucu x tu x tdxcdxdtt 根据热量平衡,并注意到 的任意性,所求方程为1212, ,x x t t1141( )().kuuk xuutcxxc l1.2解答:设 表示时刻 点处的扩散浓度,( , , , )N x y z t,( , , )tx y z 为扩散系数,在无穷小的时间段 内,通过无穷小的面块 的质量为( , , )D x y zdtdS( , , ).NdmD x y zdSdtn 因此从时刻 到时刻 流入区域 ( 为

8、 的表面)的质量为1t2t2211( , , )().ttttND x y zdSdtdiv DgradN dxdydzdtn 另外,从时刻 到时刻 , 中的物质增量为1t2t2121( , , ,)( , , , ).ttNN x y z tN x y z tdxdydzdtdxdydzt 根据质量守恒,并注意到 的任意性,所求方程为12, ,t t .NNNNDDDtxxyyzz222,0,0,(2.1)( , )(0, )0,( , )0,0(2.2)( ,0)( )0(2.3)uuaxl ttxu l tuthu l ttxu xxxl)()(),(tTxXtxu21XTXaT0 XX

9、20Ta T0)()0(), 0(tTXtu0)()(, 0)0(lhXlXX0)()()()()()()(),(),(tTlhXlXtTlhXtTlXtlhuxtlu带入方程：解：令二、分离变量法二、分离变量法 0)()(, 0)0(0, 0lhXlXXlxXX02xxBeAexX)(0)()(0)0(llllBhehAeeBeAlhXlXBAX0 BA0)(xX02 XX0BAxxX)(0)()(hAlAlhXlX0A0)(xX0 X0)0( BX02xBxAxXsincos)(0)0( )( )cossin0XAX lhX lBlBhlhl/tan, 3 , 2 , 1,nn2nnxBx

10、Xnnnsin)(02 XX220nnnTa T22na tnnTC ennnTXu 2211sinna tnnnnnuuC ex22sinna tnnnC B ex22sinna tnnC ex222,0,0,( , )(0, )0,( , )0,0( ,0)( )0uuaxl ttxu l tuthu l ttxu xxxl20Ta T00sinsind0lmnmnxx xmn20sindlnnx xL令)(sin)0 ,(1xxCxunnnlmmlmxxxxxC020dsindsin)(1sincosnnnnxatCuxxxxxxClmlmnnndsin)(dsinsin001 lmmx

11、xC02dsin222,0,0,( , )(0, )0,( , )0,0( ,0)( )0uuaxl ttxu l tuthu l ttxu xxxl222,0,0(0, )0, ( , )0,0( ,0)( ),0uuaxl ttxutu l ttu xxxl)()(),(tTxXtxuXTaXT 2002 TaTXX 0)(, 0)0(00lXXlxXXXXTaT 20)()(),(0)()0(), 0(tTlXtlutTXtu0)(, 0)0(lXX代入方程：令例1 求下列定解问题解：分离变量:令 0)(, 0)0(00lXXlxXX0202 XXxxBeAeX0X00 XBAxX0X

12、0202 XXxBxAXsincoslnnxlnBXnnsin0)0(BAX0)( llBeAelX0 BA0)0( AX0sin)(lBlX, 3 , 2 , 1,22nlnnn解特征问题:lxxxuttlututlxxuatu0),()0 ,(0, 0),(, 0), 0(0,0,22202TaT02222nnTlnaTtlnanneAT2222nnnTXu 11sin2222ntlnannnxlneCuuxlneBAtlnannsin22222222sina ntlnnnuC exlxlnBXnnsin, 3 , 2 , 1,22nlnnn1sin)()0 ,(nnxlnCxxuxxln

13、xlClndsin)(20解另一个特征问题:写出解:确定系数:lxxxutxtluxtutlxxuatu0),()0 ,(0, 0),(, 0), 0(0,0,222)()(),(tTxXtxuXTaXT 2XXTaT 2002 TaTXX 0)(, 0)0(00lXXlxXX0)()(),(0)()0(), 0(tTlXxtlutTXxtu0)(, 0)0(lXX例2 求下列定解问题解：分离变量 0)(, 0)0(00lXXlxXX0202 XXxxBeAeX0X0)0(BAXlleBeAlX )(0 BA00 XBAxX0BX 0202 XXxBxAXcossinlnnxlnBXnncos

14、0)0(AX0sin)(lBlX, 3 , 2 , 1,22nlnnn解特征问题:lxxxutxtluxtutlxxuatu0),()0 ,(0, 0),(, 0), 0(0,0,22200BX xlnBXnncos, 3 , 2 , 1,2nlnn02TaT000T00TA002222nnTlnaTtlnanneAT22222222cosa ntlnnnnuA B exlxlneCtlnancos2222000CAB100cos2222ntlnannnxlneCCuu000TXu 解另一个特征问题:写出解:lxxxutxtluxtutlxxuatu0),()0 ,(0, 0),(, 0),

15、0(0,0,222100cos2222ntlnannnxlneCCuu10cos)()0 ,(nnxlnCCxxuxxlCld )(100 xxlnxlClndcos)(20 xxtuau20|0 xx luu)(|0 xut)()(xXtTu0)() 0 (LXXXXTaT/ )/(2220TaT20XX22exp()TAatsin,nlXx )()(xXtTukkkkkXTu),( txuu分离变量流程图作业作业P56: 1,22.1解答:设 ,则( , )( ) ( )u x tX x T t20,Ta T0,(0)( )0.XXXX21,0,1,2,2kkk221201( , )sin

16、.2ka tkku x tC ekx由初始条件知:001( )sin221( )sin.2kkkf xCkxCfkd 2.2解答:220( , )sin.ktkku x tC ek x1121022sin(1)sinkCkdkd 22220,24sin0,1,2,4( 1),21,2(21)nknknknkn22(21)2204( 1)( , )sin(21).(21)nntnu x tenxn2.3解答:问题22222000,|0,( , )cos.|( ).ktxxa tlxxxx lkktua ukuuu x tC exluf x00012( ),( )cos(0)llkkCfdCfdk

17、lll 0000( ),0(0)( , ).kf xuCu Cku x tu三、柯西问题三、柯西问题1,傅立叶变换及其性质: 是 上的函数,且在 有一阶连续导数,则其可以展开为傅立叶级数( )f x(,) , l l01( )cossin,2nnnannf xaxbxll即:111( )( )( )cos(),2llllnnf xfdfxdlll若 在 上绝对可积,即 有界,则 有( )f x(,) ( )llfdl 11( )lim( )cos(),lllnnf xfxdll 11( )cos,( )sin,0,1,2,llnnllnnafdbfdnllll 令 则可以得到1,1,2,nnn

18、nnnll011( )lim( )cos()lnnlnf xfxd 01( )cos ()lldfxd为 的傅立叶积分.( )f x由于 是 的偶函数, 是 的奇函数,所以上式可写为.cos ()xsin ()x1( )( )cos ()sin ()2llf xdfxixd()1( )2lixldfed12i xed( )lilfed1( )( )d ,2igfe( )( )di xf xge为 的傅里叶变换,记为 ,而它的逆变换(反演变换)也存在于是令( )f x F f记为:1 Fg习惯上,记1 ( )( )d ,2i xF fgf x ex(1) 导数定理导数定理( ) ( )( )F

19、fxi F f xi g证明：1( )( )21 ( )( )2( )()( ) ( ).i xi xi xi xi xdf xF fxedxdxf x ef x edxf x edxif x edx i F f x 0)(limxfx(2) 积分定理积分定理( )11( ) ( )( )xFf x dxF f xgii)()()(xdxxfx记)()( xfx ( ) ( )Fxi Fx1 ( ) ( )FxFxi则由导数定理即2,傅立叶变换的性质:(3) 相似性定理相似性定理1 ()( )F f axgaa通常将变换 f(x) f(ax) 称为相似变换，它将测量的尺子的单位改变为原来单位的

20、1/a，相应地，测量的长度值变为原值的 a 倍，而保持函数的形式不变。有时也叫尺度变换。 证明111 ()()( )22111( )( ).2yy axii xaiyaF f axf ax edxf y edyaf y edygaaa(4) 延迟定理延迟定理000 () ( )( )i xi xF f xxeF f xegx 看作时间，记时由 x 到 x-x0 表示提前了 x0。记作“延迟”是习惯说法。证明00000011 ()()( )221( )( ).2y x xi y i xi xi xi xi yF f xxf xx edxf y edyef y edyeg (5) 位移定理位移定理

21、00( )()ixF ef xg频域的位移证明00()01( )( )().2ixixF ef xf x edxg (6) 卷积定理卷积定理原函数的卷积与像函数的乘积间的关系11( )( )F f xg22( )( )F fxg若和则1212( )( )2()()Ffxfxgg证明卷积：12121212121( )( )( )()21( )( )2112( )( )2( )( ).22i xyxii yii yF fxfxffxdedxfeefy dy dfedefy dygg dxffxfxf)()()()(2121l傅里叶变换可用于求解含有时间的偏微分方程定解问题,l变换后,自变量的个数比

22、原来少一个l例如,原来自变量是 和 的偏微分方程定解问题,变换后变为致函自变量 的常微分方程l一般来说,后者比较容易求解l这样求得的是原始定解问题的像函数,还必需求逆变换,才能得到原始问题的解.xtx例1 热传导方程的柯西问题222,0( ,0)( ),uuaxttxu xxx 解：利用傅立叶变换的性质,把 是为参数,对 作傅里叶变换,记tx ( , )( , ), ( )( )F u x tUtFx 由傅里叶导数性质,原方程变为22( ,0)( )tUaUU 该问题是带参数 的常微分方程柯西问题,它的解为22( , )( )atUte 函数 的傅里叶逆变换是22ate22221atati x

23、Feeed2222222()24.at i xixxa ta ta tedede因为2222222221.ixa ta tixa ta ty a tyedededya ta t 利用卷积定理1212( )( )2()()Ffxfxgg得112121( )( )( )( )2Fggfxfx这里取 2212( )( ),( )atgge 则22412( )( ),( )xa tf xxfxea t所以2211( , ) ( , )( )atu x tFUtFe2241( )2xa txea t22()41( )2xa tedat 作业作业P62: 1(1),(2),5(1)3.1解答(1):222

24、22244.ixxxi xF eeedxeedxe(2):| | | |cossina xa xa xF eexdxiexdx22022cos.axaexdxa3.5解答(1):22()41( , )( )2xa tu x tedat 21(2)xa ted21sin(2)xa ted21sincos(2)cos sin(2)xa txa ted21sincos(2)sin(2)xa tia ted221sincos(2)cossin(2)xa tedxa ted21sincos(2)xa ted221sini a txeed22()()1sinia tia txeed22()1sina ti

25、a texed21sina tex2sin .a tex(2):对 作奇延拓,即( ) x( ),0,( )(),0.xxxxx求解如下的柯西问题20,|( ),txxtua uux 得(取 )0 x 22()41( , )( )2xa tu x tedat222222()()0440()4201( )()21( ).2xxa ta txa tededatxeshda tat 四、极值原理定理4.1：设 在矩形 上连续，并且在,0TRxtT max ( , )max ( , ),min ( , )min ( , ).TTTTRRu x tu x tu x tu x t1、极值原理( , )u

26、x t(,0)xxtT 的两侧边及底边所组成的边界曲线（统称抛物边界），那么成立(0,)txTRT证明:反证法:假设 为 在矩形区域 上的最大值, 表示 在( , )u x tMTRm( , )u x t点 使函数 在该点取值 作函数矩形边界上 的最大值.如果定理不真,即 .此时在矩形内部存在一T.M(, )(0,),x ttx( , )u x t22( , )( , )() ,4MmV x tu x txxl其中 由于在 上.lTMm矩形内部满足热传导方程，则它在矩形的两个侧边 及底边 上取到最大值和最小值。换言之，如果以 表示 3( , )(01),444MmMV x tmmM而(, ),

27、V x tM因此,函数 和 一样,它不在 上取到最大值.设 在 中( , )V x t( , )u x tT( , )V x tTR某一点 上取到最大值 ,则在此点应有(, )x t(0,)tx220,0VVxt如果 ,则 如果 ,则 因此在点 处1tT0;Vt1tT0.Vt11( , )x t2220;VVatx依照热传导方程得22222222220,22VVuuMmMmaaaatxtxll 着就得到矛盾.它说明假设不正确.应该为.Mm因为将 代替 ,最小值得情形就变为最大值的情形.uu2、初边值问题解的唯一性和稳定性定理4.2：热传导方程的初边值问题212( , ),( ,0)( ),(4

28、.2)( , )( ), ( , )( )txxua uf x tu xxutt utt在区域 上的解是惟一的,而且连续地依赖于边界 上所给定的初始条件其边界条件.TRT在区域 上是唯一的，而且解连续地依赖于边界 上所给定的的初始条件和边界条件。TRT证明：假设该问题有两个解 ,则其差 满足齐次微分方程，则有极值原理得到在 内成立着这就证明了初边值问题（4.2）解的稳定性。12,u u12uuuT0u TR1u2uT12|uuTR12|uu而在边界 上取零，于是有上述的极值原理得到在区域 上 。即这两个解在 上相同。TR其次，如果初边值问题的两个解 和 在 上满足作业作业P65: 1,24.1

29、解答：令 ，则 满足 且有 ( , )( , )ctv x tu x t e( , )v x t2,txxva v00| |,| |,| |.ctxxctxxttvueBvueBvuM根据热传导方程的极值原理有| ( , )| max, ,v x tM B而对任何的 ，0t | ( , )| | ( , )| max,.ctctctu x tv x t eMeBe为证唯一性，只需证明问题20,|0,|0txxxxtua ucuuuu只有零解。事实上，此时 ，因此 即0MB| ( , )| 0,u x t ( , )0.u x t 为证稳定性，只要证明问题2120,|( ),|( ),|( )t

30、xxxxtua ucuut utux当 和 很小时，解也很小。设当 ，12( ),( )tt( ) ttT12|( )|,|( )|,max| ( )|,ttx 则对 成立,tTx| ( , )| max,max,.ctctcTcTu x teeee4.2解答:设 是在以 为边界的 上的调和函数,由于 在闭区域上的连续性,则 一定可以取到最大值 ,最小值 下证 ( , )u x yuuMm.Mm反证法:设 在 内 点取到最大值.( , )u x y00(,)xy00(,).u xyMm作辅助函数22002( , )( , )()() ,4Mmv x yu x yxxyyR其中 是以原点为圆心,包含 的圆的半径.此时有0000(,)(,),v xy