[理学]3_5初等矩阵ppt课件

1、第五节 矩阵的初等变换及初等矩阵定义定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换下面三种变换称为矩阵的初等行变换: ）；记记作作两两行行对对调调两两行行（对对调调jirrji,1 ;02乘乘以以某某一一行行的的所所有有元元素素以以数数 k）记记作作行行乘乘（第第krkii , .3 ）记记作作行行上上倍倍加加到到第第行行的的对对应应的的元元素素上上去去（第第倍倍加加到到另另一一行行把把某某一一行行所所有有元元素素的的jikrrikjk 一、矩阵的初等变换定义定义2 矩阵的矩阵的初等列变换初等列变换与与初等行变换初等行变换统称统称为为初等初等变换变换 初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初

2、等变换, 且变换类型一且变换类型一样样 同理可定义矩阵的初等列变换同理可定义矩阵的初等列变换所用记号是把所用记号是把“r换成换成“cjirr kri 逆变换逆变换;jirr 逆变换逆变换;)1(krkrii 或或jikrr 逆变换逆变换.)(jijikrrrkr 或或等价关系的性质：等价关系的性质：1 AA（ ） 反身性；2 AB , BA;（ ）对称性 若则3 AB,BC, AC.（ ）传递性 若则ABABAB如 果 矩 阵经 有 限 次 初 等 变 换 变 成 矩 阵，就 称 矩 阵与等 价 ， 记 作具有上述三条性质的关系称为等价具有上述三条性质的关系称为等价例如，两个线性方程组同解，例

3、如，两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价就称这两个线性方程组等价特点：特点：1、可划出一、可划出一条阶梯线，线的条阶梯线，线的下方全为零；下方全为零；5 00000310003011040101B 2、每个台阶、每个台阶 只只有一行，有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元 称为行阶梯形矩阵称为行阶梯形矩阵 , 称为行最简形矩阵称为行最简形矩阵5B5B.,A nm和和行行最最简简形形变变换换把把他他变变为为行行阶阶梯梯形形总总可可经经过过有有限限次次初

4、初等等行行对对于于任任何何矩矩阵阵 注意：注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的 行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形形 000003100030110401015 B 00000301003101041001 0000030100300104000134cc3215334cccc 214ccc F 00000001000001000001(F称为矩阵称为矩阵 的标的标准形准形,其特点是左上其特点是左上角是一个单位矩阵角是一个单位矩阵

5、,其余元素全为零其余元素全为零)B标标准准形形总总可可经经过过初初等等变变换换化化为为矩矩阵阵 Anm nmrOOOEF .,的的行行数数行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵中中非非零零行行就就是是三三个个数数唯唯一一确确定定，其其中中此此标标准准形形由由rrnm二、初等矩阵的概念 矩阵的初等变换是矩阵的一种根本运算，应用广矩阵的初等变换是矩阵的一种根本运算，应用广泛泛.三种初等变换对应着三种初等方阵三种初等变换对应着三种初等方阵. 行（列）上去行（列）上去乘某行（列）加到另一乘某行（列）加到另一以数以数乘某行或某列；乘某行或某列；以数以数对调两行或两列；对调两行或两列；kk. 30. 2. 1定义定义

6、由由 阶单位矩阵阶单位矩阵 经过一次初等变换得到的经过一次初等变换得到的方阵称为方阵称为 阶初等矩阵阶初等矩阵. .nEn，得得初初等等方方阵阵两两行行，即即中中第第对对调调)(,jirrjiE对调两行或两列对调两行或两列、1( , )1101111011nEi j i 第 行j 第行第一第一种初等种初等阵阵 02乘乘某某行行或或某某列列、以以数数 k( ( )1111nEi kk 行行第第 i以数以数 乘乘 的第的第 行行或第或第 列列得到的矩阵得到的矩阵,记记为为 ,即即0k nEii( ( )E i k第二第二种初等种初等阵阵上去上去列列加到另一行加到另一行列列乘某行乘某行、以数、以数)

7、()(03 k，列列上上列列加加到到第第的的第第乘乘或或以以行行上上行行加加到到第第的的第第乘乘以以)()( ijjikccjiEkkrrijEk ( , ( )1111nkEi j k 行行第第i第三第三种初等种初等阵阵j第 行定理定理1 初等变换和初等矩阵的关系初等变换和初等矩阵的关系设设 是一个是一个 矩阵矩阵,对对 施行一次施行一次初等行变换初等行变换,相当于在相当于在矩阵矩阵 的的左边乘左边乘以相应的以相应的 阶矩阵阶矩阵;对对 施行一次施行一次初等列初等列变换变换,相当于在矩阵相当于在矩阵 的的右边乘右边乘以相应的以相应的 阶初等矩阵阶初等矩阵,即即Amn AAmAAn( , )i

8、jrrm nmm nAEi j A ( , )ijccm nm nnAAEi j ( )ikrm nmm nAEi kA ( )ikcm nm nnAAEi k , ( )ijrkrm nmm nAEi j kA , ( )jickcm nm nnAAEi j k 左边乘左边乘右边乘右边乘 例如例如令令 111213212223aaaAaaa ( , )11121322 3212223212223111213011 210aaaEAaaaaaaaaa 其结果相当于矩阵其结果相当于矩阵 进展一次第一种初等行变换进展一次第一种初等行变换-交换矩阵的第交换矩阵的第 两行两行A, i j证明证明2例如

9、例如令令 111213212223aaaAaaa ( ( )22 31112131112132122232122232100EkAaaaaaaaaakakakak 相当于对相当于对 进展一次第二种初等行变换进展一次第二种初等行变换将第将第2行乘以行乘以KA证明证明3 例如例如令令 111213212223aaaAaaa ( , ( )11121322 321222311211222132321222311 201aaakEkAaaaakaakaakaaaa 相当于对矩阵相当于对矩阵 进展一次第三种初等行变换进展一次第三种初等行变换,即将第即将第2行乘以行乘以K加到第加到第1行行A，右右乘乘矩矩

10、阵阵阶阶初初等等矩矩阵阵以以类类似似地地，AjiEnn),( , )11111212221m nnjinjinmmjmimnAEi jaaaaaaaaaaaa ).( jiccjiAA列对调列对调列与第列与第的第的第把把：施行第一种初等列变换施行第一种初等列变换相当于对矩阵相当于对矩阵( ( )11111212221m nnijnijnmmimjmnAEi kakaaaakaaaakaaa ).( )(kciAkAkiEin 列列的的第第乘乘相相当当于于以以数数，其其结结果果矩矩阵阵右右乘乘以以( , ( )1111112122221m nnijinijinmmimjmimnAEi j kaa

11、akaaaaakaaaaakaa 以以 右乘矩阵右乘矩阵 ,其结果相当于把其结果相当于把 的第的第 列乘列乘 加到第加到第 列上列上( , ( )nEi j kAAijk()jickc 111213212223aaaAaaa ( , )?31 2AE ( ( )?32AEk ( , ( )?31 2AEk 令令 定理定理1 1 设设 是一个是一个 矩阵，对矩阵，对 施行一施行一次初等行变换，相当于在次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于施行一次初等列变换，相当于在在 的右边乘以相应的的右边乘以相应的 阶初等矩阵阶初等矩

12、阵. .nm mnAAAAA二、利用初等变换求逆矩阵初等变换初等变换初等矩阵初等矩阵初等逆变换初等逆变换初等逆矩阵初等逆矩阵 矩阵矩阵 总可经过初等变换化为标准形总可经过初等变换化为标准形mn AnmrOOOEF 其中其中 为行阶梯形矩阵中的行数为行阶梯形矩阵中的行数r该结论可以叙述为该结论可以叙述为定理定理2 对于任一对于任一 矩阵矩阵 ,一定存在有限个一定存在有限个 阶初阶初等矩阵等矩阵 和和 阶初等方阵阶初等方阵 使得使得mn Am,12sP PPn,1skPP 1212000rssskm nm nEP PP APPPF ()m nm nAF 定理定理3 对于对于 阶可逆矩阵阶可逆矩阵

13、,一定存在有限个一定存在有限个 阶初等阶初等矩阵矩阵 ,使得使得nAn,1212ssskP PP PPP 1212ssskP PP APPPE ()n nnAE 定理定理4 设设 为可逆方阵为可逆方阵,那么存在有限个初等矩阵那么存在有限个初等矩阵 使使,12kP PP12kAP PP 推论推论 矩阵矩阵 与与 等价的充要条件是存在等价的充要条件是存在 阶阶可逆矩阵可逆矩阵 和和 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 ,使使mn ABPQnPAQB Am利用初等行变换求逆矩阵的方法：利用初等行变换求逆矩阵的方法：,11111kkPPPAE ,111111 kkPPPEA 1111111111kkkkPPPA P

14、PPE 1 AE 11111 kkPPPA E . )(2 1 AEEAEAnn就就变变成成时时，原原来来的的变变成成当当把把施施行行初初等等行行变变换换，矩矩阵阵即即对对假设假设 为可逆矩阵为可逆矩阵 那么存在初等矩阵那么存在初等矩阵A()0A ,12kP PP12kAP PP 使使两端乘以两端乘以 得得1A . ,343122321 1 AA求求设设 解解例例 103620012520001321 100343010122001321EA212rr 313rr 21rr 23rr 111100012520011201 111100563020231001.111253232311 A312

15、rr 325rr 11110025323010231001）（22 r）（13 rE)()( 11BAEBAA )(BABA1 即即初等行变换初等行变换利用初等行变换求逆矩阵的方法利用初等行变换求逆矩阵的方法,还可以用于解矩阵方还可以用于解矩阵方程程 .显然显然AXB 1XA B 例例.341352,343122321 , BABAXX，其其中中使使求求矩矩阵阵解解.1BAXA 可可逆逆，则则若若 343431312252321)(BA21rr 23rr 122rr 133rr 312rr 325rr 1226209152052321 311009152041201 3110064020230

16、01.313223 X312rr 325rr ）（22 r）（13 r 311006402023001， 311003201023001.1 CAY即即可可得得作初等行变换，作初等行变换，也可改为对也可改为对),(TTCA,CA 1 CAE列变换列变换TT1C)( AYT即可得即可得,C)(T1 TA.Y即可求得即可求得假如要解假如要解YA=C,那么可以对矩阵那么可以对矩阵 作初等变换作初等变换,AC),)( ,(),1TTTTCAECA （列变换列变换. ,1000110011102222A1, njiijAAn式之和式之和中所有元素的代数余子中所有元素的代数余子求求方阵方阵已知已知解解例例

17、3 3, 02 A.可逆可逆A.1* AAA且且 10001000010011000010111000012222EA 100010001100010001100010001210001,100011000110001211 A,21* AA njiijA1,故故. 1)1()1(21 2 nn1111nnnnAAAAA 三、小结1. 1. 单位矩阵单位矩阵 初等矩阵初等矩阵. .一次初等变换一次初等变换2. 利用初等变换求逆阵的步骤是利用初等变换求逆阵的步骤是: ;1 EAEA或或构造矩阵构造矩阵 .,(,211 AEEAEAAEEAEA对应部分即为对应部分即为后后划为单位阵划为单位阵将将变换变换施行初等列施行初等列或对或对对应部分即为对应部分即为右边右边后后化为单位