高等数学讲义元函数微分学

1、第二章一元函数微分学立1导数与微分(甲)内容要点一、导数与微分概念1、导数的定义设函数yf(x)在点xo的某领域内有定义，自变量x在xo处有增量x,相应地函数增量yf(xox)f(xO)。如果极限存在，则称此极限值为函数f(x)在x0处的导数(也称微商)，记作 f (x0),或y x比，df(x)dxX X0等，并称函数yf (x)在点xo处可导。如果上面的极限不存在,则称函数y当，dx|xxof (x)在点xo处不可导。导数定义的另一等价形式，令x xox ,我们也引进单侧导数概念。x x xo ,则 f ( xo )limxlf (xo)x xox xo右导数：f(xo) lim f(x)

2、f(xo)x xox xolimx of(xox) f(xo)x左导数：f (xo)limf(x)f(xo)limf(xox)f(xo)x xo xxox ox则有f (x)在点Xo处可导f( x)在点Xo处左、右导数皆存在且相等。2.导数的几何意义与物理意义如果函数yf (x)在点xo处导数f (xo)存在，则在几何上 f (xo)表示曲线y f (x)在点(Xo，f (xo)处的切线的斜率切线方程：y f (xo) f (xo)(x xo)1-法线万程：y f (xo)(x xo) (f (xo) o)f (xo)设物体作直线运动时路程S与时间t的函数关系为 S f(t),如果f(to)存

3、在，则f (to)表示物体在时刻to时的瞬时速度。3.函数的可导性与连续性之间的关系如果函数yf(x)在点xo处可导，则f(x)在点xo处一定连续，反之不然，即函数yf(x)在点xO处连续，却不一定在点xo处可导。例如，yf(x)|x|,在xo0处连续，却不可导。4 .微分的定义设函数yf(x)在点xo处有增量x时，如果函数的增量yf(xox)f(xo)有下面的表达式yA(xo)xo(x)(xo)其中A(xo)为x为无关，o(x)是xo时比x高阶的无穷小，则称f(x)在xo处可微，并把y中的主要线性部分A(x0)x称为f(x)在xo处的微分，记以dyx%或df(x)x%我们定义自变量的微分dx

4、就是x。5 .微分的几何意义yf(xox)f(xo)是曲线yf(x)在点xo处相应量增量x的纵坐标f(xo)的增量，微分dyxxo是曲线yf(x)Mo(xo,f(xo)处切线的纵坐标相应的增量(见图)。6 .可微与可导的关系f(x)在xo处可微f(x)在xo处可导。且dyxxoA(xo)xf(xo)dx一般地，yf(x)则dyf(x)dx所以导数f(x)dy也称为微商，就是微分之商的含义。dx7 .高阶导数的概念如果函数yf(x)的导数yf(x)在点xo处仍是可导的，则把yf(x)在点xo处的导数称为d2yyf(x)在点xo处的二阶导数，记以yx小，或f(xo),或一2-x%等，也称f(x)在

5、点xo处二阶dx可导。dxn如果yf(x)的n1阶导数的导数存在，称为yf(x)的n阶导数，记以y，y(x),等，这时也称yf(x)是n阶可导。二、导数与微分计算1 .导数与微分表(略)2 .导数与微分的运算法则(1)四则运算求导和微分公式(2)反函数求导公式(3)复合函数求导和微分公式(4)隐函数求导法则(5)对数求导法(6)用参数表示函数的求导公式(乙)典型例题一、用导数定义求导数例设f(x)(xa)g(x),其中g(x)在xa处连续，求f(a)f(x)f(a).(xa)g(x)0解：f(a)lim-limg(a)xaxaaxaxa二、分段函数在分段点处的可导性例1设函数试确定a、b的值，

6、使f(x)在点x1处可导。解：:可导定连续,f(x)在x1处也是连续的f(10)limf(x)limx2要使f(x)在点x1处连续，必须有af(1)limf(x)f(1)limLx1x1lim(x1)2要使f(x)在点1处可导，必须f(1),即故当a2,b1时,f(x)在点x1处可导.例2设f(x)limn2n(x1)xen(xeax1rl问a和b为何值时，f(x)可导，且求f(x)解：:x1时,limnn(x1)e1时,limnn(x1)ex2,f(x)ab1处连续性,limx1f(x)limx12ab1x1，f(1)-1,可知ab1再由x1处可导性,xf(1)六.f(1)lim存在x1x1

7、(axb)f(1)L六f(1)lim"存在x1x1且f(1)f(1)根据洛必达法则f(1)lim2x11af(1)limaa,a2x11于是b1a1三、运用各种运算法则求导数或微分例1设f(x)可微，yf(lnx)ef(x),求dy解：dyf(lnx)def(x)ef(x)df(lnx)区J2设yxxx(x0),求dydx解：lnyxxlnx对x求导，得再令y1xx,lny1xlnx,对x求导,y1lnx1,(xx)xx(lnx1)y1于是曳xx(lnx1)lnxxx1xx(x0)dx区J3设yy(x)由方程xyyx所确定，求电dx解：两边取又t数，得ylnxxlny,对x求导，yl

8、nxlnyyxy解：dx dydx dt dy dt-t42t2,2tesintesint""2e2tln(12t)四、求切线方程和法线方程例1已知两曲线y"*)与丫arctanx2etdt在点(0,00)处的切线相同，写出此切线方程，并求limnf(2)。nn2(arctanx)-，-、-e解：由已知条件可知f(0)0,f(0)-x011x故所求切线方程为yx例2已知曲线的极坐标方程r 1 cos ,求曲线上对应于一处的切线与法线的直角坐标方程。62cos cossin sin cos例3设f(x)为周期是5的连续函数，在 x 0邻域内，恒有f (1 sin x

9、) 3 f (1 sin x) 8x(x)。(x)其中lim X 0 x0, f (x)在x 1处可导，求曲线 yf (x)在点(6, f (6)处的切线方程。解：由题设可知 f(6)f(1), f (6)f(1),故切线方程为解：曲线的参数方程为x(1cos)cosy(1cos)sin故切线方程y 1即x y 30441(x3)24243 5即xy13504 41 .3.33法线方程y(x)2 424所以关键是求出f(1)和f(1)由f(x)连续性limf(1sinx)3f(1sinx)2f(1)x0由所给条件可知2f(1)0,f(1)0f(1sinx)3f(1sinx)8x(x)、o再由条

10、件可知limqLllim(8)8x0sinxx0sinxsinxf(1t)3f(1t)令sinxt,lim-L8,又f(1)0t0上式左边=limt0f(1t)f(1)f(1t)f(1)("t5则4f(1)8所求切线方程为五、高阶导数1.求二阶导数yln(x解:y'f(1)3f(1)f(1)202(xx2(x6)即2xy1202a),求y'',x2a2)d2y dx2arctant2ln(1t2)解:dydxdydtdxdt2t1t21FT2tyy(x)由方程y21所确定,y''(1)yexy(n)(n) yxna (ln a)(n)nysin

11、(x-)(n)nycos(x-)(n)n1y(1)(n1)!x两个函数乘积的n阶导数有莱布尼兹公式其中CkI”,u(x)u(x)，v(0)(x)v(x)k!(nk)!假设u(x)和v(x)都是n阶可导例1设yxk(k正整数)，求y(n)(n正整数)k(k1)(kn1)xkn,nk,0,nkn例2设y-x,求y(n)(n正整数)1x到(xn1)11/n1n2八斛：y(xxx1)1x1x1,、(n)例3设y，求y()(n正整数)x3x21111斛：y(x2)(x1)(x1)(x2)x2x1伤J4设ysin4xcos4x,求y(n)(n正整数)解:y (1cos2x)21 cos2x)2区J5设yx

12、3e2x,求y(n)(n正整数)解：用莱布尼兹公式立2微分中值定理本节专门讨论考研数学中经常考的四大定理：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒定理(泰勒公式)。注：数学三不考泰勒定理，数学四不考泰勒定理这部分有关考题主要是证明题，其中技巧性比较高，因此典型例题比较多，讨论比较详细。(甲)内容要点二罗尔定理设函数f(x)满足(1)在闭区间a,b上连续；(2)在开区间(a,b)内可导;(3)f(a)f(b)(a,b),使得f()0条件(1)说明曲线yf(x)在A(a,f(a)和B(b,f(b)之间是连续曲线;则存在几何意义：和点B。条件(2)说明曲线点A和点Bo条件(3)说明曲线结论说明

13、曲线y二、拉格朗日中值定理设函数f(x)满足(1)在闭区间a,b上连续；(2)在开区间(a,b)内可导则存在(a,b),使得或写成f(b)f(a)f()(ba)(ab)有时也写成f(x0x)f(x0)f(x0x)xyf(x)在A,B之间是光滑曲线，也即每一点都有不垂直于yf(x)在端点A和B处纵坐标相等。f(x)在点A和点B之间不包括点A和点B至少有包括点Ax轴的切线不包括点，它的切线平行于x轴这里x0相当a或b都可以，x可正可负。几何意义：条件(1)说明曲线yf(x)在点A(a,f(a)和点B(b,f(b)之间包括点A和点B是连续曲线：条件(2)说明曲线yf(x)不包括点A和点B是光滑曲线。

14、结论说明：曲线yf(x)在A,B之间不包括点A和点B,至少有点，它的切线与割线AB是平行的。推i1若f(x)在(a,b)内可导，且f(x)0,则f(x)在(a,b)内为常数。推i2若f(x)和g(x)在(a,b)内可导，且f'(x)g(x),则在a,b内f(x)g(x)C,其中C为一个常数。(注：拉格朗日中值定理为罗尔定理的推广，当f(a)f(b)特殊情形，就是罗尔定理)三、柯西中值定理设函数f(x)和g(x)满足：(1)在闭区间a,b上皆连续;(2)在开区间(a,b)内皆可导；且g(x)0,则存在(a,b)使得(注：柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广，特殊情形日中值定理)几何意义：

15、考虑曲线疝的参数方程xg(t)tabyf(t)点A(g(a),f(a),点B(g(b),f(b)曲线在盛上是连续除端点外是光滑曲线，那么在曲线上至少有一点，它的切线平行AB.值得注意：在数学理论上，拉格朗日中值定理最重要，有为微分学基本定理。罗尔定理看作拉格朗日中值定理的预备定西中值定理虽然更广，但用得不太多。在考研数学命题中，用罗最多，其次是用拉格朗日中值定理，而用柯西中值定理也是较少。四、泰勒定理(泰勒公式)(数学一和数学二)定理1(带皮亚诺余项的n阶泰勒公式)设f(x)在x0处有n阶导数，则有公式'f(xo)/、f(xo)2f(x)f(xo)-p(xxo)2!(xxo)(xxo)

16、其中Rn(x)o(xxo)n(xxo)称为皮亚诺余项。Rn(x)(limo)xxo(xxo)前面求极限方法中用泰勒公式就是这种情形，根据不同情形取适当的g(x) x时，柯西中值定理就是拉格朗曲线，于割线时也称 理，柯 尔定理j(x xo)nRn(x)n!n ,所以对常用的初等函数如ex,sinx,cosx,ln(1x)和(1x)a(为实常数)等的n阶泰勒公式都要熟记。定理2(带拉格朗日余项的n阶泰勒公式)设f(x)在包含xo的区间(a,b)内有n1阶导数，在a,b上有n阶连续导数，则对xa,b,有公式f(n1)()其中R(x)-(xxo)n1,(在xo与x之间)称为拉格朗日余项。(n1)!上面

17、展开式称为以xo为中心的n阶泰勒公式。xoo时，也称为麦克劳林公式。如果limRn(x)。，那么泰勒公式就转化为泰勒级数，这在后面无穷级数中再讨论n(乙)典型例题一、用罗尔定理的有关方法例1设f(x)在0,3上连续，在(0,3)内可导，且f(0)f(1)f(2)3,f(3)1.试证：必存在(0,3),使f()0证：f(x)在0,3上连续,f(x)在0,2上连续，且有最大值M和最小值m.于是mf(0)M；mf数介值定理可知，至少存在一点1.、M；mf(2)M,故mf(0)f(1)31c0,2使得f(c)f(0)f(1)f(2)3f(2)M.由连续函1,因此f(c)f(3),且f(x)在C,3上连

18、续，(C,3)内可导，由罗尔定理得出必存在(c,3)(0,3)使得f()01例2设f(x)在0,1上连续，(0,1)内可导，旦32f(x)dxf(0)3.'一一_求证：存在(0,1)使f()0，一一2证：由积分中值定理可知，存在c,1,使得31得到f(c)32f(x)dxf(0)3对f(x)在0,C上用罗尔定理，(三个条件都满足)故存在(0,C)(0,1),使f()0例3设f(x)在0,1上连续，(0,1)内可导，对任意k11x.1,有f(1)kkxef(x)dx,求证存在1_(0,1)使f()(1)f()111x1c1证：由积分中值te理可知存在c0,使得kxef(x)dxcef(c

19、)(0)k0k令F(x)xe1xf(x),可知F(1)fF(c),对F(x)在c,1上用罗尔定理(三个条件都满足)存在(c,1)(0,1),使F()0而F(x)e这卞¥ F (1) f (1) k okxe1 xf(x)dx ce1 cf (c)xf(x)xe1xf(x)xe1xf(x)11F()ef()(1)f()01 1又e10,则f()(1-)f()在快J3的条件和结论中可以看出不可能对f(x)用罗尔定理，否则结论只是f()0,而且条件也不满足。因此如何由造一个函数F(x),它与f(x)有关，而且满足区间上罗尔定理的三个条件，从F()0就能得到结论成立，于是用罗尔定理的有关证明

20、命题中，如何根据条件和结论构造一个合适的F(x)是非常关键，下面的模型I,就在这方面提供一些选择。模型I：设f(x)在a,b上连续，(a,b)内可导，f(a)f(b)0则下列各结论皆成立。(1)存在1(a,P使f(1)lf(1)0(l为实常数)k1_(2)存在2(a,b)使f(2)k2f(2)0(k为非零常数)(3)存在3(a,b)使f(3)g(3)f(3)0(g(x)为连续函数)证：(1)aF(x)elxf(x),在a,b上用罗尔定理F(x)lelxf(x)elxf(x)存在1代，3使51lel1f1el1f10，.一l1I消去因子e1,即证.xk(2)令F(x)ef(x),在a,b上用罗尔

21、定理k1kk.存在29,6使5(2)k21e2f(2)e2f(2)0k消去因子e2,即证。(3)令F(x)eG(x)f(x),其中G(x)g(x)F(x)g(x)eG(x)f(x)eG(x)f(x)由F(3)0清去因子eG(3),即证。1.例4设f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，f(0)f(1)0,f(-)1,试证：1(i)存在(2,i),使f()。对任意实数，存在(0,),使得f()f()1ii八证明：(1)令(x)f(x)x,显然它在0,1上连续，又(1)10,(-)0,根据1 ,、介值定理，存在(一，1)使()0即f()2令F(x)ex(x)exf(x)x,它在0,上满足罗尔定

22、理的条件，故存在(0,),使F()0,即从而f()f()1(注：在快J4(2)的证明中，相当于模型I中(1)的情形，其中l取为，f(x)取为(x)f(x)x)模型n：设f(x),g(x)在a,b上皆连续，(a,b)内皆可导，且f(a)0,g(b)0,则存在(a,b),使证：令F(x)f(x)g(x),则F(a)F(b)0,显然F(x)在a,b上满足罗尔定理的条件，则存在(a,b),使F()0,即证.快J5设f(x)在0,1上连续，(0,1)内可导，f(0)0,k为正整数。求证：存在(0,1)使得f()kf()f()证：令g(x)(x1)k,a0,b1,则f(0)0,g(1)0,用模型n,存在(

23、0,1)使得故f()(1)kf()0则f()kf()f()快J6设f(x),g(x)在(a,b)内可导，且f(x)g(x)f(x)g(x),求证f(x)在(a,b)内任意两个零点之间至少有一个g(x)的零点证：反证法：设ax1x2b,f(x1)0,f(x2)0而在(“x2)内g(x)0,则令F(x)上区在x，x2上用罗尔定理g(x)Qf(xjf(X2)0,F(xJf(x0,Fd)f0g(Xi)g(X2)(不妨假设g(Xi)0,g(X2)0否则结论已经成立)则存在(、«2)使5()0,得出f()g()f()g()0与假设条件矛盾。所以在(Xi,X2)内g(X)至少有一个零点例7设f(X

24、),g(X)在a,b二阶可导，且g(x)0,又f(a)f(b)g(a)g(b)0求证：(1)在(a,b)内g(X)0；(2)存在(a, b),使f() g()证：(1)用反证法，如果存在 c(a,b)使g(c)0,则对g(X)分别在a,勺和c,b上用罗尔定理，存在X1(a,c)使g(X1)0,存在x2(c,b)使g(x2)0,再又tg(x)在X1,x2上用罗尔定理存在X3(xi,X2)使g(x3)0与假设条件g(x)0矛盾。所以在(a,b)内g(x)0(2)由结论可知即f()g()f()g()0,因此令F(x)g(x)f'(x)g'(x)f(x),可以验证F(x)在a,b上连续

25、，在(a,b)内可导，F(a)F(b)0满足罗尔定理的三个条件故存在(a,b),使F()0于是f()g()f()g()0成立二、用拉格朗日中值定理和柯西中值定理xcv例1设f(x)在(，)内可导，且limf(x)e,lim(c)xlimf(x)f(x1)xxxcx求c的值解：由条件易见，c0由拉格朗日中值定理，有其中介于(X1)与X之间，那么于是e2ce,2c1,则c12例2设f(x)是周期为1的连续函数，在(0,1)内可导，且f(1)0,又设M0是f(x)在1,2上的最大值，证明：存在(1,2),使得f()2M证：由周期性可知f(0)f(1)f(2)0,不妨假定x0(1,2)而f(x0)别在

26、1,*。和X0,2上用拉格朗日中值定理,存在(1,X0),使得f(1)f(X0)f(1)存在(X0,2),使得f(2)如果x0以3、母,小(1,一),则用式，得2x01f(2)f(x0)2x0f(x0)x01如果x0r3八、,2),则用式，得2(2)f(%)2x0因此，必有(1,2),使得2M区J3设f(x)在0,1上连续，(0,1)内可导，且f(0)0,f(1)1,证明:(1)存在(0,1),使得f(n)存在(0,1)，使f()f()1证：(I)令g(x)f(x)x1,则g(x)在0,1上连续，且g(0)0,g(1)10,用介值定理推论存在(0,1),使g()0,即f()1(n)0,和1上又

27、tf(x)用拉格朗日中值定理，存在(0,)，使得f()f(0)0存在(,1)，使f()f(1)f()1(1)例4设函数f(x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(x)0,若极限f(2xa)lim-存在，证明:xaxa(1)在(a,b)内f(x)0；(2)在(a,b)内存在22ba-baf(x)dx2;f()(3)在(a,b)内存在与(2)中相异的点，使f(2xa)证：(1)因为lim-存在，故limf(2xa)0,由f(x)在a,b上连续，从而xaxaxaf(a)0.又f(x)0知f(x)在(a,b)内单调增加，故,，、2,、x,、，、(2)设F(x)x,g(x)f(t)dt

28、(axb),a则g(x)f(x)0,故F(x),g(x)满足柯西中值定理的条件，于是在(a,b)内存在点F(b)F(a)g(b)g(a)22babaf(t)dtf(t)dtaa(x2)Ixx(f(t)dt)ab2a22f(x)dxf()(3)因f()f()0f()f(a),在a,上应用拉格朗日中值定理，知在(a,)内存在一点，使f()f()(a),从而由(2)的结论得b2a2f(x)dx2f()(a)例1设f (x)在-1 , 1上具有三阶连续导数，且其中 x 1,1,介于0与x之间f (0) 0后式减前式，得f("f(2)6f(x)在1,2上连续，设其最大值为M,最小值为m.1.则

29、mf(i)f(2)M2再由介值定理，1,2(1,1)1.使f()f(1)f(2)3f (a) f (b) 0 ,试证：在(a, b)内至少存在快22设函数f(x)在闭区间a,b上具有二阶导数，且一点，使成立。分析：因所欲证的是不等式，故需估计f(),由于一阶泰勒公式12、一f(x)f(x0)f(M)(x&)2f()(x址)，(其中在x0,xN同)abab含有f(),因此应该从此入手.再由f(a)f(b)0知，应在a,上上,2上，b两个区间上分别应用泰勒公式，以便消去公式中的f(x)项，同时又能出现(ba)2项.ab证：在a,ab,b上分别用泰勒公式，便有2a bf()f(a)a)1 f

30、 2!b a 21)(丁),a”)f(b)b)If 2!2)(”)2, a两式相减，得4(b2a) max| f (1)1,1 f'( 2)h所以至少存在一点(a,b),使得S.3导数的应用(甲)内容要点二判断函数的单调性二、函数的极值1、定义设函数fx在a,b内有定义，x0是a,b内的某一点，则如果点Xo存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点X X Xo ,总有f X f Xo,则称f Xo为函数f X的一个极大值，称 Xo为函数f X的一个极大值点;如果点Xo存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点 X X Xo ,总有f X f Xo则不f Xo为函数f X的一个极小值，称 Xo为函数

31、f X的一个极小值点。函数的极大值与极小值统称极值。极大值点与极小值点统称极值点O2、必要条件(可导情形)设函数f X在Xo处可导，且Xo为f X的一个极值点，则 f Xo 0我们称满足f Xo 0的Xo为f X的驻点，可导函数的极值点一定是驻点,反之不然。极值点只能是驻点或不可导点，所以只要从这两种点中进一步去判断。3、第一充分条件设f X在Xo处连续，在0< X %10如果在Xo内可导,Xo不存在，或fXo = 00,则f Xo,Xo内的任一点X处，有f为极大值，Xo为极大值点；0,而在Xo, Xo内的任一点X处，有20如果在Xo,Xo内的任一点X处，有f0,而在Xo, Xo内的任一

32、点X处，有0,则f Xo为极小值，Xo为极小值点;30如果在Xo,Xo 内与 Xo,Xo内的任一点X处，fX的符号相同，那么fXo不是极值,Xo不是极值点4、第二充分条件设函数f X在Xo处有二阶导数，且Xo0,则f Xo0 , f Xo为极大值,Xo为极大值点f Xo0, f Xo为极小值,Xo为极小值点三、函数的最大值和最小值1,求函数f(X)在a,b上的最大值和最小值的方法。首先，求出f(x)在(a,b)内所有驻点，和不可导点X1,，Xk。其次at算f(x1)，f(xk),f(a),f(b)最后，比较f(x1)，f(xk),f(a),f(b),其中最大者就是f(x)在a,b上的最大值M；

33、其中最小者就是f(x)在a,b上的最小值m2.最大(小)值的应用问题首先要列出应用问题中的目标函数及其考虑的区间，然后再求出目标函数在区间内的最大(小)值四、凹凸性与拐点1 .凹凸的定义xx01设f(x)在区间I上连续，若对任意不同的两点x1,x2，恒有f(二2)-f(x1)f(x2H22(f(jx2)lf(x1)f(x2),贝府f(x)在I上是凸(凹)的222 .曲线上凹与凸的分界点，称为曲线的拐点。五、渐近线及其求法六、函数作图七、曲率(乙)典型例题一、证明不等式22例1.求证：当x0时，(x1)lnx(x1)证：令f(x)(x21)lnx(x1)2只需证明x0时，f(x)01易知f(1)0,f(x)2xlnxx2xf(1)0,由于f(x)的符号不易判断，故进一步考虑1.f(x)2lnx12,f(1)20x再考虑f (x)2(x21)3x于是，当0 x 1时，f (x)0;当1x时，f(x)0由此可见，f(1)2是f(x)的最小值由于f(x)20,这样x0时，f(x)单调增加又因为f(1)0,所以0x1时，f(x)0；时，f(x)0再由f(1)0,可知0x1时