高等数学教案导数与微分

1、第二章导数与微分教学目的：1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。3、了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。4、会求分段函数的导数。5、会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。教学重点：1、导数和微分的概念与微分的关系；2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；3、基本初等函数的导数

2、公式；4、高阶导数；6、隐函数和由参数方程确定的函数的导数。教学难点：1、复合函数的求导法则；2、分段函数的导数；3、反函数的导数4、隐函数和由参数方程确定的导数。§2.1导数概念一、引例1.直线运动的速度设一质点在坐标轴上作非匀速运动时刻t质点的坐标为ss是t的函数sf(t)求动点在时刻to的速度考虑比值ssof(t)f(to)ttotto这个比值可认为是动点在时间间隔tto内的平均速度如果时间间隔选较短这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻to的速度但这样做是不精确的更确地应当这样令ttoo取比值ff(to)的极限如果这个极限存在设为v即tto.f(t)f(to)vlim-tt0

3、tto这时就把这个极限值v称为动点在时刻t0的速度2.切线问题设有曲线C及C上的一点M在点M外另取C上一点N作割线MN当点N沿曲线C趋于点M时如果割线MN绕点M旋转而趋于极限位置MT直线MT就称为曲线C有点M处的切线设曲线C就是函数yf(x)的图形现在要确定曲线在点M(xo,yo)(yof(xo)处的切线只要定出切线的斜率就行了为此在点M外另取C上一点N(x,y)于是割线MN的斜率为yyof(x)f(x0)tanxxoxxo其中为割线MN的倾角当点N沿曲线C趋于点M时xxo如果当x0时上式的极限存在设为k即.f(x)f(xo)klim1201xxoxxo存在则此极限k是割线斜率的极限也就是切线

4、的斜率这里ktan其中是切线MT的倾角于是通过点M(xo,f(xo)且以k为斜率的直线MT便是曲线C在点M处的切线二、导数的定义1函数在一点处的导数与导函数从上面所讨论的两个问题看出非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限.f(x)f(xo)lim-°Xxoxxo令xxxo则yf(xox)f(xo)f(x)f(xo)xxo相当于x0于是lim工(x)(xo)xxoxxo成为.yf(xox)f(xo)lim口或limx0xx0x定义设函数yf(x)在点xo的某个邻域内有定义当自变量x在xo处取得增量x(点xox仍在该邻域内)时相应地函数y取得增量yf(xox)f(xo)如果y

5、与x之比当x0时的极限存在则称函数yf(x)在点xo处可导并称这个极限为函数yf(x)在点xo处的导数记为y|x%即y.f(xox)f(xo)f(x0)limlim-x0xx0x也可记为y|xxdy或d®"dxxxodxxxo函数f(x)在点xo处可导有时也说成f(x)在点xo具有导数或导数存在导数的定义式也可取不同的形式常见的有f(xo)limf(x0h)f(xo)h0hf(x)f(xo)f(x0)lim0-xxoXXo在实际中需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题在数学上就是所谓函数的变化率问题导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述如果极限limUx0x)f

6、(Xo)不存在就说函数yf(x)在点xo处不可导X0x如果不可导的原因是由于lim&xx)f(xo)x0x也往往说函数yf(x)在点xo处的导数为无穷大如果函数yf(x)在开区间I内的每点处都可导就称函数f(x)在开区间I内可导这时对于任一xI都对应着f(x)的一个确定的导数值这样就构成了一个新的函数这个函数叫做原来函数yf(x)的导函数记作yf(x)曳或dfRdxdx导函数的定义式.f(xx)f(x).f(xh)f(x)ylim-limxoxhohf(xo)与f(x)之间的关系函数f(x)在点xo处的导数f(x)就是导函数f(x)在点xxo处的函数值即f(xo)f(x)xxof (x

7、)在xo处的值导函数f(x)简称导数而f(xo)是f(x)在xo处的导数或导数左右导数所列极限存在则定义f(x)在xo的左导数f (xo)limh of (xo h) f (xo)f(x)在xo的右导数f (xo)limh of(xo h) f(xo)如果极限lim以迎h oh) f(xo)存在 h则称此极限值为函数在xo的左导数如果极限Jim。f(xo h) f(xo)存在则称此极限值为函数在xo的右导数导数与左右导数的关系f(xo) A f (xo) f (xo) A2.求导数举例例1.求函数f(x)C(C为常数)的导数解f(x)limf(xh)fh0h即(C)0例2求f(x)1的导数xl

8、imJC0h0h11f(xh)f(x)xhxh用牛f(x)lim-limxh-xlimh0hh0hh0h(xh)xlimh0(xh)x1x2例3求f(x)xx的导数解f(x)limf(xh)f(x)limxhxh0hh0hlimhlim1h0h(.xh.x)h0.xh.x12.x例2.求函数f(x)xn(n为正整数)在xa处的导数解f(a)limf(x)flim丫_更同只1axn2an1)nan1xaxaxaxaxa把以上结果中的a换成x得f(x)nxn1即(xn)nxn1(C)00委诋志(x)x更一般地有(x)x1其中为常数例3,求函数f(x)sinx的导数解f(x)同f(xh)f(x)h0

9、hsin(xh)sinxlimh0h“1c，lim一2cos(xh0hhh)sin一22.hhsin一limcos(xh)2cosxh0v2h2即(sinx)cosx用类似的方法可求得(cosx)sinx例4.求函数f(x)ax(a>0a1)的导数f(xh)f(x).axhax解f(x)limlimaa-h0hh0hxi.ah1令ah1tXl.axlima!axlimh0ht0lOga(1t)x1x.axaxlnalogae特别地有(ex)ex例5.求函数f(x)logax(a>0a1)的导数解 f (x) himoRf)lim loga(x h)h ohlOgax加。10ga(1

10、 轲1 .logae x1xln a解 f (x) lim l0ga(x h) logaxh oh1 hlim loga(1)h Oh ' x， lim loga(1 h)hx h 0x1 .logae x1xln a即(log a x)1xln a特殊地(lnx) 1 x11(log ax)新(lnx) ; x in ax3.单侧导数极限lim f(x h) f(x)存在的充分必要条件是 h o hlimh 0f (x h) f (x)及 lim f(x h) f(x)hh o h都存在且相等f(x)在xo处的左导数f (x h) f(x) f (xo) hlimoh-f(x)在xo

11、处的右导数f (x h) f(x) f (xo) lim七h oh导数与左右导数的关系函数f(x)在点xo处可导的充分必要条件是左导数左导数f (xo)和右导数f (xo)都存在且相等如果函数f(x)在开区间(a, b)内可导且右导数f (a)和左导数f (b)都存在就说f(x)有闭区间a, b上可导例6.求函数f(x) x庇x o处的导数f(0h)f(0)|h|彳斛f(0)lim-lim1h0hh0hf(0h)f(0).|h|彳f(0)lim-lim1h0hh0h因为f(0)f(0)所以函数f(x)冈在x0处不可导四、导数的几何意义函数yf(x)在点X0处的导数f(x0)在几何上表示曲线yf

12、(x)在点M(x0,f(x。)处的切线的斜率即f(x0)tan其中是切线的倾角如果yf(x)在点xO处的导数为无穷大这时曲线yf(x)的割线以垂直于x轴的直线xxO为极限位置即曲线yf(x)在点M(x0,f(x。)处具有垂直于x轴的切线xx0由直线的点斜式方程可知曲线yf(x)在点M(x0,y0)处的切线方程为yy。f(xo)(xx。)过切点M(x0,y0)且与切线垂直的直线叫做曲线yf(x)在点M处的法线如果f(x0)0法线的斜率为-1-从而法线方程为f(x0)1,、yy0Ex0)例8求等边双曲线y1在点4,2)处的切线的斜率并写出在该点处的切线方程和法线方程x21解y-12所求切线及法线的

13、斜率分别为x-k1(2)x14k214x21所求切线方程为y24(xJ)即4xy40所求法线方程为y2：(x少即2x8y150例9求曲线yx<x的通过点(04)的切线方程解设切点的横坐标为x0则切线的斜率为f(%)(x2)3x23Jx02 x2于是所求切线的方程可设为y*0，2&(x%)根据题目要求点(04)在切线上因此34 xo,xo2、xo(0xo)解之得xo4于是所求切线的方程为y4在|<4(x4)即3xy40四、函数的可导性与连续性的关系设函数yf(x)在点x0处可导即叫一xuxo)存在则limylimxlimlimxf(%)ooxoxoxxoxxo这就是说函数yf

14、(x)在点xo处是连续的所以如果函数yf(x)在点x处可导则函数在该点必连另一方面一个函数在某点连续却不一定在该点处可导例7.函数f(x)以在区间(，)内连续但在点xo处不可导这是因为函数在点xo处导数为无穷大小limf(0h)f(0)lim近旦一hohhoh:>.Jx.一一-§22函数的求导法则、函数的和、差、积、商的求导法则定理1如果函数uu(x)及vv(x)在点x具有导数那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点x具有导数并且u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)u(x)v(x)u(x)v(x)v(x)v2(x)证

15、明(1) u(x)v(x)himou(x h) v(x h) u(x) v(x)u(x h) lim h o hu(x)v(x h) v(x)u (x) v (x)法则(1)可简单地表示为(uv)uvu(x h)v(x h) u(x)v(x)(2) u(x) v(x) him0，' J.1 .lim u(x h)v(x h) u(x)v(x h) u(x)v(x h) u(x)v(x) h 0 h.u(x h) u(x)v(x h) v(x)lim -v(x h) u(x) -h 0 hh.u(x h) u(x)v(x h) v(x)limlim v(x h) u(x) limh 0

16、h h 0h 0 hu (x)v(x) u(x)v (x)其中limQ v(x h) v(x)是由于v(x)存在 故v(x)在点x连续法则(2)可简单地表示为(uv) u v uvhim0u(x h) u(x)v(x h) v(x)11m u(x h)v(x) u(x)v(x h) h 0 v(x h)v(x) hu(x lim 一h 0h) u(x)v(x) u(x)v(x h) v(x) v(x h)v(x)hlimh 0u(x h) u(x)v(x h) v(x)v(x) u(x)-h 、，、， hv(x h)v(x)u (x)v(x) u(x)v(x)v2(x)法则(3)可简单地表示为

17、(v)uv uvu、uvuv(uv)uv(uv)uvuv(v)v例如 设 u u(x)、v v(x)、w w(x)定理1中的法则(1)、(2)可推广到任意有限个可导函数的情形均可导则有(uvw)uvw(uvw)(uv)w(uv)w(uv)w(uvuv)wuvwuvwuvwuvw即(uvw)uvwuvwuvw在法则(2)中如果vC(C为常数)则有(Cu)Cu例1.y2x35x23x7求y解y(2x35x23x7)(2x3)5x2)3x)7)2(x3)5x2)3x)23x252x36x210x3例 2 f(x) x34cosx sin求 f(x)及 f ()解 f (x) (x3)(4cosx)(

18、sin)3x24sinxf(万)42例3.yex(sinxcosx)求y解yex)(sinxcosx)ex(sinxcosx)ex(sinxcosx)ex(cosxsinx)2excosx4.y tan x 求 y(tanx) (-sin-x) cosx(sin x) cosx sin x(cosx)cos2x5.cos2 x sin2 xcos2xcos2 xsec2x(tan x) secx y sec x 求 y(1) cosx 1 (cosx) sinxcos2xcos2 xsecxtan x(secx)secxtanx用类似方法还可求得余切函数及余割函数的导数公式(cot x)(cs

19、c x)csc2xcsc x cot x二、反函数的求导法则定理2如果函数xf(y)在某区间Iy内单调、可导且f(y)0那么它的反函数yf1(x)在对应区间Ixxxf(y)yIy内也可导并且f1(x)1或dy()f(y)dxdxdy简要证明由于xf(y)在Iy内单调、可导(从而连续)所以xf(y)的反函数yf1(x)存在且fHx)在Ix内也单调、连续任取xIx给x以增量x(x0xxIx)由yf1(x)的单调性可知yf1(xx)f1(x)0于是y1x_xy因为yf1(x)连续故limy0x0从而f1(x)limlim1x0xy0xf(y)y上述结论可简单地说成反函数的导数等于直接函数导数的倒数例

20、 6.设 x sin y y ,为直接函数 则y arcsin x是它的反函数 函数x sin y在开区间(y,5)内单调、可导且(sin y) cos y 0因此由反函数的求导法则在对应区间Ix ( 1 1)内有(arcsin x)类似地有(arccos x)1.1 x2例7.设x tan y y ( y,5)为直接函数则y arctan x是它的反函数函数 x tany在区间1111(siny)cosy.1sin2y1x2(y,y)内单调、可导且2(tany)secy0因此由反函数的求导法则在对应区间Ix ()内有(arctan x)1111(tan y)sec2 y 1 tan2 y 1

21、 x2类似地有(arccot x) 1 x2例8设x ay(a 0 a 1)为直接函数则y logax是它的反函数可导且(ay) ayln a 0因此由反函数的求导法则在对应区间Ix (0)内有函数x ay在区间Iy ()内单调、(log a x)1(ay)11ay ln a xln a到目前为止所基本初等函数的导数我们都求出来了那么由基本初等函数构成的较复杂的初等函数的导数如可求呢？如函数lntanx、ex3、的导数怎样求?三、复合函数的求导法则定理3如果ug(x)在点x可导函数yf(u)在点ug(x)可导则复合函数yfg(x)在点x可导且dy dx证明其导数为f(u)g(x)或半兽黑dxd

22、udx当ug(x)在x的某邻域内为常数时y=f(x)也是常数此时导数为零结论自然成立当ug(x)在x的某邻域内不等于常数时u0此时有yfg(xx)fg(x)fg(xx)fg(x)g(xx)g(x)xxg(xx)g(x)xf(uu)f(u)g(xx)g(x)uxdyyf(uu)f(u)g(xx)g(x)limlim-lim-=f(u)g(x)dxxoxuouxox简要证明dy.y.yu.y.ulimlimlimlimf(u)g(x)dxx0xx0uxu0ux0x例9yex3求dydx解函数yex3可看作是由yeuux3复合而成的因此dy dy du eu 2 dx du dx3x2ex32x .

23、,产复合而成的7 cos乌(1 x2)21 x2例10ysin息求柒2x解函数ysini"?是由ysinu因此业业辿cosu2(1x2)J2x)2dxdudx(1x2)2对复合函数的导数比较熟练后就不必再写出中间变量例11.lnsinx求dydx解dy(lnsinx)(sinx)cosxcotxdxsinxsinx例12.y312x2求dx解dy(12x2)31(12x2)2(12x2)4xdx333(12x2)2例如 设 y f(u) u (v) v (x)则复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形dydydudydudvdxdudxdudvdx例13.yIncos(ex)求

24、dydx解dxlncos(ex)蚩cos(ex)嬴丙阿刈extan（ex）例14.yesinx求曳dx111而dysinsin1sin_11、斛dx(ex)ex(sinx)excos-x(-x)1 sin(13) (arcsin x)1excosx2x例15设x0证明募函数的导数公式(x)x1解因为x(e1nx)elnx所以(x)(e1nx)e1nx(Inx)e1nxx1x1四、基本求导法则与导数公式1.基本初等函数的导数(C)0(2)(x)x1(3)(sinx)cosx(4)(cosx)sinx(5)(tanx)sec2x(6)(cotx)csc2x(7)(secx)secxtanx(8)(

25、cscx)cscxcotx(9)(ax)axlna(10)(ex)ex(11)(logax)1xlna(12)(lnx)1x(14)(arccosx).1x2(15)(arctanx)11x2(16)(arccotx)11x22 .函数的和、差、积、商的求导法则设uu(x)vv(x)都可导则(1)(uv)uv(2)(Cu)Cu(3)(uv)uvuvuvuv3 .反函数的求导法则并且设xf(y)在区间Iy内单调、可导且f(y)0则它的反函数yf1(x)在Ixf(Iy)内也可导f1(x)-1或dy1f(x)f(y)dxdxdy4 .复合函数的求导法则设yf(x)而ug(x)且f(u)及g(x)都可

26、导则复合函数yfg(x)的导数为dx黑du或y(x)f(u)g(x)例16求双曲正弦shx的导数.解因为shx1(exex)所以(shx)1(exex)1(exex)chx即(shx)chx类似地有(chx)shx例17求双曲正切thx的导数解因为thx象所以(th x)ch2x sh2xch2x1ch2x例18求反双曲正弦arsh x的导数解因为 arsh x ln(x 1x2)所以(arsh x)x 1 x2 (1 7)Tx7由 arch x由 arth x1 . 1 xIn2 1 x1 可得(arth x)中类似地可得(arch x)1，、“2 1 (arth x)11 x2例 19.

27、y sin nx sinnx (n为常数)求y解 y (sin nx) sinnx + sin nx (sin nx) ncos nx sinnx+sin nx n sinn 1x (sin x ) ncos nx sinnx+n sinn 1x cos x n sinn 1xsin(n+1)x吐3高阶导数一般地函数y f(x)的导数数记作y、f (x)或d-y dx2y f(x)仍然是x的函数 我们把y f(x)的导数叫做函数y f(x)的二阶导即 y (y) f (x) f(x)d2y & (dy) dx2 dx dx相应地 把y f(x)的导数f(x)叫做函数y 类似地二阶导数的

28、导数 叫做三阶导数 的导数叫做n阶导数分别记作f(x)的一阶导数三阶导数的导数叫做四阶导数般地(n 1)阶导数y y (4)y (n)或曲曲 山 y dx3 dx4dxnln(xJx21)可得(archx)1,x21例6.求对函数ln(1 x)的n阶导数函数f(x)具有n阶导数也常说成函数f(x)为n阶可导如果函数f(x)在点x处具有n阶导数那么函数f(x)在点x的某一邻域内必定具有一切低于n阶的导数二阶及二阶以上的导数统称高阶导数y称为一阶导数yyyy都称为高阶导数例1.yaxb求y解yay0例2.ssint求s解scosts2sint例3.证明函数y怎一专满足关系式y3y10证明因为y22

29、xx22xx22xx2JZxx2(1x)22xC2/Y、2YYy22xx22xx2(1x)2112xx2(2xx2).(2xx2)(2xx2)fy3所以y3y10例4.求函数yex的n阶导数解yexyexyexy(4)ex一般地可得y(n)ex即(ex)ex例5.求正弦函数与余弦函数的n阶导数解ysinxcosxsin(x)y(4)cos(x3)sin(x4)cos(x y) sin(x y)sin(x 2 -2)cos(x 2 ) sin(x 2 2) sin(x 3-2)一般地可得y(n)sin(xn)即(sinx)sin(xn)用类似方法可得(cosx)cos(xn-2)解 y ln(1

30、 x) y (1y ( 1)( 2)(1 x)一般地可得x)1y(1x)20e2x x2 20 219e2x 及驾 218e2x 2220e2x (x2 20x 95)y(n) ( 1)( 2) ( n1)(1 x) n ( 1)n1 (n 1)!(1 x)n即ln(1 x)(n)( 1)n 1；(nW (1 x)例6.求哥函数yx (是任意常数)的n阶导数公式1)xyy ( 4)般地1)(1)(可得2)x2)(3)xy (n) 即 当1)(2)(x )(n)n时得到(xn)(xn)( n 1) 01)(1)(1)x2)2)1)x n1 n!如果函数u n阶导数且(u v)(n)u(x)及v

31、v(x)都在点u(n) v(n)x处具有n阶导数 那么显然函数u(x) v(x)也在点x处具有(uv) u v uv(uv) u v 2uv uv(uv) u v 3u v用数学归纳法可以证明n(uv)Cnku(n k)v(k)k 0这一公式称为莱布尼茨公式3u v uv例 8. y x2e2x 求 y(20) 解设 u e2xv x2(u产 2ke2x(kv 2xv 2 (v)(k) 0 (k代入莱布尼茨公式 得y (20) (uv严 则1,2,3, 4,20),20)u(20) vC 201u(19) v C 202u(18) v3y(4)(1)(2)(3)(1x)4§2.4隐函

32、数的导数由参数方程所确定的函数的导数相关变化率一、隐函数的导数显函数形如yf(x)的函数称为显函数例如ysinxylnx+ex隐函数由方程F(xy)0所确定的函数称为隐函数例如方程xy310确定的隐函数为yy3Tx如果在方程F(xy)0中当x取某区间内的任一值时相应地总有满足这方程的唯一的y值存在那么就说方程F(xy)0在该区间内确定了一个隐函数把一个隐函数化成显函数叫做隐函数的显化数函数的显化有时是有困难的甚至是不可能的不管隐函数能否显但在实际问题中有时需要计算隐函数的导数因此我们希望有一种方法化都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来例1.求由方程eyxye0所确定的隐函数y的导数解把方

33、程两边的每一项对x求导数得(ey)(xy)(e)(0)即eyyyxy0从而y(xey0)xey例2.求由方程y52yx3x70所确定的隐函数yf(x)在x0处的导数y|x0解把方程两边分别对x求导数得5yy2y121x60由此得y121 2 y 3有代入上式得21.3 y 065y42因为当x0时从原方程得y0所以ylx0121x615y42|x2c例3求椭圆猾七1在(2,1V3)处的切线方程解把椭圆方程的两边分别对x求导得82yy从而y9x16yy2代入上式得所求切线的斜率ky|x2所求的切线方程为x2）即<3x4y8<30解把椭圆方程的两边分别对x求导得29yy0kyx2-34

34、所求的切线方程为y343苧(x2)即技4y8再0例4.求由方程xy1.siny。所确定的隐函数y的二阶导数解方程两边对x求导曳0 dx.dy11cosydx2于是电2dx2cosy上式两边再对x求导d2y2sinydx4sinydx2(2cosy)2(2cosy)3y f(x)的两边取对数然后再求出y的导数对数求导法这种方法是先在设yf(x)两边取对数得lnylnf(x)两边对x求导得1.1ylnf(x)yyf(x)lnf(x)对数求导法适用于求哥指函数积和商的导数例5.求yxsinx(x>0)的导数yu(x)v的导数及多因子之解法一两边取对数InysinxInx上式两边对x求导cosx

35、lnxsinxyy(cosxInxsinx：)xsinx(cosxInxsinx)x解法二这种哥指函数的导数也可按下面的方法求yesinxlnx(sinxInx)Xsinx(cosxInXsinx)X例6求函数y，(x1)(x2)的导数.(x3)(x4)解先在两边取对数(假定x>4)得1Iny2ln(x1)ln(x2)ln(x3)ln(x4)上式两边对x求导得11/1111、_y()y2x1x2x3x4y,1111、y2(x1x2x3x4当x<1时y：(1x)(2x)当2Vx<3时y.j(x1)(x2).(3x)(4x),(3x)(4x)用同样方法可得与上面相同的结果注严格来

36、说本题应分x4x12x3三种情况讨论但结果都是一样的、由参数方程所确定的函数的导数设y与x的函数关系是由参数方程x确定的则称此函数关系所表达的函数为由参数方程y(t)所确定的函数在实际问题中需要计算由参数方程所确定的函数的导数但从参数方程中消去参数t有时会有困难因此我们希望有一种方法能直接由参数方程算出它所确定的函数的导数设x具有单调连续反函数t(x)且此反函数能与函数y(t)构成复合函数y(x)若x和y(t)都可导则dydyd£dydxdtdxdtdx(t)dtdy即dy3或曳生dx(t)dxdxdt若x(t)和y都可导则dydx(t)例7求椭圆xacost在相应于t点处的切线方程

37、ybsint4解dy(bsint)bcostbcottdx(acost)asinta所求切线的斜率为5tbdxt4a切点的坐标为x0acosa2y0bsinb204242切线方程为yb-b(xa-)2a2即bxay.2ab0xv1t例8.抛射体运动轨迹的参数方程为19yv2t-gt2求抛射体在时刻t的运动速度的大小和方向yv2tgt2解先求速度的大小速度的水平分量与铅直分量分别为x(t)viy(t)V2gt所以抛射体在时刻t的运动速度的大小为v.x(t)2y(t)2.v12(v2gt)2再求速度的方向设是切线的倾角则轨道的切线方向为tandyy(t)V2gtdxx(t).已知x(t),y(t)

38、如何求二阶导数y?由x(t)曳一(dx(t)diy4(业)-d(lvdtdx2dx'dx，dt，(t)ddx(t)(t)(t)12(t)(t)(t)(t)(t)3(t)例9.计算由摆线的参数方程xa(tsint)所确定ya(1cost)的函数yf(x)的二阶导数解dy.乂a(1cost)asintdxx(t)a(tsint)a(1cost)sint1 costcot) (t 2n n 为整数)妆包也)色(co山里dxdr 500140dxdxdt2dx1112sin21a(1cost)a(1cost)22(t2nn为整数)三、相关变化率设xx及yy（t）都是可导函数而变量x与y间存在某

39、种关系从而变化率竽与df间也存在一定关系这两个相互依赖的变化率称为相关变化率相关变化率问题就是研究这两个变化率之间的关系以便从其中一个变化率求出另一个变化率例10一气球从离开观察员500f处离地面铅直上升其速度为140m/min（分）当气球高度为500m时观察员视线的仰角增加率是多少？观察员视线的仰角为解设气球上升t（秒）后其高度为htanh500所以d羽0.14(弧度/秒)dt 500()其中及h都是时间t的函数上式两边对d1dhsec2dt500dt已知dh140（米/秒）又当h500（米）时tan1sec22代入上式得即观察员视线的仰角增加率是每秒014弧度25函数的微分一、微分的定义引

40、例函数增量的计算及增量的构成一块正方形金属薄片受温度变化的影响其边长由x0变到x0x问此薄片的面积改变了多少？设此正方形的边长为x面积为A则A是x的函数Ax2金属薄片的面积改变量为A（x0x）2（x。）22x0x（x）2几何意义2x0x表示两个长为x0宽为x的长方形面积（x）2表示边长为x的正方形的面积数学意义当x0时(x)2是比x高阶的无穷小即(x)20(x)2x0x是x的线性函数是A的主要部分可以近似地代替A定义设函数yf(x)在某区间内有定义xo及xox在这区间内如果函数的增量yf(xox)f(xo)可表不为yAxo(x)其中A是不依赖于x的常数那么称函数yf(x)在点xo是可微的而Ax

41、叫做函数yf(x)在点xo相应于自变量增量x的微分记作dy即dyAx函数可微的条件函数f(x)在点xo可微的充分必要条件是函数f(x)在点xo可导且当函数f(x)在点xo可微时其微分一定是dyf(xo)x证明设函数f(x)在点xo可微则按定义有yAxo(x)上式两边除以x得/Ao£lxx于是当xo时由上式就得到Alimyf(xo)xox因此如果函数f(x)在点xo可微则f(x)在点xo也一定可导且Af(xo)反之如果f(x)在点xo可导即limf(xo)xox存在根据极限与无穷小的关系上式可写成-xf(xo)其中。(当x。)且Af(xo)是常数xo(x)由此又有yf(xo)xx因且f

42、(xo)不依赖于x故上式相当于yAxo(x)所以f(x)在点xo也是可导的lim y f (xo) A x o xy f (xo) x x简要证明一方面yAxo(x)-yA0(x)xx别一方面limyf(xo)yf(xo)xoxx以微分dy近似代替函数增量y的合理性当f(xo)。时有limlimy1lim1x0dyx0f(x0)xf(x0)x0dxydyo(dy)结论在f(x0)0的条件下以微分dyf(xo)x近似代替增量yf(x0x)f(x0)时其误差为o(dy)因此在|x|很小时有近似等式ydy函数yf(x)在任意点x的微分称为函数的微分记作dy或df(x)即dyf(x)x例如dcosx(

43、cosx)xsinxxdex(ex)xexx例1求函数yx2在x1和x3处的微分解函数yx2在x1处的微分为dy(x2)|x1x2x函数yx2在x3处的微分为dy(x2)|x3x6x例2.求函数yx3当x2x0.02时的微分解先求函数在任意点x的微分dy(x3)x3x2x再求函数当x2x0.02时的微分dy|x2x0.023x2|x2,x0.023220.020.24自变量的微分因为当yx时dydx(x)xx所以通常把自变量x的增量x称为自变量的微分记作dx即dxx于是函数yf(x)的微分又可记作dyf(x)dx从而有&f(x)dx这就是说函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于该函数

44、的导数因此导数也叫做“微商”二、微分的几何意义当y是曲线yf(x)上的点的纵坐标的增量时dy就是曲线的切线上点纵坐标的相应增量当|x|很小时|ydy此|x|小得多因此在点M的邻近我们可以用切线段来近似代替曲线段三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则从函数的微分的表达式dyf(x)dx可以看出要计算函数的微分只要计算函数的导数再乘以自变量的微分因此可得如果下的微分公式和微分运算法则1基本初等函数的微分公式导数公式(x)x1d(x)x1dx(sinx)cosxd(sinx)cosxdx(cosx)sinxd(cosx)sinxdx(tanx)sec2xd(tanx)sec2xdx(cotx)cs

45、c2xd(cotx)csc2xdx(secx)secxtanxd(secx)secxtanxdx(cscx)cscxcotxd(cscx)cscxcotxdx(ax)axlnad(ax)axlnadx(ex)exd(ex)exdx11.(logax)d(logax)dxxlnaxlna微分公式(lnx)11d(Inx)dxxx(arcsinx)1d(arcsinx)1x2(arccosx)11.d(arccosx)dx.1x2.1x211.(arctanx)d(arctanx)-dx1x21x21.、1.(arccotx)7d(arccotx)dx1x2'1x22函数和、差、积、商的微

46、分法则求导法则微分法则(uv)uvd(uv)dudv(Cu)Cud(Cu)Cdu(uv)uvuvd(uv)vduudv(u)UVV(v0)d(U)vduudvdx(v0)vv2vv2证明乘积的微分法则根据函数微分的表达式有d(uv)(uv)dx再根据乘积的求导法则有(uv)uvuv于是d(uv)(uvuv)dxuvdxuvdx由于udxduvdxdv所以d(uv)vduudv3复合函数的微分法则设yf(u)及u(x)都可导则复合函数yf(x)的微分为dyyxdxf(u)(x)dx于由(x)dxdu所以复合函数yf(x)的微分公式也可以写成dyf(u)du或dyyudu由此可见无论u是自变量还是

47、另一个变量的可微函数微分形式dyf(u)du保持不变这一性质称为微分形式不变性这性质表示当变换自变量时微分形式dyf(u)du并不改变例3.ysin(2x1)求dy解把2x1看成中间变量u则dyd(sinu)cosuducos(2x1)d(2x1)cos(2x1)2dx2cos(2x1)dx在求复合函数的导数时可以不写出中间变量例4yln(1ex2)求dy解dydln(1ex2)1-2-d(1ex2)1exex2d(x2)ex22xdx_2dx1ex21ex21ex2例5.ye13xcosx求dy解应用积的微分法则得dyd(e13xcosx)cosxd(e13x)e13xd(cosx)(cosx)e13