高等数学公式大全

1、体积公式圆柱体的体积公式：体积=底面积X高,如果用h代表圆柱体的高，则圆柱=S底Xh长方体的体积公式：体积=长版x高如果用a、b、c分别表示长方体的长、宽、高则长方体体积公式为：V长=abc正方体的体积公式：体积=棱长X#长xf麦长.如果用a表示正方体的棱长，则正方体的体积公式为V正=aaa=a³锥体的体积=底面面积x高点V圆锥=S底冲+3台体体积公式：V=S上+V(S上S下)+S下h3圆台体积公式：V=(R²+Rr+r²)h无+3球缺体积公式=xh²(3R-h)3球体积公式：V=4无R³/3棱柱体积公式

2、：V=S底面冲=S直截面XI(1为侧棱长，h为高)棱台体积：V=S1S2开根号(S1*S2)3*h注：V：体积；S1：上表面积；S2：下表面积；h：高。几何体的表面积计算公式圆柱体:表面积:2TtRr+2无Rh体积：无RRh(R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高)圆锥体：表面积：无RR+tR(hh+RR)的平方根体积：无RRh/3(r为圆锥体低圆半径,h为其高，平面图形名称符号周长C和面积S正方形a一边长C=4aS=a2长方形a和b边长C=2(a+b)S=ab三角形a,b,c三边长ha边上的高s周长的一半A,B,C内角其中s=(a+b+c)/2S=ah/2=ab/2-sinC=s(s-a)(s

3、-b)(s-c)1/2=a2sinBsinC/(2sinA)四边形d,D对角线长a对角线夹角S=dD/2-sina平行四边形a,b边长ha边的高a两边夹角S=ah=absina菱形a边长a夹角D长对角线长d短对角线长S=Dd/2=a2sina梯形a和b上、下底长h高m中位线长S=(a+b)h/2=mh圆r半径d直径。=无(=2无rS=%r2=%d2/4扇形r一扇形半径a一圆心角度数C=2r+2无rX(a/360)S=无r2x(a/360)弓形l弧长S=r2/2(无a/-gm瓜)b弦长=r2arccos(r-h)/r-(r-h)(2rh-h2)1/2h矢高=无ar2/360-b/2-r2-(b/

4、2)21/2r半径=r(i-b)/2+bh/2a圆心角的度数-2bh/3圆环R外圆半径S=无(R2-r内圆半径=无(D2-d2)/4D外圆直径d内圆直径椭圆D长轴S=%Dd/4d短轴导数公式:(tgx)seC2x2(ctgx)cscx(secx)secxtgx(cscx)cscxctgx(ax)axlnaZl、1(logax)xlna基本积分表：tgxdxIncosxCctgxdxInsinxCsecxdxInsecxtgxCcscxdxIncscxctgxCdx2xdx2adx一2xdx1,x仆一arctg一C2aax_xarcsinaIn2sinnxdxocos0xx2a2dx22,xad

5、xdx三角函数的有理式积分:2usinx2,cosx1u2上2，u高等数学公式(arcsinx)(arccosx)(arctgx)(arcctgx)xdxx、x2a221111x211x2dx2.secxdxtgxC2cosxdxcsc2xdxctgxC-2sinxsecxtgxdxsecxCcscxctgxdxcscxCxxaaxdxCInashxdxchxCchxdxshxC22.一ln(xxa)CIn2a/ln(x22aInx22、x2a2)Ca.x.一arcsin-Cdx2du1u2一些初等函数:两个重要极限:双曲正弦：shx双曲余弦：chx双曲正切:thx.sinx.lim1x0x1

6、 xlim(1)xe2.7182818284590452shxexchxexarshxln(xx21)archxln(xx21)1 .1xarthx-ln2 1x三角函数公式:和差角公式:诱导公式：丁、曾数角Asincostgctg-a-sinacosa-tga-ctga90-acosasinactgatga90+acosa-sina-ctga-tga180-asina-cosa-tga-ctga180+a-sina-cosatgactga270-a-cosa-sinactgatga270+a-cosasina-ctga-tga360-a-sinacosa-tga-ctga360+asinac

7、osatgactga和差化积公式:)sincoscoscoscossinsinsinsinsin2sincos22)tg1tgtgtgsinsin2cos2sin2)ctgctgctgctg1coscoscoscos2cos2cos-22sin2sin2sin(cos(tg(ctg(倍角公式:sin 2cos2ctg2tg22sin cos222cos21 1 2sin2ctg212ctg2tg1 tg22 cos2 sinsin33sin4sin3cos34cos33costg33tg3 3 tg2半角公式:tg2sin 一21 cos1 cos1 cos sinsin 1 cos正弦定理:

8、asin Absin Bsin C2R1 cos cos-2 .21 cos 1 cos sin ctg 二21 cos sin 1 cos余弦定理：c2 a2 b2 2abcosC反三角函数性质:arcsin x一 arccosx 2arctgxarcctgx高阶导数公式一一莱布尼兹(Leibniz公式:(uv)(n)nC：u(nk 0k)v(k)(n)U V(n 1) nu vn(n 1)u 2!(n 2)Vn(n1) (n kk!1)(n k) (k)V(n) uv中值定理与导数应用:拉格朗日中值定理:柯西中值定理：fbf(b)f(a)f(a)f ()(b a)F(b)F(a)当F(x)

9、x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。弧微分公式：ds。1丫、*,其中丫tg平均曲率：K|.:从M点到M点，切线斜率的倾角变化量；s：MM弧长。曲率：M点的曲率：Klim.y.s0s|ds；(1y2)3直线：K0;半径为a的圆：K工.定积分的近似计算:b矩形法：ab梯形法：af(x)f(x)b抛物线法：f(x)aba,(V。yinba1干2(y。yn)ba、(y。yn)3nyn1)yiyn12(y2VaVn2)4(yiV3yn1)定积分应用相关公式:功：WFs水压力：FpA引力：Fkm要,k为引力系数r函数的平均值：y1b,f(x)dxbaaa均方根：1bb-2f(t)dtaa空间2点的距离

10、：d M 1M 2向量在轴上的投影：Pr ju AB空间解析几何和向量代数:,、2,、2,、2.(X2X1)(V2V1)(Z2Z1)aBcos,是AB与u轴的夹角。Prju(aa2)PrjaPrja2ababcosaxbxavbvazbz,是一个数量xxyyzz，两向量之间的夹角：cosaxbx22axayaybyazbzaz2,bx2,22bybzcababsin.例：线速度:向量的混合积：abc(ab)caxayazbxbybzabccos,为锐角时,cxcycz代表平行六面体的体积平面的方程：1、点法式：A(xx0)B(yy0)C(zzo)0,其中nA,B,C,Mo(xo,yo,zo)2

11、、般方程：AxByCzD03、截距世方程：-yab平面外任意一点到该平面的距离:AX0By0CZ0DA2B2C2Xo空间直线的方程:xx。myy。nZoPt,其中sm,n,p;参数方程:y。ZomtntPt二次曲面:1、椭球面:2、抛物面:2x2a2x2p2yb22y2qz,(p,q同号)3、双曲面:单叶双曲面:双叶双曲面:2xa2xab22zc2zc1(马鞍面)多元函数微分法及应用全微分：dzdxx全微分的近似计算：dyyzdz,u.u,u.dudxdydzxfx(x,y)xyzfy(x,y)y多元复合函数的求导法：zfu(t)，v(t)第zfu(x,y),v(x,y)uzvtvtzuz当u

12、u(x,y),v,u.u.dudxdyxv(x,y)时，dv隐函数的求导公式:隐函数F(x,y)0,dydxdxxdyy隐函数F(x,y,z)0,三Fy-FxFzd2ydx2Fx(x)+一(xFyyFx岸ydydxFyFz隐函数方程组：F(X，y，U，V)°G(x,y,u,v)°J(F，G)/F(u,v)GGuvFuGuFvGvu1(F,G)v1(F,G)xj(x,v)xJ(u,x)u1(F,G)v1(F,G)yj(y,v)yj(u,y)x空间曲线yz(t)(t)在点M (x°, y°, z° )处的切线方程:(t)X x°-(Uy

13、y° (t°)z z°在点M处的法平面方程:(t°)(x X°)(t°)(y y°)(t°)(z z°)°微分法在几何上的应用:若空间曲线方程为：""为°则切向量TFyFz,FzFx,FxFyG(x,y,z)°GyGzGzGxGxGy曲面F(x,y,z)°上一点M(x°,y°,z°),则:1、过此点的法向量:nFx(x°,y°,z°),Fy(x°,y°,z°

14、),Fz(x°,y°,z°)Fz(x°,y°,z°)(z z°)2、过此点的切平面方程:Fx(x°,y°,z°)(xx°)Fy(x°,y°,z°)(yy°)3、过此点的法线方程:xx°yy°zz°Fx(x°,y°,z°)Fy(x°,y°,z°)Fz(x°,y°,z°)方向导数与梯度：函数zf(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向

15、l的方向导数为：cossinlxy其中为x轴到方向l的转角。函数zf(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)ijxy它与方向导数的关系是：、gradf(x,y)e,其中ecosisinj,为l方向上的单位向量。-f是gradf(x,y)在l上的投影。多元函数的极值及其求法设fx(x°,y°)fy(x°,y°)°,令：fxx(x°,y°)A,fxy(x°,y°)B,fyy(x°,y°)C2ACB2则：ACB22ACB2IA°时，A°时，°日L

16、重积分及其应用:f(x,y)dxdyf(rcos,rsin)rdrdDD曲面zf（x,y）的面积AD2dxdy平面薄片的重心：xM-xMx(x,y)dD(x,y)dD平面薄片的转动惯量：对于x轴Ix2y(x,y)d,Dy(x,y)dD(x,y)dD对于y轴Iy平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M(0,0,a),(a0）的引力:Fxf一D2(x(x,y)xd3，22、万ya)2Fyf一D2(x(x,y)yd3,a2”Fzfa2x(x,y)dDFx,Fy,Fz，其中:(x,y)xdD2(x3a2)2柱面坐标和球面坐标:xrcos柱面坐标：yrsin,f(x,y,z)dxdydzF(r,z)rd

17、rddz,zz其中：F(r,z)f(rcosxrsincos球面坐标：yrsinsin,rsin,z)dvrdrsindr2rsindrdzrcosf(x,y,z)dxdydzF(r,、2,)rsindrd重心：xxdv,ydv2d0JM转动惯量:Ix(y2z2)dv,(x2曲线积分:第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）设f（x,y）在L上连续,L的参数方程为:,(t)f(x,y)dsf(t),L(t).2(t)2(t)dtr(,)F(r,0、2.)rsindrdv,dv,Iz），则:特殊情况：其中M(x2y(t)y2)dvdv第二类曲线积分(对坐标的曲线积分)：设L的参数方程为x，则:y(t)

18、(t) Q (t), (t)dt(Pcos Qcos )ds 其中L和分别为P(x,y)dxQ(x,y)dyP(t),(t)L两类曲线积分之间的关系：PdxQdyLL上积分起止点处切向量的方向角。QPQP格林公式：(一一)dxdyPdxQd册林公式：(一一)dxdy：PdxQdydxyldxyl一一QP1当Py,Qx,即：2时，得到D的面积：Adxdyxdyydxxyd2l平面上曲线积分与路径无关的条件:一 Q P 、,且二一。江息奇点，如(0,0),应 x y1、G是一个单连通区域;2、P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数减去对此奇点的积分，注意方向相反！二元函数的全微分求积：

19、,QP_.在=一时，PdxQdy才是二兀函数u(x,y)的全微分，其中：xy(x.y)u(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy,通常设x0y0d(x0,yo)曲面积分：对面积的曲面积分：f(x,y,z)dsfx,y,z(x,y)、；1z2(x,y)zy(x,y)dxdyDxy对坐标的曲面积分：P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy,其中：R(x,y,z)dxdyRx,y,z(x,y)dxdy,取曲面的上侧时取正号；DxyP(x,y,z)dydzPx(y,z),y,zdydz,取曲面的前侧时取正号；DyzQ(x,y,z)dzdxQx,y(z,x),zdzd为

20、取曲面的右侧时取正号。Dzx两类曲面积分之间的关系：PdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)ds高斯公式:)dv Pdydz Qdzdx Rdxdy 二(Pcos Qcos Rcos )ds高斯公式的物理意义通量与散度：散度：div 上工上，即：单位体积内所产生的流体质量，若x y z通量： A ndsAn ds(Pcos Qcos Rcos )ds,div0,则为消失因此，高斯公式又可写 成： div Adv oAnds斯托克斯公式一一曲线积分与曲面积分的关系:RQPRQ( )dydz ( )dzdx ( yzzxx)dxdy:Pdx Qdy Rdz上式左端又可写成:dyd

21、z dzdx dxdyxyzPQRR _Q y z空间曲线积分与路径无关的条件:coscoscosxyzPQRPRQPzxxyijk旋度：rotAxyzPQR向量场A沿有向闭曲线的环流量：。PdxQdyRdznAtdsn (n1 qn1 q 1)n2常数项级数：等比数列：1qq2等差数列：12311调和级数:11123级数审敛法:1、正项级数的审敛法根植审敛法（柯西判别法）：1时，级数收敛设：l|mn-U，则1时，级数发散01时，不确定2、比值审敛法：1时，级数收敛设：limU,则1时，级数发散nUUn1时，不确定3、定义法：snu1u2un;limsn存在，则收敛；否则发散。n交错级数u1u

22、2u3u4（或u1u2u3,un0）的审敛法莱布尼兹定理：unun1.，如果交错级数满足n，那么级数收敛且其和su1,其余项rn的绝又t值rnun1limun0'n绝对收敛与条件收敛：u1u2un,其中un为任意实数；（2）5皿u3un如果（2）收敛，则肯定收敛，且称为绝对收敛级数；如果（2）发散，而（1）收敛，则称（1）为条件收敛级数。2收敛；n工Fnp p调和级数：1发散，而（-收敛;nn1时发散1时收敛哥级数数轴上都收敛，则必存/x1时，收敛于xn(1x|x1时,发散a1xa2x2anxn,如果它不是仅在原点收敛，也不是在全求收敛半径的方法：设函数展开成哥级数:函数展开成泰勒级数

23、:余项：Rnf(n1)()(x(n1)!X0XXX使R在limnan1anR时收敛R时发散，其中R称为收敛半径。R时不定0时，R1an1是(3)的系数,则0时,时，R0f(x0)2f(x)f(x°)(xx0)-(xx°)2!(n).f(x0)n(xx°)n!x0)n1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：limRn00时即为麦克劳林公式:f(x)f(0)f(0)xFf(n)(0)nxn!些函数展开成骞级数:(1x)mm(m1)21mxx2!m(m1)(mn1)n;:;xn!(1x1)sinxx5x5!2n1欧拉公式:ixecosxisinx1)nx(2n1)!

24、f(t)A。其中,a0Ansin(nn1aAo，ancosx或sinxt)a2n2Ansinn，bnixeixee2ixe2ix(ancosnxbnsinnx)n1Ancosn,正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2xsinnx,cosnx上的积分=0。傅立叶级数：tx。任意两个不同项的乘积在f(x)a。(ancosnxbnsinnx),周期2anf(x)cosnxdx(n0,1,2其中bnf (x)sinnxdx(n 1,2,313211TT -2241521屋1221221321I1421422(相力口)62一(相减)12正弦级数:an0, bnf (x)sin nxdx1,2,3f(x)bn sin nx是奇函数余弦级数:bn0，anf(x)cosnxdx00,1,2f(x)a02an cosn娓偶函数周期为2l的周期函数的傅立叶级数:f(x)a0/ n x(an cos bn sin1l),周期2lan其中bnn xf (x) cosdxili_, 、 . n x .f (x)sin dxil(n(n0,1,2 )1,2,3 )微分方程的相关概念:一阶微分方程：y f (x, y)或 P(x,y) dxQ(x,y)dy可分离变量的微分方程g(y)dy f (