高等数学上册知识点汇总

1、三角函数公式同角三角函数的基本关系式：倒数关系：商的关系：平方关系：1tan?=-cot?sin?必_sec?cos?an一csc?sin2?+cos2?=11csc?=sin?cos?csc?sin?co,-sec?1+tan2?=sec2?1sec?=cos?1+cot2?=csc2?二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin(2?=2sin?:os?=二-tan?+cot?sin3?=3sin?4sin3?cos(2?=(cos?2-(sin?2=2(cos?2-1=1-2(sin?2cos3?=4cos3?3cos?=3tan?tan3?2tan?tan(2?=71

2、-tan2?3tan?tan3?tan3?=51-3tan2?tan2?=sec2?-1?Rin?/cos?=S?+?sin(?其中？的所在象限由a、b的符号确定，(?)?如的值由tan?=;和定两角和与差的三角函数：万能公式：cos(?+?=cos?:os?-sin?in?-?2tan2sin?=2?1+tan2cos(?Q?=cos?:os?+sin?in?1-tan2-?cos?=?1+tan2sin(?=sin?sos?cos?Rin?-?2tan-2tan?=?1-tan2q.tan?+tan?tan(?+?=,cc1-tan?2an?tan?-tan?tan(?-?=1+tan?2

3、an?三角函数值和差化积公式：积化和差公式：sin?+sin?=2sin?+-?cos?-?221sin?cos?=-sin(?+?+sin(?0?sin?-sin?=2cos-+?sin?-?221cos?sin?=-sin(?+?-sin(?cos?+cos?=2cos?+r-?:os?-?221cos?cos?=-cos(?+?+cos(?2?cos?-cos?=-2sin?+?in?_.?221sin?sin?=-2cos(?+?-cos(?0?=? - ? ?(1 - ?)1 - ?1 - ?等差数列求和公式:?=?- ? 1)=?a?, , I , 2?-? +?,-?= (? =

4、 (? ? ?+ ?)? = (?+ ?(?- ?)? ?-1 + ?2 + ? + ?2 + ?-1 等比数列的求和公式:对数的概念:如果？?（？?0,且？?w1）的？次幕等于？即？?=?,那么数？叫做以？的底？勺对数，记作:log?=?由定义知:(1)负数和零没有对数;(2)? 0,且？w 1 , ? 0;(3)log?1 = 0, log?= 1, log?= ? ?Jog ? = ?对数函数的运算法则:()()()log?4？?？ = log?+ log? log?不？ + ? = log?- log? log?= ?og?()log ?=log ?log ?()log?s?= :lo

5、g?角度a030456090120135150180270360sin?012巨22巨T1v3-2亘120-10cos?1且T避221201-22-2-101tan?0且316/-V3-1西-30/0导数公式:(1) (? = 0，一. _ _ _ _ /(3) (sin? = cos?(5) (tan? = sec2?(7) (sec? = sec?an?(9) (?j = ?ln ?，一一 ._ /(11) (log?1?n ?(2) (?y = ?(4) (cos? = - sin?(6) (cot? = - csc2 ?. . . 一 (8) (csc? = - csc?2ot?(10

6、) (?) = ?(12) (ln? = ?(13)(14)(?s? = =21(?co?=-节隹(15) (? = -2_ _、_/(16) (?cO?=11+?2基本积分表：(1) /?d? ? ? (?是常数)，?S?+1(2) /?d?= ?+7+ ?7?上 1)2?. 4(3) /%=ln|?+ ?,、cd?(4) /许=?+?(5) /tan?=-ln|cos?+?(6) /cot?Z?=ln|sin?+?(7) fsec?ld?=ln|sec?+tan?+?(8) /csc?Z?=ln|csc?2cot?+?(9) fr?=19arctan?+?+?2?（ii）/(12) /(1

7、3) /d?，？?2d?“/?2d?，2?2i ?-?茄ln |?+?+ ?=arcsin ?+ ?=ln(?+，？?+ ?) + ?=ln|?+，？ ?| + ?第一章函数与极限第一节映射与函数一、集合如果a是集合A的元素，就说a属于A,记作aCA；如果a不是集合A的元素，就说a不属于A,记作a?A.全体非负整数即自然数的集合记作N,即N=0,1,2,，口，;全体正整数的集合为？?+=1,2,，n,;全体整数的集合记作Z,即2=，-n,，-2,-1,0,1,2,，n,;?全体有理数的集合记作Q,即Q=?|?C?qC?+且p与q互质;全体实数的集合记作R.如果集合A与集合B互为子集，即A?B且

8、B?A,则称集合A与集合B相等，记作A=B.例如，设A=1,2,B=?|?3?+2=0.则A=B若A?B且A丰B,则称A是B的真子集，记作A?B.不含任何元素的集合称为空集，规定空集是任何集合A的子集，即？A.设A、D、C为任意三个集合，则有下列法则成立:(1)交换律AUB=BUA,AAB=BAA;(2)结合律(？u?u?=?u(?u?,(?n?n?=?n(?n?(3)分配律(？?u?n?=(?n?u(?n?,(?n?u?=(?u?n(?u?(4)对偶律(？?u?=?n?,(?n?=?u?/?二、映射定义设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中每个元素x，按法则f，在Y中有唯一确

9、定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作f:XfY其中y称为元素x(在日射f下)的像，并记作了f(?,即y=f(?)而元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像；集合X称为映射f的定义域，记作？?，即？?=?X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域，记作？?或f(?,即?=?=?|?三、函数定义设数集D?R,则称映射f:D-R为定义在D上的函数，通常简记为y=?,xCD其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记作?，即?=?.如果两个函数的定义域相同，对应法则也相同，那么这两个函数就是相同的，否则就是不同的.在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数，通常称为分段

10、函数.函数的几种特性：( 1)函数的有界性如果存在正数M，使得|?|?,那么函数？?在？?t无界.容易证明，函数?(?)?在?上有界的充分必要条件是它在?上既有上界又有下界.( 2)函数的单调性( 3)函数的奇偶性设函数？?的定义域D关于原点对称.如果对干任一xD,?(-?)=?(?)?恒成立，则称？?为偶函数.如果对干任一xD,?(-?)=-?(?)恒成立，则称？?为奇函数.偶函数的图形关于y轴是对称的，奇函数的图形关于原点是对称的，反函数的图形关于y=x对称.函数y=sin?是奇函数.函数y=cos?!偶函数.函数y=sin?+cos?既非奇函数，也非偶函数.( 4）函数的周期性设函数？?

11、的定义域为D.如果存在一个正数1,使得对于任一x口有（？?e?a?+?=?包成立，则称？?为周期函数，菊为？?的周期，通常我们说周期函数的周期是指最小正周期.初等函数：幕函数：y=?（pCR是常数）指数函数：y=?0且aw1）对数函数：y=1og?（?0且aw1,特别当a=e时，记为y=1n?）三角函数：y=sin?反三角函数：y=arcsin?以上这五类函数统称为基本初等函数.由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数.对数函数与指数函数当？?0且？?w1,N=?等价于？?=log?,对数函数是指数函数的反函数正切函数y=tan

12、x的性质图象定义域周期性周期函数,周期是R奇偶性奇函数图象关于原点对称单调性增区间（-B+k成+4eZ）无减区间第二节数列的极限定义设?各为一数列，如果存在常数a,对于任意给定的正数？（不论它多么小），总存在正整数N,使得当nN时，不等式都成立，那么就称常数|?-?0（或a0,当n?N时，都要？?0（或？&0）.定理4（收效数列与其子数列间的关系）如果数列?收敛于a,那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a.第三节函数的极限定义1设函数f（?在点？的某一去心邻域内有定义.如果存在常数A,对于任意给定的正数e（不论它多么小），总存在正数6,使彳马当?辆足不等式0|?2?|?时，对应白函数值？?泮B

13、满足不等式|?（?）?-?|?那么常数A就叫做函数f（?当？?时的极限，记作lim?=?或f（?-?的？）?（?我们指出，定义中0?寸，对应白函数值？?都满足不等式|?（?）?-?|?那么常数A就叫做函数？?当X”时的极限，记作lim?=?或f（?日？8）?定理 2 （函数极限的局部有界性）|? ?| 酎，有 |?| 0和a，使得当00(或A0),那么存在常数40,?.?使得当0|?-?0?|0(或?(?)?0)第四节无穷小与无穷大定义1如果函数？?当？（或X-8）时的极限为零，那么称函数？?为当？（或X-8）时的无穷小特别地，以零为极限的数列?称为n-时的无穷小.定理1在自变量的同一变化过程

14、？然？（或X-8）中，函数？?具有极限A的充分必要条件是了?（?）=?+?，其中?是无穷小.定义2设函数?（?）?在?0?的某一去心邻域内有定义（或|?|大于某一正数时有定义），如果对于任意给定的正数M（不论它多么大），总存在正数也或正数？，只要？适合不等式0|?2?|?,对应的函数值?（?）?总满足不等式|?（?）?|?则称函数？?为当？（或x-8）时的无穷大.1定理2在自变量的同一变化过程中，如果？?为无穷大，则而为无穷小；反之，如果？?为无穷小,/一一-1.、,且？?？*0,则祈为无穷大.第五节极限运算法则定理1有限个无穷小的和也是无穷小.定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论1常数

15、与无穷小的乘积是无穷小.推论2有限个无穷小的乘积也是无穷小.定理3如果lim?N?=?lim?N?=?那么(1) lim?=lim?7?lim?7?=?(2) lim?=lim?7?lim?N?=?(3)若又有Bw0,则?”=_?=?5?*n，推论1如果lim?%?存在，而c为常数，则lim?=?lim?.推论2如果lim?N?存在，而n是正整数，则lim?=?)J/?定理6(复合函数的极限运算法则)设函数？?=?是由函数？?=?与函数？?=?复合而成，？?力在点？的某去心邻域内有定义，若lim?=?,lim?=?且存在？0,当？C?f?,?)时，有？?？*?,贝q?mQ?)=?m?=?一0.

16、o.第六节极限存在准则两个重要极限两个重要极限：?+ 1? =?lim叱?=1?folim(1?准则I如果数列?、?%及?满足下列条件：(1)从某项起，即?C?,当？?时，有? N,?寸，就有|?-?|0,就说B是关于a的？阶无穷小.如果lim?=1,就说B与a是等价的无穷小，记作a0.-11等价无穷小：(1+?-1?,?sin?tan?,?arcsin?1-cos?-?,ln(?+1)?-1+?定理1B与a是等价无穷小的充分必要条件为：B=a+。(？定理2设/?B?且lim就存在，则 _ ?lim ?= lim 有第八节函数的连续性与间断点定义设函数？?=?在点？?的某一领域内有定义，如果?

17、lim?=则?+?-?)=0那么就称函数？?=?在点？?连续.所以，函数？?=?在点？拉续的定义又可叙述如下：设函数？?=?在点？?的某一领域内有定义,如果:lim?=?)那么就称函数？?在点？?连续.设函数？?在点？?的某去心邻域内有定义.在此前提下，如果函数？?有下列三种情形之一:(1)在？?=?没有定义；虽在？?=?有定义，但炉0?不存在;(3)虽在？?=?有定义，且lim?存在，但lim?看?)?.(?、?-(?、，、，则函数?(?)在点?0?为不连续，而点?0?称为函数?(?)的不连续点或间断点.函数间断点的几种常见类型：(1)无穷间断点(2)震荡间断点(3)可去间断点(4)跳跃间断

18、点通常把间断点分成两类：如果?0?是函数?(?)的间断点，但左极限?(?0?-)及右极限?(?0?+)都存在，那么?0?称为函数?(?)的第一类间断点.不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点.可去间断点和跳跃间断点为第一类间断点.无穷间断点和震荡间断点显然是第二类间断点.第九节连续函数的运算与初等函数的连续性定理1设函数?(?)?和?(?)?在点?0?连续，则它们的和(差)、积及商都在点?0?连续.定理2如果函数?=?(?)?在区间?上单调增加(或单调减少)且连续，那么它的反函数?=?-?1(?)也在对应的区间？?=?|?,?管上单调增加(或单调减少)且连续.一般的，对于形如?(?)?

19、(?)(?(?)?0，?(?)?1)的函数(通常称为幂指函数)，如果lim?(?)=?0，lim?(?)=?那么lim?(?)?(?)=?第十节闭区间上连续函数的性质定理1(有界性与最大值最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值.定理2(零点定理)设函数?(?)在闭区间?，b上连续，且?(?)与?(?)?异号，那么在开区间(?b)内至少有一点工使?(?)?=0定理3(介值定理)设函数?(?)在闭区间?，b上连续，且在这区间的端点取不同的函数值?(?)=?及?(?)=?那么，对于A与B之间的任意一个数C,在开区间(?？b)内至少有一点匕使得?=?(?推论在闭区

20、间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.第二章导数与微分第一节导数概念定义 该邻域内)?(?) =则而?+ ? - ?)?L?(?) 二 ?i m? + ?) - ?)设函数？?=?在点？?的某个邻域内有定义，当自变量？在？?处取得增量？?？(点？+?初在时，相应的函数取得增量？?=?+?-?)；如果？?？与？?它比当？?一0时的极限存在，则称函数？?=?在点？?处可导，并称这个极限为函数？?=?在点？?处的导数，记为?(?),即也可记作？ | ?= ?, ? | ?= ?| ?= ? ?(?)=lim?一?)?一(?(14)(?co? = - -=2(15)(? = 卷(16

21、)(?C0?=-号2常数和基本初等函数的导数公式:.一/(1)(?=0(2)(?3=?-1(3)(sin?=cos?(4)/(cos?=-sin?(5)(tan?=sec2?(6).J1(cot?=-csc2?,、/(sec?=sec?an?(8).J(csc?=-csc?2ot?(9)(?j=?ln?(10)(?)=:?与(11)(log?_1=?n?(12)(ln?_1=?(13)(?s?=函数的和、差、积、商的求导法则: /(?= ? / (?也?=?土？，._L7_(?=?+?2?(?极限存在的充分必要条件是左、右极限都存在且相等。如果极限不存在，就说函数？?=?在点？?处不可导。如果

22、不可导的原因是由于？?一0时，比式?一00,为了方便起见，也往往说函数？?=?在点？?处的导数为无穷大.由此可见，当？?一0时，？?一0,这就是说，函数？?=?在点？处是连续的，所以，如果函数？?=?在点？处可导，则函数在该点必连续.另一方面，一个函数在某点连续却不一定在该点可导.第二节函数的求导法则定理1如果函数？?=?及？?=?都在点？具有导数，那么它们的和、差、积、商（除分母为零的点外）都在点？具有导数.定理2如果函数？?=?在区间？到单调、可导且？?（？W0,则它的反函数？?=?（?在区间?= ? | ?, ?e ?内也可导，且1?1?(?才=1、.,1-1或=一?(?反函数的导数等于

23、直接函数导数的倒数定理3如果？?=?在点？T导，而？?=?在点？?=?可导，则复合函数？?=?在点？T导,且其导数为? ?(?(?或? ?=? ?第三节高阶导数(?切=?始(?-1)!ln(1+?超?？=(-1产1：1+?(sin?(?=sin(?+?/莱布尼茨公式：(cos?=cos(?+?2)?(?=E?夕?-?)?=0第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率般的，若参数方程?=?=?确定？为？刑的函数关系，则称此函数关系所表达的函数为由参数方程(3)所确定的函数.L?(?)?(?1/?(?(?-?(?(? 、/、gu1B/f*赤?彳？? 1/第五节函数的微分定义设函数？?=?

24、在某区间内有定义，？?及?+?在这区间内，如果增量?=?+?-?)可表小为?=?o(?其中A是不依赖于？?勺常数，那么称函数？?=?在点？?是可微的，而？?？做函数？?=?在点？?相应于自变量增量？?酌微分，记作？?？即?函数？?在点？?可微的充分必要条件是函数?在点？?可导，且当？?在点？?可微时，其微分一定是/?(?)?函数？?=?在任意点？?勺微分，称为函数的微分，记作？?？?？，即/,_?才？通常把自变量？的增量？?称为自变量的微分,记作？?即？?？?r是函数？?=?的微分又可记作L?(?第三章微分中值定理与导数的应用第一节微分中值定理费马引理设函数？?在点？?的某邻域U(?)内有定义

25、，并且在？?处可导，如果对任意的？?eu(?),有?)那么？乳？?)=0.通常称导数等于零的点为函数的驻点(或稳定点，临界点)罗尔定理如果函数？?满足(1)在闭区间?b上连续;(2)在开区间(？b)内可导；(3)在区间端点处的函数值相等，即？?？=?,那么在(？b)内至少有一点*?,使得？乳？=0.拉格朗日中值定理如果函数？?满足(1)在闭区间?b上连续；(2)在开区间(？b)内可导；那么在(？b)内至少有一点七宣？? ?寸，？?（?及？?（?者B存在，且？?（?？W0;?（?（3） lim丁当存在（或为无分大），? -oc?（ ?那么 L?(?lim = lim?一?-?(?其他还有一些0

26、? WOO - po00、100、oo0型的未定式，也可通过0或OO一型的未定式来计算.第三节泰勒公式泰勒中值定理 如果函数？?在含有？?的某个开区间（?？ b）内具有直到（？?+ 1）阶的导数，则对任?e(? b),有? (?)2?(?)”?= ?) + ?(?)(? ?) + -2- (? ?)2 + ? +?! (? ?)?+ ?赵?其中?+1)(?一.?= (?仔 I(? ?)?+1这里士是？?与？也问的某个值.第四节函数的单调性与曲线的凹凸性定理1设函数？?= ?在? b 上连续，在（? b ）内可导.(1)如果在（? b ）内？式？ 0,那么函数？?= ?在? b 上单调增加;(2

27、)如果在（? b ）内？? 0,那么函数？?= ?在? b 上单调减少.定义设？?在区间？?上连续，如果对？?上任意两点？?，？恒有?72?12?） 那么称？?在？?上的图形是（向上）凸的（或凸弧）?) + ?)2;如果包有?) + ?)定理2设？?在? b 上连续，在（？?b ）内具有一阶和二阶导数，那么(1)若在(？b)内？(?0,则？?在?b上的图形是凹的；(2)若在(？b)内？(?0,则？?在?b上的图形是凸的.求连续曲线？=？(？)的拐点：(1)求？(?；(2)令？(?=0,解出这方程在区间？?内的实根，并求出在区间？?内?(?不存在的点；(3)对于(2)中求出的每一个实根或二阶导数

28、不存在的点？?，检查？(?在?左、右两侧邻近的符号，那么当两侧的符号相反时，点(?0，?(?0)是拐点，当两侧的符号相同时，点(?0，?(?0?)不是拐点.第五节函数的极值与最大值最小值定义设函数?(?)?在点?0?的某邻域U(?0?)内有定义，如果对于去心领域U(?0?)内的任一?，有?(?)?(?0?)那么就称?(?0?)是函数?(?)的一个极大值(或极小值).定理1(必要条件)设函数？?在点？?处可导，且在？?处取得极值。那么？?(？?)=0.定理2(第一充分条件)设函数？?在点？?处连续，且在？?的某去心邻域U(?,6内可导.f7.f7.一.一，一，一，(1)若?e(?-?)时，？?0

29、,而?e(?,?+?时，?(?0,则？?在?处取得极大值；(2)若?e(?)时，？才?0,则？?在?处取得极小值；(3)若？?eu(?,6时，?(?的符号保持不变，则？?在？?处没有极值.第四章不定积分第一节不定积分的概念与性质定义1如果在区间I上，可导函数？?？的导函数为？?？，即对任一？?e?都有?(?=?或d?=?d?那么函数？?就称为？?？(或？?d?在区间I上的原函数.原函数存在定理如果函数?(?)?在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函?(?)?，使对任一?e?有?(?) = ?(?)简单地说就是：连续函数一定有原函数.定义2在区间I上，函数？?的带有任意常数项的原函数称为？?？

30、(或？?d?在区间I上的不定积分，记作/?d?其中记号师为积分号，？?M为被积函数，？?d?称为被积表达式，？称为积分变量.f?d?=?+?基本积分表：(1) /?d?(?是常数)，?s?+1(2) /?d?=?7r+?(?1)(3) /筌ln|?+?(4) /黑2=?+?(5) /tan?=-ln|cos?+?(6) /cot?Z?=ln|sin?+?(7) /sec?Z?=ln|sec?+tan?+?(8) /csc?Z?=ln|csc?2cot?+?(9) /J?=arctan?+?，+?2?d?1?.?一(10)/k=2?1nl?+?+?(11)/；?2=arcsin-?+?，？?？2

31、?(12)Th1n(?+,?+?)+?cd?rr(13)/Fh1n|?+?|+?a/?2不定积分的性质：性质1设函数？?及？?？的原函数存在，则/?+?力d?=f?d?+f?d?性质2设函数？?的原函数存在，？%非零常数，则f?d?=?/?d?第二节换元积分法定理1设？?具有原函数，？?=?可导，则有换元公式日_一/日/?(|)(?d?=/?d?=?：?一般的，对于积分/?d?总可彳变换？?=?把它化为1/?d?=f?d(?1。=/?d?=?+?、.一、/./.一一一定理2设？?=?是单调、可导白函数，并且？(?？*0.又设？?7?(?具有原函数，则有换兀公式f?d?=/?)?(?!?=?，(

32、?第三节分部积分法设函数？?=?及?=?具有连续导数.那么，两个的函数乘积的导数公式为：/_/_(?=?+?移项，得？?2(?-?对这个等式两边求不定积分，得_,、/?=?/?d?(1)公式(1)称为分部积分公式.为简便起见，一也可把公式(1)写成下面的形式：/?d?/?d?第四节有理函数的积分两个多项式的商黑称为有理函数，又称有理分式.我们总假定分子多项式？?与分母多项式？7?之?(?)问是没有公因式的.当分子多项式？?的次数小于分母多项式？7?的次数时，称这有理函数为真分式，否则称为假分式?+1一一例1求/?2d?解被积函数的分母分解成(？3)(?2),故可设?+1?-5?+6=?3+?2其中A、B为待定系数.上式两端去分母后，得?+1=?2)+?3)即？?+1=(?+?2?23?比