高等数学期末考试试题

1、重庆三峡学院2008至2009学年度第2期高等数学（二）试题（A）试题使用对象2008 级 工科各 专业（本科）命题人：陈晓春考试用时 120分钟答题方式采用：闭卷第8页，共5页说明：1、答题请使用黑色或蓝色的钢笔、圆珠笔在答题纸上书写工整。2、考生应在答题纸上答题，在此卷上答题作废。、填空题（每小题3分，本题共15分）1.2.D:x2R2,贝Uxxy2dxdyD3.2:xR2,则 dxdydz收敛，则5.微分方程yex1的通解二.单项选择题（每小题3分，本题共15分）f （x, y）在（xo, yo）点有定义。f （x, y）在（x0, y0）点存在极限。1.存在fx（x0,yO），fy（x

2、0Y0）。则有（）。A,zf（x,y）在（刈，丫。）点连续。BC,zf(x,y)在(x0,y0)点可微。D3. zun收敛，则下列级数1）也收敛。A,1 +unn 13xi2yA(1,2)B(-1,2)4.设曲线L:a cost asintA、a2B、(un 1) C , n 120的极大值点为（C (-1,-2)t 0,22 a2D (1,-2),则曲线积分C、a3unD,D、dsn 1(1) unn 12 a35.表达式 P(x, y)dxQ（x, y）dy为某一函数的全微分的充要条件是（A、；B、P Q- ,y xC、D、二、计算题（每小题8分,共7小题，共56分）1、f (xy,xy）

3、,具有二阶连续偏导数,2uox y2、一.一 2求曲线x 2t227t,y 4t 2,z 5t2 4t在点(5, 6,1）处的切线及法平面方程。3、画出积分区域的草图，并计算二重积分Ix2dxdy,其中DD是由曲线xy 2,y 1 x2及直线x2所围成的区域。4、求哥级数（x，）的收敛半径与收敛域。n1.n5、设 f(x) x(0x 2）,将f （x）展成以4为周期的正弦级数。6.计算x3dydz,3 , , , ,1 , 一 22dzdx z dxdy,其中 是球面x y22 .z R的外侧。7.求微分方程xy1的通解。三、应用题（7分）求棱长之和为12l l0 ,且具有最大体积的长方体体积

4、。四、综合题（7分）已知上半平面内一曲线yy（x）（x0）过点（0,1）,且曲线上任一点M（x,y）处切线斜率数值上等于此曲线在0到x之间所形成的曲边梯形面积的两倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.重庆三峡学院2008至2009学年度第2期高等数学（二）试题（A）答案试题使用对象2008级工科各专业（本科）命题人：陈晓春考试用时120分钟答题方式采用：闭卷、填空题（每小题3分，本题共15分）1.2.R33.R34.5.二.单项选择题（每小题3分，本题共15分）1.B2.A3.C4.D5.A二、计算题（每小题8分，共7小题，共56分）f（xy,xy）,具有二阶连续偏导数，求2uOxy解.xf1f2

5、yfnx3yf21xyf22f22、求曲线X22t27t,y4t2,z25t24t在点(5,6,1）处的切线及法平面方程。解:1对应点（5,6,1)对应的切线方向向量(x(t),y(t),z(t)|t1(4t7,4,10t4)|t1(3,4,6)4分切线方程法平面方程为3(x5)4(y6)6(z1)或3x4y6z4503、画出积分区域的草图，并计算二重积分x2dxdy,其中D是由曲线xy2D2一,y1x及直线x2所围成的区域。解：图21.2,Ixdx12xdy2x2x2(112)dxx2(x212x)dxr133x22xi83154、求哥级数（x4）的收敛半径与收敛域。-n解：令tx2,上述级

6、数变为tn因为limnan1an时,5、设f(x)x(0解:6.7.nlimj=1,所以收敛半径R=1。n.n11.,发散；当t=-1时，级数1.n(1)n收敛;1x21,故原级数的收敛域为1xx2),将f(x)展成以4为周期的正弦级数。将f(x)延拓为周期为4的奇函数，其Fourier系数anbn0,n0,1,2,f(x)sinnxdx2xsin0nx,dx22xcosn4cosnn2sincos0nxdx23。n1),n1,2,3,4f(x)n二(1nn1.n1)sin2-0x2.3计算xdydz解。由高斯公式可得223(xy求微分方程xyy解：令yp(x),yC1lnx三、应用题(7分)

7、3dzdxzdxdy,其中2是球面x2R的外侧。x3dydzy3dzdxz3dxdyz2)dv31的通解。1一dxx(C2求棱长之和为12ll解：设长方体的棱长分别为0dR4.rsin0dr121一dxxdxC)C1)且具有最大体积的长方体体积ox,y,z。则xyz3l,目标函数Vxyz令Lxyzxyz31Lxyz0Lyxz0由Lzxy0Lxyz3l0解得xyzl(唯一驻点)由实际问题知长方体体积的最大体积一定存在，因此Vl,l,ll3即为所求.7分四、综合题(7分)已知上半平面内一曲线yy(x)(x0)过点(0,1),且曲线上任一点M(x,y)处切线斜率数值上等于此曲线在0到x之间所形成的曲边梯形面积的两倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.x解：依题意，得y2ydxy