函数的极值与最大、最小值

1、2022-3-26皖西学院皖西学院 数理系数理系 数学分析数学分析16.4 6.4 函数的极值与最（小）大值函数的极值与最（小）大值2022-3-26皖西学院皖西学院 数理系数理系 数学分析数学分析2一、函数的极值及其求法一、函数的极值及其求法oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6x1 1、函数极值的定义、函数极值的定义2022-3-26皖西学院皖西学院 数理系数理系 数学分析数学分析30( )( , ),( , ),f xa bxa b 设设函函数数在在区区间间内内有有定定义义0,x如如果果存存在在着着点点的的一一个个邻邻域域 对对于于这这邻邻域域内内的的,x任任何何点点0( )(),

2、f xf x 均均成成立立0()( );f xf x就就称称是是函函数数的的一一极极大大值值个个0,x如如果果存存在在着着点点的的一一个个邻邻域域 对对于于这这邻邻域域内内的的,x任任何何点点0( )(),f xf x 均均成成立立0()( ).f xf x就就称称是是函函数数的的一一极极小小值值个个函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值, ,使函数取得使函数取得极值的点称为极值的点称为极值点极值点. .2022-3-26皖西学院皖西学院 数理系数理系 数学分析数学分析4定理定理5.35.3( (费马定理费马定理) )( )0)fx ：使使导导数数为为零零的的点点 即即方

3、方程程定定的的实实根根义义( ),f x： 可可导导函函数数的的极极值值点点必必定定是是注注它它的的驻驻点点意意例如例如, ,3xy , 00 xy.0不不是是极极值值点点但但 x2 2、函数极值的求法、函数极值的求法( ).f x叫叫做做函函数数的的驻驻点点.但但函函数数的的驻驻点点却却不不一一定定是是极极值值点点2022-3-26皖西学院皖西学院 数理系数理系 数学分析数学分析5定理定理6.10(6.10(第一充分条件第一充分条件) )0( )0( ).fxf xx 有有. .则则在在处处取取极极大大值值得得0000(1)(,),( )0;(,),xxxfxxxx若若时时 有有时时0( )

4、0( ).fxf xx 有有. .则则在在处处取取极极小小值值得得0000(2)(,),( )0;(,),xxxfxxxx若若时时 有有时时0000(3)(,)(,),( )xxxx xfx 若若及及时时不不变变符符号号，0( ).f xx则则处处无无极极值值在在xyoxyo0 x0 x (是极值点情形是极值点情形)2022-3-26皖西学院皖西学院 数理系数理系 数学分析数学分析6xyo0 x0 x 求极值的步骤求极值的步骤:对可导函数对可导函数 );()1(xf 求导数求导数;0)()2(的的根根求求驻驻点点，即即方方程程 xf;,)()3(判判断断极极值值点点在在驻驻点点左左右右的的正正

5、负负号号检检查查xf .)4(求极值求极值(不是极值点情形不是极值点情形)xyo2022-3-26皖西学院皖西学院 数理系数理系 数学分析数学分析7321.( )(25).f xxx 例例求求出出函函数数的的极极值值3101( );3xfxx 解解：10.xx 为为驻驻点点，为为不不可可导导点点列表讨论列表讨论x)(xf )(xf(,0)0(0,1)1(1,) 不不存存在在 0 极极大大值值极极小小值值(0)0;f 极极大大值值(1)3.f 极极小小值值2022-3-26皖西学院皖西学院 数理系数理系 数学分析数学分析832( )(25)f xxx图形如下图形如下102022-3-26皖西学院

6、皖西学院 数理系数理系 数学分析数学分析9定理定理6.11(6.11(第二充分条件第二充分条件) )000( )()0()0f xxfxfx 设设在在 处处具具有有二二阶阶导导数数，且且，则则00(1)()0( )fxf xx 当当时时，在在处处取取得得极极大大值值；00(2)()0( )fxf xx 当当时时，在在处处取取得得极极小小值值. .证证)1(xxfxxfxfx )()(lim)(0000, 0 异异号号，与与故故xxfxxf )()(00时，时，当当0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 时，时，当当0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 所以所以，函数函数)(xf在在0

7、 x处取得极大值处取得极大值 同理可证同理可证(2).2022-3-26皖西学院皖西学院 数理系数理系 数学分析数学分析10例例2 2解解2432( ).f xxx求出函数的极值3322(6 )xx，令令0)( xf6.x 得驻点63864(6)(2)xfx60,(6)f故极小值108.2432( )f xxx图形如下图形如下2432( )2fxxx0.xf 不在 定义域内2022-3-26皖西学院皖西学院 数理系数理系 数学分析数学分析11注意注意: :00()0,( ),6.10.fxf xx 时在点 处不一定取极值仍用定理6 62432( )f xxx的图形2022-3-26皖西学院皖西

8、学院 数理系数理系 数学分析数学分析12例例3 3解解.)2(1)(32的极值的极值求出函数求出函数 xxf)2()2(32)(31 xxxf.)(,2不不存存在在时时当当xfx 时时，当当2 x; 0)( xf时时，当当2 x. 0)( xf.)(1)2(的的极极大大值值为为xff .)(在在该该点点连连续续但但函函数数xf注意注意: :函数的不可导点函数的不可导点,也可能是函数的极值点也可能是函数的极值点.2ff2022-3-26皖西学院皖西学院 数理系数理系 数学分析数学分析13定理定理6.126.12极值的第三充分条件极值的第三充分条件 001.fxnxn设 在 的某邻域内存在直到阶导

9、数，在 处 阶可导( )( )00 ()0,(1,2,1), ()0.knfxknfx且则有01nfx（）当 为偶数时， 在 处取得极值.( )0( )0()0()0nnfxfx时取得极大值；且时取得极小值.02nfx（ ）当 为奇数时， 在 处不取极值.定理定理6.126.12的证明类似定理的证明类似定理6.116.11，略，略. .2022-3-26皖西学院皖西学院 数理系数理系 数学分析数学分析14434. ( )(1).f xxx例求函数的极值3342( )4(1)3(1)fxxxxx解：32(1) (74).xxx40,1,.7x 是函数的驻点22( )6(1)(782)fxxxxx

10、4446912( )0( ).777823543ffxf 在处取得极小值(0)(1)0.ff32( )6 (3560302)fxxxxx(1)0,3fn1.fx在处不取极值2022-3-26皖西学院皖西学院 数理系数理系 数学分析数学分析15(0)0.f(4)32( )24(3545151)fxxxx(4)(0)0,4fn0(0) 0.fxf在处取得极大值注意：定理注意：定理6.126.12是极值的充分条件，不满足定理条是极值的充分条件，不满足定理条件的可能取得极值件的可能取得极值. .例如：例如：21,0;( )0 ,0.xexf xx( )(0)0,1,2,.kfk不能用定理不能用定理6.

11、126.12判断，但判断，但显然显然f在在x=0=0处取得极小值处取得极小值. .( )(0).kf这里的必须利用导数定义计算2022-3-26皖西学院皖西学院 数理系数理系 数学分析数学分析16二、最大（小）值的求法二、最大（小）值的求法oxyoxybaoxyabab闭区间上的连续函数一定存在最大（小）值闭区间上的连续函数一定存在最大（小）值. .极值反映的是函数局部性质，而函数的最大（小）极值反映的是函数局部性质，而函数的最大（小）值只可能在端点或极值点处取得值只可能在端点或极值点处取得. .2022-3-26皖西学院皖西学院 数理系数理系 数学分析数学分析17求最大（最小）值的一般步骤求

12、最大（最小）值的一般步骤: :1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点;可能为极值点可能为极值点2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值求区间端点及驻点和不可导点的函数值,注意注意: :如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值,比较它们的大小比较它们的大小, ,最大的就是最大值；最大的就是最大值；最小的就是最小值。最小的就是最小值。则这个极值就是最值则这个极值就是最值.(.(最大值或最小值最大值或最小值) )2022-3-26皖西学院皖西学院 数理系数理系 数学分析数学分析18321 55. ( )2124 2.f xxxx例求函数-9在闭区间-, 上的最大值与最小值221(2912),0;4(

13、 )5(2912),0.2xxxxf xxxxx解：16(1)(2),0;4( )56(1)(2),0.2xxxfxxxx1,2.x 驻点为1 5,.4 2x 区间端点为2022-3-26皖西学院皖西学院 数理系数理系 数学分析数学分析190 x 是不可导点实际上可以不判断.11155(0)0,(1)5,(2)4,(),( )5.4322fffff5(1)( )5;2fff最大值(0)0.ff最小3-26皖西学院皖西学院 数理系数理系 数学分析数学分析20例例6.6.一艘轮船在航行中的燃料费和速度的立方成正一艘轮船在航行中的燃料费和速度的立方成正比比. .已知当速度为

14、已知当速度为10km/h10km/h时，燃料费为每小时时，燃料费为每小时6 6元，元，而其他与速度无关的费用是每小时而其他与速度无关的费用是每小时9696元元. .问轮船的问轮船的速度为多少时，每航行速度为多少时，每航行1km1km的费用最小？的费用最小？解：设轮船的速度为解：设轮船的速度为x(km/h),(km/h),则每航行则每航行1km1km的费用为的费用为31(96).ykxx0.x 3106xkx时，0.006.k31(0.00696),0.yxxx320.012(8000)yxx020yx即为所求即为所求. .2022-3-26皖西学院皖西学院 数理系数理系 数学分析数学分析21例

15、例7.7.如图，剪去正方形四角同样大小的正方形后，如图，剪去正方形四角同样大小的正方形后， 制成一个无盖的盒子制成一个无盖的盒子. .问剪去的小方块的边长为何问剪去的小方块的边长为何 值时，可使盒子的容积最大？值时，可使盒子的容积最大？ax,.xy解：设某个小方块的边长为盒子容积为2(2 ) ,yx ax0.2ax12()()62aayxx6ayx 易见 在处取得极大值，即是最大值.32( ).627aayf最大2022-3-26皖西学院皖西学院 数理系数理系 数学分析数学分析22例例8.敌人乘汽车从河的北岸敌人乘汽车从河的北岸A处以处以1千米千米/分钟的速分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车

16、从河的南岸度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸B处处向正东追击，速度为向正东追击，速度为2千米千米/分钟问我军摩托车分钟问我军摩托车何时射击最好（相距最近射击好）？何时射击最好（相距最近射击好）？2022-3-26皖西学院皖西学院 数理系数理系 数学分析数学分析23解解公公里里5 . 0(1)建立敌我相距函数关系建立敌我相距函数关系).(分分追击至射击的时间追击至射击的时间处发起处发起为我军从为我军从设设Bt敌我相距函数敌我相距函数22)24()5 . 0()(ttts 公公里里4B A )(ts)(ts.)()2(的最小值点的最小值点求求tss )(ts.)24()5 . 0(5 . 75

17、22ttt , 0)( ts令令得唯一驻点得唯一驻点. 5 . 1 t.5 . 1分分钟钟射射击击最最好好处处发发起起追追击击后后故故得得我我军军从从B2022-3-26皖西学院皖西学院 数理系数理系 数学分析数学分析24TxyoPABC229.0808yxyxyxyx 例例由由直直线线，及及抛抛物物线线围围成成一一个个曲曲边边三三角角形形，在在曲曲边边上上求求一一点点，使使曲曲线线在在该该点点处处的的切切线线与与直直线线及及所所围围成成的的三三角角形形面面积积最最大大2022-3-26皖西学院皖西学院 数理系数理系 数学分析数学分析25解解如图如图,),(00yxP设设所所求求切切点点为为为为则切线则切线PT),(2000 xxxyy