立体几何中的成角问题

1、直线与平面所成角平面与平面所成角异面直线所成的角异面直线所成的角： 经过空间任意一点，作两条异面直线经过空间任意一点，作两条异面直线的平行线，则两条相交直线所成的的平行线，则两条相交直线所成的锐角锐角( (直直角角) )即为两条异面直线所成的角。范围：即为两条异面直线所成的角。范围： 2, 0ABDCA1B1D1C1练习练习1、在正方体、在正方体AC1中，求异面中，求异面直线直线A1B和和B1C、 B1D1所成的角？所成的角？A1B和和B1C所所成的角为成的角为60A1B和和B1D所所成的角为成的角为90练习练习2：在正方体：在正方体AC1中，中，M,N分别分别是是A1A和和B1B的中点，求异

2、面直线的中点，求异面直线CM和和D1N所成的角？所成的角？ABDCA1B1D1C1MNAOB斜线与平面所成角 ： 平面的一条斜线和它在平面内的射影平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的所成的锐角锐角，叫做这条直线和这个平面所，叫做这条直线和这个平面所成的角。范围：成的角。范围： 2, 0当直线与平面垂直时，直当直线与平面垂直时，直线与平面所成的角是线与平面所成的角是90当直线在平面内或当直线在平面内或与平面平行时，与平面平行时，直线与平面所成的角直线与平面所成的角是是0最小角原理最小角原理AOBC斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角

3、中面内的直线所成的一切角中最小的角最小的角。练习、若直线练习、若直线 l与平面所成的角为与平面所成的角为60 ，则这条，则这条直线与平面内的直线所成的一切角中最小的角直线与平面内的直线所成的一切角中最小的角为为 ，最大的角为，最大的角为 。9060Ol1例题、如图，在正方体例题、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，中，求求A1B与平面与平面A1B1CD所成的角所成的角ABCDA1B1C1D1O 从一条直线出发的两个半平面所从一条直线出发的两个半平面所形成的图形叫做二面角形成的图形叫做二面角 这条直线叫做二面角的棱这条直线叫做二面角的棱二面角： 以二面角的棱上任意一点为端点，以二面角的

4、棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角这两条射线所成的角叫做二面角的平面角O二面角的平面角： 二面角的求法(1)(1)三三垂线法垂线法：利用三垂线定理作出平：利用三垂线定理作出平面角，通过解直角三角形求角的大小面角，通过解直角三角形求角的大小(2)(2)垂面法垂面法：通过做二面角的棱的垂面，：通过做二面角的棱的垂面，两条交线所成的角即为平面角两条交线所成的角即为平面角(3)(3)射影法射影法: :若多边形的面积是若多边形的面积是S S，它在它在一个平面上的射影图形面积是一个平面上的射影图形面积是SS，则则

5、二面角二面角 满足满足:COS = SS S S三垂线法三垂线法垂面法垂面法ABCDO射影法射影法方法选择的一般顺序是：方法选择的一般顺序是：1 1、先考虑、先考虑利用三垂线定理来寻找二面角利用三垂线定理来寻找二面角的平面角；的平面角；2、再考虑二面角中的特殊情况（直二面、再考虑二面角中的特殊情况（直二面角）或者角）或者通过定义、面积比等方法来找通过定义、面积比等方法来找到二面角的平面角。到二面角的平面角。 按照这个思路来找二面角的平面角会按照这个思路来找二面角的平面角会使得解题更加方便。使得解题更加方便。例：四棱锥例：四棱锥P PABCDABCD的底边是边长为的底边是边长为1 1的的正方形，

6、正方形，PDPD垂直于底面，垂直于底面，PBPB 3（1 1）求证：）求证：BC PCBC PCD DC CB BA AP PM M方法一：方法一：方法二：方法二：（1 1）方法一：）方法一：D DC CB BA AP PM M利用三垂线定理利用三垂线定理（1 1）方法二：）方法二：D DC CB BA AP PM M线面垂直线面垂直 线线垂直线线垂直例：四棱锥例：四棱锥P PABCDABCD的底边是边长为的底边是边长为1 1的的正方形，正方形，PDPD垂直于底面，垂直于底面，PBPB 3（2 2）求面）求面APDAPD与面与面BPCBPC所成所成 二面角的大小二面角的大小D DC CB BA

7、 AP PM M方法一：方法一：方法二：方法二：方法四：方法四：方法三：方法三：（2 2）方法一）方法一D DC CB BA AP PM M作出二面角的棱作出二面角的棱来确定平面角来确定平面角（2 2）方法二）方法二D DC CB BA AP PM M垂面法垂面法（2 2）方法三）方法三D DC CB BA AP PM M射影法射影法（2 2）方法四）方法四D DC CB BA AP P1A补形法补形法例：四棱锥例：四棱锥P PABCDABCD的底边是边长为的底边是边长为1 1的的正方形，正方形，PDPD垂直于底面，垂直于底面，PBPB 3（3 3）若设若设PAPA的中点为的中点为M M，求求异面直线异面直线DMDM与与PBPB所成角的大所成角的大小小 C C方法一：方法一：方法二：方法二：D DB BA AP PM M（3 3）方法一）方法一D DB BA AP PM M三垂线法三垂线法（3 3）方法二）方法二D DB BA AP PM M平移法平移法ABDCA1B1D1C1练习：在正方体练习：在正方体AC1中，求二面角中，求二面角D1ACD的大小？的大小？