第五章 弯曲内力(1)

1、5-5 5-5 载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系第五章第五章 弯曲的内力弯曲的内力5-1 5-1 平面弯曲的概念及工程实例平面弯曲的概念及工程实例5-2 5-2 平面弯曲梁的计算简图平面弯曲梁的计算简图5-3 5-3 弯曲内力弯曲内力剪力和弯矩剪力和弯矩5-4 5-4 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图5-6 5-6 叠加法作弯矩图叠加法作弯矩图5-7 5-7 刚架和平面曲杆的内力刚架和平面曲杆的内力难点重点FFFF一、弯曲实例一、弯曲实例5-1 5-1 平面弯曲的概念及工程实例平面弯曲的概念及工程实例横向力横向力二、弯曲二、弯曲受力特点受力特点作用于杆件上的作用于杆

2、件上的外力外力都都垂直垂直于杆的于杆的轴线轴线变形特点变形特点1.杆轴线由杆轴线由直线直线变为一条变为一条曲线曲线； 2.杆件上杆件上相邻横截面绕与梁轴线垂直的轴发生相对转动。相邻横截面绕与梁轴线垂直的轴发生相对转动。 主要产生弯曲变形的杆主要产生弯曲变形的杆- - 梁梁。mNq/分布力P集中力（N）M集中力偶(N/m)ARBR支座反力支座反力三、平面弯曲三、平面弯曲A一、约束类型一、约束类型1. 1. 平面可动铰支座平面可动铰支座 2. 2. 平面固定铰支座平面固定铰支座 3. 3. 固定端固定端 5-2 5-2 平面弯曲梁的计算简图平面弯曲梁的计算简图0yYAYAYAYAYAXAYAXA0

3、0yx，0, 00yx，YAXAMA 4. 4. 中间铰中间铰 5. 5. 刚结点刚结点5-2 5-2 平面弯曲梁的计算简图平面弯曲梁的计算简图ABCABC线位移相同，各自转角不同两根杆在C处的夹角保持不变5-2 5-2 平面弯曲梁的计算简图平面弯曲梁的计算简图1 1、悬臂梁：、悬臂梁：2、简支梁：、简支梁：3、外伸梁、外伸梁：LLL（L称为梁的跨长）称为梁的跨长）二、三种基本的静定梁：二、三种基本的静定梁：LP1lABxmma一、弯曲内力的确定（截面法）：一、弯曲内力的确定（截面法）：例例如图如图,已知：已知：F，a，l，RA , RB。 求：距求：距A端端 x 处截面上内力。处截面上内力。

4、RAYRAXRB5-3 5-3 弯曲内力弯曲内力剪力和弯矩剪力和弯矩Q(x)M(x) 1PRxQA , 0Y xQPRA1 , 0OM xRaxPxMA-1解：取解：取m - m 截面的左段为研究对象。截面的左段为研究对象。P1RAAO axPxRxMA-1RA二、弯曲内力的正负号规定: 剪力Q : 弯矩M：Q(+)Q(+)Q()Q()M(+)M(+)M()M()左上右下为正，反之为负。左顺右逆为正，反之为负。左横截面右横截面三、指定横截面上的剪力 和弯矩 的计算 xQ xM计算法则：计算法则：任意截面上的剪力 （截面一侧横向力的代数值） xQ任意截面上的弯矩 （截面一侧横向力对截面形心之矩的

5、 代数值） xM横向力应包括：分布力、集中力、支座反力横向力应包括：分布力、集中力、支座反力方向：左上右下为正，反之为负。（方向：左上右下为正，反之为负。（横截面的左侧、横截面的右侧横截面的左侧、横截面的右侧）横向力包括：分布力、集中力、支座反力、横向力包括：分布力、集中力、支座反力、集中力偶集中力偶方向：左顺右逆为正，反之为负。（方向：左顺右逆为正，反之为负。（横截面的左侧、横截面的右侧横截面的左侧、横截面的右侧）Q(x)M(x) 1PRxQA , 0Y xQPRA1 , 0OM xRaxPxMA-1解：取解：取m - m 截面的左段为研究对象。截面的左段为研究对象。P1RAAO axPxR

6、xMA-1 1PRxQA axPxRxMA-15-4 5-4 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图表示剪力和弯矩沿杆轴线变化规律的图形剪力图和弯矩图 5 5个基本的剪力图和弯矩图个基本的剪力图和弯矩图1、悬臂梁受集中力作用时的的剪力图和弯矩图任意横截面m-mPxQxMPLLPABmmx）（Lx0PxP）（Lx0 xQ xM5-4 5-4 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图2、悬臂梁受分布力的剪力图和弯矩图任意横截面m-mqLxQmmxLABq）（Lx0 xqxxM21 qxxQ）（Lx0221qxxM221qL281qL5-4 5-4 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图3、简支梁受集中力的剪力图和弯矩图（2）分段

7、，AC,CB段（集中力）（ax 10 11xLPbxRxMA）（ax 10LPaRMBA, 0（1）由静力平衡关系求支座反力LPbRMAB, 0 LPbRxQAAC段任意横截面m-m）（bx 20 22xLPaxRxMB）（bx 20 LPaRxQBCB段任意横截面n-nRBRAPBAabLCnnx2mmx15-4 5-4 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图3、简支梁受集中力的剪力图和弯矩图xQxM（3）分段画剪力图和弯矩图）（ax0 xLPbxRxMA）（ax0 LPbRxQA）（bx0 xLPaxRxMB）（bx0 LPaRxQBAC段CB段LPbLPaLPabRBRAPBAabLCnnx2mm

8、x1RBRABALq5-4 5-4 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图4、简支梁受分布力的剪力图和弯矩图mmx（2）任意横截面m-m）（Lx0）（Lx0qLRMAB21, 0（1）由静力平衡关系求支座反力qLRMBA21, 0 qxqLqxRxQA21 22212121qxqLxqxxRxMAxQ2qL2qL82qLxM3232qL3232qL4L43L2LRBRABAabLCnnx2mmx15-4 5-4 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图5、简支梁受集中力偶的剪力图和弯矩图（2）分段，AC,CB段（集中力）（ax 10 101xLMxRxMA）（ax 10方向向上LMRMBA0, 0（1）由静力平衡关

9、系求支座反力 LMRxQA0AC段任意横截面m-m）（bx 20 202xLMxRxMB）（bx 20 LMRxQB0CB段任意横截面n-nM0 方向向下LMRMAB0, 0LMRMAB0, 0（3）分段画剪力图和弯矩图5-4 5-4 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图5、简支梁受集中力偶的剪力图和弯矩图）（ax 10 101xLMxRxMA）（ax 10 LMRxQA0AC段任意横截面m-m）（bx 20 202xLMxRxMB）（bx 20 LMRxQB0CB段任意横截面n-nRBRABAabLCnnx2mmx1M0 xQxMLM0LbM0LaM0BA4mM0=40kNm20kNq=10kN/m

10、1mC5-4 5-4 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图例题5-1 绘制外伸梁的剪力图和弯矩图，并求 ，maxQmaxMx1得： , 0BM解：（1）由静力平衡关系求支座反力kNRYB25, 0得：RBx2RA4402410520ARkNRA35（2）分段，AC和AB段）（101 x 120 xxM）（101 x kNxQ20AC段任意横截面有：）（402 x 21025222xxxxM）（402 x 21025xxQAB段任意横截面有：222525xx BA4mM0=40kNm20kNq=10kN/m1mC5-4 5-4 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图例题5-1 绘制外伸梁的剪力图和弯矩图，并求 ，

11、maxQmaxMx1RBx2RA（3）分段画剪力图和弯矩图）（101 x 120 xxM）（101 x kNxQ20AC段任意横截面有：）（402 x 222525xxxM）（402 x 21025xxQAB段任意横截面有：xMm.52xQkN20mkN 20kN15kN25mkN 20mkN 5.2315-4 5-4 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 3、根据分段情况，选择任意截面，写该截面的Q、M方程（既可选用左侧的外力，也可选择右侧的外力） （1）集中力或集中力偶作用处）集中力或集中力偶作用处总结 图的基本画法 MQ， 2、研究 的分段情况，分段端点通常为： MQ，（2）分布载荷的起点和终点

12、）分布载荷的起点和终点 1、用静力平衡方程求解支座反力 4、按写出的Q、M方程画Q、M图。5-4 5-4 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 5、检查Q、M图的正确性。 6、注意图形的极值点（有没有？位置在哪？极值是多少？）总结 图的基本画法 MQ，M(x)+d M(x)Q(x)+dQ (x)Q(x)M(x)dxBAq=q(x)M0 yxC5-5 5-5 载荷集度、剪力和弯矩之间的关系载荷集度、剪力和弯矩之间的关系对dx 段进行平衡分析，有：dxxqxQxdQxQY)()()()(0dxxqxdQ)()( xqdxxdQ1 1、微分关系、微分关系-(5-1)q(x)xdxxdxM(x)+d M(x)

13、Q(x)+dQ (x)Q(x)M(x)dxCBAq=q(x)M0 yx5-5 5-5 载荷集度、剪力和弯矩之间的关系载荷集度、剪力和弯矩之间的关系1 1、微分关系、微分关系, 0CM)(d)(dxQxxM)()(xdMxM2)(21)()(dxxqxMdxxQ略去二阶微量2)(21dxxq得：dxxQxdM)()(-(5-2)5-5 5-5 载荷集度、剪力和弯矩之间的关系载荷集度、剪力和弯矩之间的关系1 1、微分关系、微分关系)(d)(d22xqxxM)(d)(dxQxxM xqdxxdQ)(d)(d22xqxxM)(d)(dxQxxM xqdxxdQ)(d)(dxQxxM xqdxxdQ)(

14、d)(d22xqxxM由微分关系可得以下结论（1 1）若）若q(x)=0Q(x)=常数常数剪力图为剪力图为水平直线水平直线M(x)为一次函数为一次函数弯矩图为弯矩图为斜直线斜直线Q0Q0（方向向上）（方向向上）q(x)0（方向向下）（方向向下）Q图图M图图（3 3）在剪力）在剪力Q=0处，弯矩处，弯矩M取得取得极值极值注： 以上结论只在该段梁上无集中力和集中力偶作用时成立BA4mM0=40kNm20kNq=10kN/m1mCRBRAxMm.52xQkN20mkN20kN15kN25mkN20mkN5.2315-5 5-5 载荷集度、剪力和弯矩之间的关系载荷集度、剪力和弯矩之间的关系（4 4）在

15、）在集中力集中力作用点，剪力图发生作用点，剪力图发生突变突变。 突变值突变值= =集中力的值集中力的值； 突变的方向：集中力为正，向上突变；突变的方向：集中力为正，向上突变； 集中力为负，向下突变集中力为负，向下突变 弯矩图在此处有弯矩图在此处有折点折点（5 5）在）在集中力偶集中力偶作用点，对剪力图形状无影响，作用点，对剪力图形状无影响， 弯矩图有弯矩图有突变突变。 突变值突变值= =集中力偶的值集中力偶的值， 突变方向：集中力偶为正，向上突变；突变方向：集中力偶为正，向上突变； 集中力偶为负，向下突变。集中力偶为负，向下突变。5-5 5-5 载荷集度、剪力和弯矩之间的关系载荷集度、剪力和弯

16、矩之间的关系1 1、微分关系、微分关系2 2、积分关系、积分关系-(5-4)-(5-5) 2121xxxxdxxqxdQx1BAq=q(x)M0 yxx2对于x1,x2区间，由（5-1式）得： 2112xxdxxqxQxQ由（5-2式）得： 2121xxxxdxxQxdM 2112xxdxxQxMxM注： x1,x2区间内不能有集中力和集中力偶的作用)(d)(dxQxxM xqdxxdQ)(d)(d22xqxxM5-5 5-5 载荷集度、剪力和弯矩之间的关系载荷集度、剪力和弯矩之间的关系1 1、微分关系、微分关系2 2、积分关系、积分关系x1BAq=q(x)M0 yxx2 2112xxdxxq

17、xQxQ 2112xxdxxQxMxM)(d)(dxQxxM xqdxxdQ)(d)(d22xqxxM 梁上任意两截面的剪力差等于梁上任意两截面的剪力差等于这两截面间载荷集度图所包围的面这两截面间载荷集度图所包围的面积积 梁上任意两截面的弯矩差等于梁上任意两截面的弯矩差等于这两截面间剪力图所包围的面积这两截面间剪力图所包围的面积检查图形增量检查图形形状控制点控制点: :端点、分段点（外力变化点）和驻点（极值点）等端点、分段点（外力变化点）和驻点（极值点）等。三、简易法作内力图：三、简易法作内力图： 基本步骤： 1、确定梁上所有外力（求支座反力）； 2、分段 3、利用微分关系判断梁各段内力图的形状； 4、确定控制点内力的数值大小及正负； 5、画内力图。5-5 5-5 载荷集度、剪力和弯矩之间的关系载荷集度、剪力和弯矩之间的关系5-5 5-5 载荷集度、剪力和弯矩之间的关系载荷集度、剪力和弯矩之间的关系BAM0=10kNmRAq=1kN/mC4m4m4m3mP2=2kNRBP1=2kNDEkNRMBA5, 0（1）由静力平衡关系求支座反力kNRMAB7, 0例5-8 作全梁的剪力图和弯矩图Q图ACA+C-CDC+D-DBD+B-BEB+E731-3-3-322（2）分段并根据微分、积分关系判断内力图的形状和数值BAM0=10kNmRAq=1kN/mC4m4m4m3mP