正交试验方差分析

1、正交试验的方差分析方志光2009-4-26第一节：正交设计方差分析的步骤第二节：3水平正交设计的方差分析第三节：2水平正交设计的方差分析第四节：混合型正交设计的方差分析第五节：拟水平法的方差分析第六节：重复试验的方差分析正交试验的方差分析计算离差的平方和:设用正交表安排m个因素的试验，试验总次数为n, 试验的结果分别为x1, x2, , xn. 假定每个因素有na个水平，每个水平做a次试验，则 n = ana.第一节： 正交设计方差分析的步骤1) 总离差的平方和ST记记为 其中ST反映了试验结果的总差异，它越大，说明各次试验的结果之间的差异越大。试验结果之所以有差异，一是由因素水平的变化所引起

2、的，二是因为有试验误差。第一节： 正交设计方差分析的步骤nkkxnx11211212)(1)(nkknkknkkTxnxxxSPQSTTnkkTxQ1221)(1nkkxnP2) 各因素离差的平方和以因素A的离差的平方和SA为例来说明。用xij表示因素A的第 i 个水平 的 第 j 个 试验的结果 (i = 1, 2, , na; j = 1, 2, , a)，则有由单因素的方差分析记为 其中Ki 表示因素的第i 个水平a次试验结果的和。SA 反映了因素A对试验结果的影响。用同样的方法可以计算其它因素和交互作用的离差平方和。如果交互作用占两列，则交互作用的离差的平方和等于这两列的离差的平方和之

3、和。比如 SAxB = S(AxB)1 + S(AxB)2第一节： 正交设计方差分析的步骤aninkkajijxx1112112112112)(11)(1)(1nkkniininiajijajijAxnKaxnxaSaaaPQSAAaniiAKaQ121ajijixK13) 试验误差的离差的平方和SE设S因+交为所有因素以及要考虑的交互作用的离差的平方和，因为 ST = S因+交 + SE, 所以 SE = ST - S因+交计算自由度:试验的总自由度 f总 = 试验总次数 - 1 = n - 1各因素的自由度 f因 = 因素的水平数 - 1 = na - 1两因素交互作用的自由度等于两因素的

4、自由度之积fAxB = fA X fB试验误差的自由度fE = f总 - f因+交第一节： 正交设计方差分析的步骤计算平均离差平方和(均方):在计算各因素离差平方和时，我们知道，它们都是若干项平方的和, 它们的大小与项数有关，因此不能确切反映各因素的情况。为了消除项数的影响，我们计算它们的平均离差的平方和。因素的平均离差平方和 = (因素离差的平方和)/因素的自由度 = S因/f因试验误差的平均离差平方和 = (试验误差的离差的平方和)/试验误差的自由度 = SE / fE求F比:将各因素的平均离差的平方和与误差的平均离差平方和相比，得出F值。这个比值的大小反映了各因素对试验结果影响程度的大小

5、。第一节： 正交设计方差分析的步骤对因素进行显著性检验:给出检验水平，从F分布表中查出临界值F(f因，fE)。将在“求 F 比”中算出的F值与该临界值比较，若F F(f因，fE)，说明该因素对试验结果的影响显著，两数差别越大，说明该因素的显著性越大。第一节： 正交设计方差分析的步骤第二节： 3水平正交设计的方差分析例1 (无交互作用):磁鼓电机是彩色录像机磁鼓组件的关键部件之一，按质量要求其输出力矩应大于210g.cm。某生产厂过去这项指标的合格率较低，从而希望通过试验找出好的条件，以提高磁鼓电机的输出力矩。根据工程技术人员的经验，取试验因素和相应水平如下表：第二节： 3水平正交设计的方差分析

6、解：(选用正交表L9(34)表头设计：试验计划与试验结果：第二节： 3水平正交设计的方差分析详细计算如下：2 .1162 .765278.3028663105196 .4279 .56866 .14213 .303294)328329273529308025(317 .308553)260100430336235225(313 .304288)252004352836308025(3178.302866)1651(919122CBATEkkTTCCBBAACBASSSSSPyPQSPQSPQSPQSQQQP列方差分析表如下：最佳条件的选择：对显著因子应取最好的水平对不显著因子的水平可以任意选取

7、，在实际中通常从降低成本操作方便等角度加以选择上面的例子中对因子A与B应选择A2B2，因子C可以任选，譬如为节约材料可选择C1第二节： 3水平正交设计的方差分析第二节： 3水平正交设计的方差分析验证试验：对A2B2C1进行三次试验，结果为：234，240，220，平均值为231.3. 此结果是满意的例2(有交互作用):为提高某产品的产量，需要考虑3个因素：反应温度、反应压力和溶液浓度。每个因素都取3个水平，具体数值见表。考虑因素之间的所有一级交互作用，试进行方差分析，找出最好的工艺条件。第二节： 3水平正交设计的方差分析解：(选用正交表L27(313)根据前面的公式作如下计算：第二节： 3水平

8、正交设计的方差分析22.375)23.3443.3398.32(91,22.375)27.3404.3333.33(91,20.375)30.3313.3321.34(91,33.375)04.3366.3494.32(91,68.375)61.3473.3130.34(91,89.375)93.3208.3263.35(91,00.531)16.5921.3527.6(91,29.376)88.3530.3146.33(91,17.377)21.3370.3073.36(91,13.375)64.100(271222)(222)(222)(222)(222)(222)(22222222222

9、12121BXCBXCAXCAXCAXBAXBCBAQQQQQQQQQP由此得出类似地最后计算总平方和，得出第二节： 3水平正交设计的方差分析32. 12,87.155,17. 1,04. 22121)()()()(PQQSSSPQSPQSPQSAXBAXBAXBAXBAXBCCBBAA18. 0228. 022121)()()()(PQQSPQQSBXCBXCBXCAXCAXCAXC34. 0(20.16113.37533.53633.536)2712BXCAXCAXBCBATTETTkkTSSSSSSSSSSPQSSxQ交因用公式计算自由度：再用公式计算平均离差的平方和，然后计算F值，再与

10、F分布表中查出的相应的临界值F(f因，fE)比较，判断各因素显著性的大小。通常，若F F0.01(f因，fE)，就称该因素是高度显著的，用两个星号表示；若F F0.05(f因，fE)，则称该因素的影响是显著的，用一个星号表示；若FF0.05(f因，fE)，就称该因素的影响是不显著的，不用星号表示。第二节： 3水平正交设计的方差分析81826,261271, 422, 213交因总总fffnfxffffffEBXCAXCAXBCBA第二节： 3水平正交设计的方差分析方差分析表：通过F值与临界值比较看出，因素A,B,C和交互作用AXB对试验的影响都是显著的，从F值的大小看，因素C最显著，以下依次为

11、A，B，AXB方差分析(2)：由于这里的试验指标是产品的产量，越大越好，所以最优方案应取各因素中K的最大值所对应的水平。因素A应取第1水平，因素B应取第3水平，因素C应取第3水平。交互作用AXB也是显著的，但由于AXB占两列，直观分析法有些困难，因此把A和B的各种组合的试验结果对照起来分析。从表中看出，当A取第1水平、B取第3水平时，试验结果为13.17，是所有结果中的最大值，因此可取A1B3，这与前面单独考虑因素A，B时所得出的结果是一致的。于是，最优方案就取A1B3C3.第二节： 3水平正交设计的方差分析2水平正交设计，各因素离差平方和为：因为 又所以上式可简化为这里2水平设计计算离差平方

12、和的一般公式，同样适用于交互作用。第三节： 2水平正交设计的方差分析,)(1121212nkkiixnKaS因naan21,2211KKxnkk221)(1KKnS因例3:某农药厂生产某种农药，指标是农药的收率，显然是越大越好。据经验知道，影响农药收率的因素有4个：反应温度A，反应时间B，原料配比C，真空度D。每个因素都是两水平，具体情况见表。要考虑A，B的交互作用。试进行方差分析。第三节： 2水平正交设计的方差分析解：(选用正交表L8(27)第三节： 2水平正交设计的方差分析这里类似地计算误差平方和：SE=ST-(S因+S交) =146-(8+18+60.5+4.5+18)=5第三节： 2水

13、平正交设计的方差分析8)358366(81)(81146)724(81656688222122812KKSTxPQSAkkTT50)372352(81,5.4)365359(81,5.60)373351(81,18)356368(812222AXBDCBSSSS计算自由度:计算均方值：由于各因素和交互作用AXB的自由度都是1，因此它们的均方值与它们各自的平方和相等。只有误差的均方为计算F比：第三节： 2水平正交设计的方差分析257)(, 1, 112718交因ffffffffffffTEBAAXBDCBAT5 . 2252EESMS8 . 15 . 25 . 4, 2 .245 . 25 .6

14、0,205 . 250, 2 . 75 . 218, 2 . 35 . 28DCAXBBEAAFFFFMSMSF方差分析表：第三节： 2水平正交设计的方差分析方差分析:从方差分析表中F值的大小看出，各因素对试验影响大小的顺序为 C，AXB，B，A，D。C影响最大，其次是交互作用AXB，D的影响最小. 若各因素分别选取最优条件应当是C2，B1，A1，D2. 但考虑到交互作用AXB的影响较大，且它的第2水平为好，在C2，(AXB)2的情况下，有B1A2和B2A1，考虑到B的影响比A大，而B选 B1为好，当然A只能选第2水平了。这样最后确定下来的最优方案应当是A2B1C2D2。 这个方案不在正交表的

15、9个试验中，可以按此进行试验，比较一下结果。第三节： 2水平正交设计的方差分析在SAE的应用实例-1 混合型正交设计的方差分析，本质上与一般水平数相等正交设计的方差分析相同，只要在计算时注意到各水平数的差别就行了。现以L8(4X24)混合型正交表为例：总离差平方和为因素偏差平方和有两种情况：2水平因素：4水平因素：第四节：混合型正交设计的方差分析281812)(81kkkkTTxxPQS221)(81KKS28124232221)(81)(21kkxKKKKS例4:某钢厂生产一种合金，为便于校直冷拉，需要进行一次退火热处理,以降低合金的硬度。根据冷加工变形量，在该合金技术要求范围内,硬度越低越

16、好。试验的目的是寻求降低硬度的退火工艺参数。考察的指标是洛氏硬度(HR)，经分析研究，要考虑的因素有3个： 退火温度A，保温时间B，冷却介质C。第四节：混合型正交设计的方差分析解：第四节：混合型正交设计的方差分析625.1,500.0)10.12410.126(81,125.1)60.12660.123(81,18.0)70.12550.124(81,645.2)80.12240.127(81)(81,445.0005.7825)89.400684.386841.385676.3918(21)(21,895.4,005.7825)04.62600(818,20.250,90.782954252

17、42222124232221281812SSSSSSKKSPKKKKSPQSTPxTxQECBATTkkkkT方差分析表：从F值和临界值的比较看出，各因素均无显著影响，相对来说，B的影响大些。为提高分析精度，我们只考虑因素B，把因素A，C都并入误差。这样一来，SE就变成 SA + SC + S4 + S5 = 0.445 + 0.18 + 1.125 + 0.500 = 2.250， 再列方差分析表。第四节：混合型正交设计的方差分析方差分析表(2)：临界值 F0.05(1，6) = 5.99, F0.01(1, 6) = 13.75从F值和临界值的比较来看，因素B就是显著性因素了。因素影响从大

18、到小的顺序为BCA，选定的最优方案应为A2B2C1第四节：混合型正交设计的方差分析例5:钢片在镀锌前要用酸洗的方法除锈。为了提高除锈效率，缩短酸洗时间，先安排酸洗试验。考察指标是酸洗时间。在除锈效果达到要求的情况下，酸洗时间越短越好。要考虑的因素及其水平如表：选取正交表L9(34)，将因素C虚拟1个水平。据经验知，海鸥牌比OP牌的效果好，故虚拟第2水平并安排在第1列。第五节：拟水平法的方差分析解：虚拟水平的因素C的第1水平重复3次，第二水平重复6次。因此，离差平方和为：其余因素的离差平方和为误差的离差平方和为：第五节：拟水平法的方差分析546624167876241)56169(919237,

19、6787291912PQSTPxTxQTTkkkkT5 .406241)22201(61)7744(3196322221TKKSC67.4026241)3721476111449(31786241)490082815776(3167.206241)608472255476(319)(312232221DABSSTKKKS16. 4)(DABCTESSSSSS方差分析表：从F值和临界值比较看出，各因素均无显著影响，相对来说，因素D的影响大些。我们把影响最小的因素B并入误差，使得新的误差平方和为SE= SE + SB，再列方差分析表第五节：拟水平法的方差分析方差分析表(2)：由此看出，因素D有显著影响，因素A，B均无显著影响。因素重要性的顺序为DCAB，最优方案为A3B1C2D3.第五节：拟水平法的方差分析重复试验就是对每个试验号重复多次，这样能很好地估计试验误差，它的方差分析与无重复试验基本相同。但要注意几点：(1) 计算K1，K2， 时，要用各号试验重复n次的数据之和；(2) 计算离差平方和时，公式中的“水平重复数”要改为“水平重复数与 重复试验数之积”；(3) 总体误