scut(wqd版)6-6常见曲面

1、曲面及其方程一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念二、旋转曲面二、旋转曲面三、柱面三、柱面四、二次曲面四、二次曲面五、小结五、小结下一页下一页曲面方程的定义：曲面方程的定义：如如果果曲曲面面S与与三三元元方方程程0),( zyxF有有下下述述关关系系：一、曲面方程的概念上一页上一页 下一页下一页注：曲面与方程是一一对应的！注：曲面与方程是一一对应的！空间曲面有空间曲面有两个基本问题两个基本问题：（2 2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状）已知坐标间的关系式，研究曲面形状（讨论旋转曲面）（讨论旋转曲面）（讨论柱面、二次曲面）（讨论柱面、二次曲面）（1 1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程）已知曲

2、面作为点的轨迹时，求曲面方程上一页上一页 下一页下一页例例 1 1 建建立立球球心心在在点点),(0000zyxM、半半径径为为R的的球球面面方方程程. 解解设设),(zyxM是是球球面面上上任任一一点点，RMM |0根据题意有根据题意有 Rzzyyxx 202020 2202020Rzzyyxx 所求方程为所求方程为特殊地：球心在原点时方程为特殊地：球心在原点时方程为2222Rzyx ( I ) 已知已知点的轨迹，求曲面方程点的轨迹，求曲面方程S1：设坐标S2：列等式S3：代坐标S4：化简方法步骤上一页上一页 下一页下一页 .911634132222 zyx. 07262 zyx上一页上一页

3、 下一页下一页zxyo例例2 2 方程方程 的图形是怎样的？的图形是怎样的？1)2()1(22 yxz根据题意有根据题意有1 z用用平平面面cz 去去截截图图形形得得圆圆：)1(1)2()1(22 ccyx 当当平平面面cz 上上下下移移动动时时，得得到到一一系系列列圆圆圆心在圆心在), 2 , 1(c，半径为，半径为c 1半径随半径随c的增大而增大的增大而增大.图形上不封顶，下封底图形上不封顶，下封底解解c上一页上一页 下一页下一页( I I ) 已知已知方程，判断曲面形状方程，判断曲面形状注：此法称为截痕法 , 0,22 zyxf . 0,22 zxyf二、旋转曲面上一页上一页 下一页下一

4、页 曲线方程中与旋转轴相同的变量不动曲线方程中与旋转轴相同的变量不动, 总之总之,位于坐标面上的曲线位于坐标面上的曲线C,绕其上的绕其上的一个一个 坐标轴转动坐标轴转动,所成的旋转曲面方程可以所成的旋转曲面方程可以这样得到这样得到 :而用另两个的变量的平方和的平方根而用另两个的变量的平方和的平方根(加正、加正、负号负号)替代曲线方程中另一个变量即可替代曲线方程中另一个变量即可.上一页上一页 下一页下一页2222( , )0,0,0;xOzffzzzyzfxxxyxxz面的平面曲线分别绕轴旋转一周所得的旋转曲面方程为：绕 轴:绕 轴:上一页上一页 下一页下一页2222( , )0,0,0.xOy

5、ffyyyyzfxxxzxxy面的平面曲线分别绕轴旋转一周所得的旋转曲面方程为：绕 轴:绕 轴:上一页上一页 下一页下一页例例3 3 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程生成的旋转曲面的方程绕绕x轴轴旋旋转转绕绕z轴轴旋旋转转122222 czyax122222 czayx旋转单叶双曲面旋转单叶双曲面旋转双叶双曲面旋转双叶双曲面上一页上一页 下一页下一页绕绕y轴轴旋旋转转绕绕z轴轴旋旋转转122222 czxay122222 czayx旋转椭球面旋转椭球面pzyx222 旋转抛物面旋转抛物面上一页上一页 下一页下一页解解 yoz面上直线方程为

6、面上直线方程为 cotyz 因为旋转轴为因为旋转轴为 轴轴,所以所以只需将上面方程中的只需将上面方程中的 改成改成 , 就可得到圆锥面就可得到圆锥面方程方程 cot22yxz ),(zyxM ), 0(111zyM yxzOzyz上一页上一页 下一页下一页小结与练习：判断下列（旋转）曲面的形状， 并指出由什么曲线绕何轴旋转而得.2222222222222222(1)(2)(3)144(4)144(5)144(6)044zxyzxyxyzxyzxyzxyz上一页上一页 下一页下一页zxz锥面，由直线绕 轴旋转所得2zxz旋转抛物面,由抛物线绕 轴旋转所得2214xzz旋转椭圆面，由椭圆绕 轴旋转

7、所得2214xzz旋转单叶双曲面,由双曲线绕 轴旋转所得2214xzz旋转双叶双曲面,双曲线绕 轴旋转所得2210()42xzzxz 圆锥面，由直线即绕 轴旋转所得定义定义 平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线C C这条定曲线这条定曲线C C 称为柱面的称为柱面的动直线动直线L L称为柱面的称为柱面的准线准线, ,母线母线. .所形成的曲面称为所形成的曲面称为移动的直线移动的直线L L 柱面柱面. .LC准线准线母线母线三、柱面上一页上一页 下一页下一页从柱面方程看柱面的从柱面方程看柱面的特征特征：（其他类推）（其他类推）实实 例例12222 czby椭圆椭圆柱面柱面12222 bya

8、x双曲双曲柱面柱面 pzx22 抛物抛物柱面柱面 , 0),(, yxFzyx的的方方程程而而缺缺只只含含直角坐标系中表示平行于直角坐标系中表示平行于z轴的柱面轴的柱面,在在空间空间为为xOy面上的曲线面上的曲线C.其准线其准线母线平行于母线平行于x轴轴母线平行于母线平行于z轴轴母线平行于母线平行于y轴轴上一页上一页 下一页下一页xyzOxyzOxy 平面平面表示母线平行于表示母线平行于zxy22 .22xy xy 表示母线平行于表示母线平行于z轴轴.xy xy22 抛物柱面抛物柱面柱面举例柱面举例 其准线是其准线是xOy面面上的抛物线上的抛物线轴的柱面轴的柱面, 的柱面的柱面,其准线是其准线

9、是xOy面上面上的直线的直线上一页上一页 下一页下一页 1. 二次曲面的定义二次曲面的定义即为二次曲面即为二次曲面. 相应地平面被称为相应地平面被称为三元二次方程三元二次方程所表示的曲面称为所表示的曲面称为lxgzxfyzexyczbyax 222qnmlgfecba,其中其中均为常数均为常数.球面、球面、二次曲面二次曲面.0 qnzmy如如: :双曲柱面等双曲柱面等)某些柱面某些柱面(圆柱面、抛物柱面、圆柱面、抛物柱面、一次曲面一次曲面.都是二次曲面都是二次曲面.四、二次曲面上一页上一页 下一页下一页2. 椭圆抛物面椭圆抛物面2222xyzabxyzO22xza XOZ平面上平面上的抛物线的

10、抛物线222xyza 旋转抛物面旋转抛物面上一页上一页 下一页下一页伸缩变形法伸缩变形法xyzO3. 椭球锥面椭球锥面22222xyzab上一页上一页 下一页下一页4. 椭球面椭球面(椭圆面椭圆面)1222222 czbyaxzxyOxyzO上一页上一页 下一页下一页椭球面的几种特殊情况椭球面的几种特殊情况:)1(旋转旋转椭球面椭球面12222 czax由椭圆由椭圆旋转椭球面与椭球面的旋转椭球面与椭球面的区别区别：2222221aaxyzc如, ,a b c只有两个相等1222222 czbyax绕绕z轴旋转而成轴旋转而成.交线为圆交线为圆(椭圆椭圆)上一页上一页 下一页下一页cba )2(1

11、222222 azayax球面球面2222azyx 方程可写为方程可写为xyzO上一页上一页 下一页下一页5. 双曲面双曲面单叶双曲面单叶双曲面1222222 czbyax平方项有一个取负号平方项有一个取负号,另两个取正号另两个取正号.0 炼油厂、炼焦厂的冷却塔就是炼油厂、炼焦厂的冷却塔就是单叶双曲面单叶双曲面的形状的形状.OxyzxyzO上一页上一页 下一页下一页双叶双曲面双叶双曲面1222222 czbyax1222222 czbyax 或或它分成上、下两个曲面它分成上、下两个曲面.注注xyzO上一页上一页 下一页下一页2222xyzab 6. 双曲抛物面双曲抛物面(马鞍面马鞍面)xyzO用截痕法讨论：用截痕法讨论：上一页上一页 下一页下一页小结：2222222222222222(1)(2)(3)144(4)144(5)144(6)044zxyzxyxyzxyzxyzxyz2222222222222222222399(1)(7)2)(3)14(4)14(5)14(6)0499zxyzxyxy