中考培优竞赛专题经典讲义第7讲双直角三角形模型

1、第7讲双直角三角形模型双直角三角形模型是在解三角形中最常见的模型，模型的特点为：有一条直角边为公共边，另外一条 线。但在不同的背景下会有不同的变化，需要从中看出模型的本质直角边共105 °30453045、3013514560 0 4545604560a般类型：将两个直角三角形组合，一条直角边为公共边，其中 /a和/ P的三角函数值为已知P处求点P到海岸线小船 从点P处沿射线15。的 方向.求点45.B60°模型讲解【例题讲解】例题1、如图，在一笔直的海岸线 I上有AB两个观测站，A在B的正东方向，AB = 2(单位：km).有-艘小船在点P处，从 A 测得小船在北偏西60

2、°的方向，从 B 测得小船在北偏东45°的方向 .(1) 求点 P 到海岸I 的距离；(2) 小船从点P 处沿射AP 的方向航行一段时间后，到点C 处，此时，从B 测得小船在北偏西C 与点 B 之间的距离. ( 上述两小题的结果都保留根号) .pB DA解：如图，过点 P作PD，AB于点D .设PD = xkm.在 RtA PBD 中,/ BDP = 90 ,/ PBD = 90° 45° =45 ° ,二 BD = PD = xkm .3 PD = 3xkm .在 RtAA PAD 中,/ ADP = 90 ° ,/ PAD = 9

3、0 ° 60° =30 °，二AD =T BD + AD = AB, . x+ 3 x= 2, x= 1 ,?点P到海岸线I的距离为(3 1)km;如图，过点B作BF，AC于点F.在 RtA ABF 中，/ AFB = 90 ° ,/ BAF = 30 °，二 BF = 1 AB = lkm 2在公 ABC 中，/ C = 180° T BAC / ABC = 45 ° .在 RtA BCF 中,/ BFC = 90 ° , / C = 45 ° ,二 BC =2 BF =2 km?点C与点B之间的距离为

4、 2 km例题2、如图，在一条笔直的东西向海岸线I上有一长为1.5 km的码头MN和灯塔C,灯塔C距码头的东端N有20km .一轮船以36km/h的速度航行，上午 10: 00在A处测得灯塔C位于轮船的北偏 西300方向，上午10 :40在B处测得灯塔C位于轮船的北偏东60°方向，且与灯塔C相距12km .(1)若轮船照此速度与航向航行，何时到达海岸线？(参考数据：2沁1.4, -. 3沁1.7)解:(1)延长AB交海岸线于点D,过点B作BE，海岸线于点 E,过点A作AF，I于F,如图所示.?/ BEC =/ AFC = 90 ° /, EBC = 60 ° ,/

5、 CAF = 30/ ECB = 30 ,/ ACF 40 60 ° , ?/ BCA = 90 ° ,(2)若轮船不改变航向，该轮船能否停靠在码头？请说明理由?/ BC = 12, AB= 36X = 24, . AB= 2BC, ?/ BAC = 30 ° ,/ ABC= 6060?ABC =Z BDC +Z BCD = 60 , ./ BDC =Z BCD = 30 , . BD = BC = 12,11: 00到达海岸线?时间t = 12 = 1小时=20分钟，？?轮船照此速度与航向航行，上午363 ?/ BD = BC , BE ± CD ,

6、? DE = EC,在 RTABEC 中，BC = 12,/ BCE = 30 ,? BE = 6, EC= 6 3 ? 10.2 , ? CD = 20.4 ,? 20V 20.4 V 21.5 , ?轮船不改变航向，轮船可以停靠在码头.【巩固练习】1、如图，从热气球 C上测定建筑物A、B底部的俯角分别为 30°和60 ° ,如果这时气球的高度CD为150米，且点A、 D、B在同一直线上，建筑物 A、B间的距离为 .E血匕尸3吵E> B2、如图，在高楼前 D点测得楼顶的仰角为 30。，向高楼前进60米到C点，又测得仰角为45° ,则该高楼的高度大约为.（保

7、留整数）3、如图是一山谷的横断面示意图，宽AA为15m,用曲尺（两直尺相交成直角）从山谷两侧测量出 OA = 1m,OB = 3m, O A = 0.5 m, O'B'= 3m （点A, O, O : A在同一条水平线上 ），则该山谷的深 h为 m.4、如图所示，一条自西向东的观光大道I上有A、B两个景点，A、B相距2km,在A处测得另一景点 C位于点A的北偏东60°方向，在B处测得景点C位于景点B的北偏东45°方向，求景点C到观光大道I的距离. （结果精确到0.1 km）35、如图，在直角坐标系中，直线y= x+ 6与坐标轴分别交于 A、B两点，AB中点为

8、点P,则点P到4直线y=- x的最短距离PQ的长度为B6、 如图，在 ABC, AC = 3, BC= 4, / ACB = 90 ° ,将 ABC绕点C顺时针旋转(1) 当 AC 平分 / ACB 时， BD 的长为；(2)连接AA ',当 AA C为等边三角形时，BD的长为AB'A'EDCB7 如图，在四边形ABCD 中， / A=Z C= 45° ,/ ADB = Z ABC = 105° .(1) 若 AD = 2，求 AB ;(2) 若 AB + CD = 2 3 + 2，求 AB .CD8 如图所示，山坡上有一棵与水平面垂直的大

9、树，顶部恰好接触到坡面?已知山坡的坡角/分和坡面所成的角/ ADC = 60 °， AD = 4m.一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上,AEF = 23°，量得树干倾斜角 / BAC = 38树大树被折断部6 2.4)(1) 求 / CAE 的度数；2 - 1.41 ，3 - 1.73，(2) 求这棵大树折断前的高度. ( 结果精确到个位，参考数据：树大树被折断部yBP(2) 求这棵大树折断前的高度. ( 结果精确到个位，参考数据：2 - 1.41 ,3 -1.73 ,6、 如图，在 ABC, AC = 3, BC= 4,/ ACB = 90 ° ,将 A

10、BC绕点C顺时针旋转(1) 当 AC 平分 / A CB 时， BD 的长为；(2)连接AA ',当 AA C为等边三角形时，BD的长为A B'A'EDCB7、 如图，在四边形ABCD 中， / A=/ C= 45° ,/ ADB = / ABC = 105° .(1) 若 AD = 2, 求 AB ;(2) 若 AB + CD = 2 3 + 2，求 AB .CD8如图所示，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树大树被折断部6 2.4)的顶部恰好接触到坡面?已知山坡的坡角/ AEF = 23° ,

11、量得树干倾斜角/ BAC = 38分和坡面所成的角/ ADC = 60 ° , AD = 4m.(1) 求 / CAE 的度数；6、 如图，在 ABC, AC = 3, BC= 4,/(1) 当 AC 平分/ ACB 时， BD 的长为(2)连接人人，当公AA C为等边三角形时,AA'EDCB7、 如图 , 在四边形ABCD 中 ,/ A=/ C=45(1) 若 AD= 2, 求 AB；(2) 若 AB CD= 2 3 2, 求 AB.CACB = 90 ° ,将 ABC绕点C顺时针旋转.；BD 的长为B',/ ADB=/ ABC=1058如图所示, 山坡上

12、有一棵与水平面垂直的大树, 一场台风过后, 大树被刮倾斜后折断倒在山坡上, 的顶部恰好接触到坡面. 已知山坡的坡角/ AEF = 23° , 量得树干倾斜角/ BAC= 38° , 分和坡面所成的角 / ADC = 60° , AD= 4m.树大树被折断部6 2.4)(1) 求 / CAE 的度数；yBP6、 如图，在 ABC, AC = 3, BC= 4, / ACB = 90 ° ,将 ABC绕点C顺时针旋转.(1) 当 AC 平分 / ACB 时， BD 的长为；(2)连接AA ',当 AA C为等边三角形时，BD的长为AB'A&#

13、39;EDCB7、 如图，在四边形ABCD 中， / A=/ C= 45°， / ADB = / ABC = 105° .(1) 若 AD = 2，求AB ；(2) 若 AB + CD = 2 3 + 2，求 AB .CD树大树被折断部8如图所示，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，的顶部恰好接触到坡面. 已知山坡的坡角/ AEF = 23°，量得树干倾斜角 / BAC = 38°，分和坡面所成的角/ ADC = 60 °， AD = 4m.(1) 求 / CAE 的度数；6、 如图，在 ABC, AC

14、= 3, BC= 4, / ACB = 90 ° ,将 ABC绕点C顺时针旋转(1) 当 AC 平分 / A CB 时， BD 的长为；(2)连接AA '，当 AA C为等边三角形时，BD的长为AB'A' E DCB7、 如图，在四边形ABCD 中， / A=Z C= 45° ,/ ADB = Z ABC = 105° .(1) 若 AD= 2, 求 AB；(2) 若AB CD= 2 3 2, 求 AB.CD8如图所示, 山坡上有一棵与水平面垂直的大树, 一场台风过后, 大树被刮倾斜后折断倒在山坡上树大树被折断部6 2.4)顶部恰好接触到坡

15、面. 已知山坡的坡角/AEF= 23° , 量得树干倾斜角/ BAC= 38°,分和坡面所成的角/ ADC = 60° , AD= 4m .(1) 求 / CAE 的度数；6、 如图，在 ABC, AC = 3, BC= 4,/ ACB = 90 ° ,将 ABC绕点C顺时针旋转.(1) 当 AC 平分 / A CB 时， BD 的长为；(2)连接AA ',当 AA C为等边三角形时，BD的长为A B'A' E DCB7、 如图，在四边形ABCD 中， / A=/ C= 45° ,/ ADB = / ABC = 105&

16、#176; .(1) 若 AD = 2, 求 AB ;(2) 若 AB + CD = 2 3 + 2，求AB .C D8如图所示，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树大树被折断部6 2.4)的顶部恰好接触到坡面. 已知山坡的坡角/ AEF = 23 ° , 量得树干倾斜角/ BAC = 38分和坡面所成的角/ ADC = 60 ° , AD = 4m.(1) 求 / CAE 的度数；(2) 求这棵大树折断前的高度. ( 结果精确到个位，参考数据：2 - 1.41 ,3 -1.73 ,yBPAx6、 如图，在 ABC, AC = 3, BC= 4, / ACB = 90 ° ,将 ABC绕点C顺时针旋转.(1) 当 AC 平分 / A CB 时， BD 的长为；(2)连接AA ',当 AA C为等边三角形时，BD的长为AB'A'EDCB7、 如图，在四边形ABCD 中， / A=/ C= 45°， / ADB = / ABC = 105° .(1